Semaine 13

Séries Entières Voir :

• http://www.mimaths.net/IMG/pdf/s15_11_12.pdf

• http://www.mimaths.net/IMG/pdf/sem15.pdf

EXERCICE 1 :

1. Donner un exemple de série entière de rayon de convergence π.

2. Déterminer le rayon de convergence de la série entière X

a n x ⁿ avec a n = ln n.

3. Développer en série entière au voisinage de 0 la fonction suivante. On précisera le rayon de convergence de la série obtenue.

x 7−→ ln(1 + x − 2x ² ).

EXERCICE 2 :

1. Donner un exemple de série entière de rayon de convergence e.

2. Déterminer le rayon de convergence de la série entière X

a n x ²ⁿ avec a n =

√ n 2 ⁿ + 1 .

3. Développer en série entière au voisinage de 0 la fonction suivante. On précisera le rayon de convergence de la série obtenue.

x 7−→ 1

a − x avec a 6 = 0.

EXERCICE 3 :

1. Donner un exemple de série entière de rayon de convergence 1, 3.

2. Déterminer le rayon de convergence de la série entière X

b n z ⁿ avec b n = a ^{√ n} où a > 0.

3. Développer en série entière au voisinage de 0 la fonction suivante. On précisera le rayon de convergence de la série obtenue.

x 7−→ 1

(4 + x ² ) ^3/2 .

EXERCICE 4 :

Déterminer le rayon de convergence de la série entière X

u n avec u n = (1 + i) ⁿ z ³ⁿ n.2 ⁿ .

EXERCICE 5 :

On considère la série entière

∞

X

n=0

(2n + 1)!

(n!) ² x ²ⁿ . 1. Calculer le rayon de convergence.

2. Écrire une équation différentielle vérifiée par la somme f de la série entière.

3. En déduire l’expression de f .

EXERCICE 6 : Soit f : x 7−→

+ ∞

X

n=1

sin 1

√ n

x ⁿ .

1. Déterminer le rayon de convergence R de la série entière définissant f . 2. Étudier la convergence en − R et en R.

EXERCICE 7 :

Déterminer le développement en série entière à l’origine de f : R −→ R , x 7−→ arcsin x.

Corrections

EXERCICE 1 :

1. Exemple de série entière de rayon de convergence π : X 1 π ⁿ x ⁿ . 2. Rayon de convergence de la série entière X

ln nx ⁿ : Pour r > 0, ln nr ⁿ est bornée si r < 1, ce qui implique que le rayon de convergence R est R = 1.

3. On factorise le polynôme 1 + x − 2x ² = (1 − x)(1 + 2x) et donc pour x ∈ ] − 1/2; 1[, ln(1 + x − 2x ² ) = ln(1 − x) + ln(1 + 2x)

On utilise le développement en série entière de x 7−→ ln(1 + x) qui est X

n>1

( − 1) ^{n − 1} x ⁿ n .

• pour | x | < 1 d’une part, ln(1 − x) = − X

n>1

x ⁿ n ;

• et d’autre part, pour | x | < 1/2, ln(1 + 2x) = X

n>1

( − 1) ^{n − 1} (2x) ⁿ n Donc en effectuant la somme pour | x | < 1/2,

ln(1 + x − 2x ² ) = − X

n>1

x ⁿ n + X

n>1

( − 1) ^{n − 1} (2x) ⁿ

n = X

n>1

( − 1) ^{n − 1} 2 ⁿ − 1

n x ⁿ

Le rayon de convergence de la série somme est le plus petit des rayons de convergence des deux séries ajoutées donc R = 1

2 .

EXERCICE 2 :

1. Exemple de série entière de rayon de convergence e : X 1 e ⁿ x ⁿ . 2. Rayon de convergence de la série entière X √ n

2 ⁿ + 1 x ²ⁿ : Pour r > 0,

√ n

2 ⁿ + 1 r ²ⁿ ∼

+ ∞

√ n r ²

2 ⁿ

et cette quantité est bornée si r ²

2 < 1, ce qui implique que le rayon de convergence R est R = √ 2.

3. On utilise le développement en série entière de x 7−→ 1

1 − x qui est X

n>0

x ⁿ . 1

a − x = 1 a × 1

1 − ^x _a Pour

x a

< 1 ⇔ | x | < | a | , on obtient 1 a − x = 1

a × X

n>0

x ⁿ a ⁿ = X

n>0

x ⁿ a ⁿ⁺¹ Le rayon de convergence de la série est | a | .

EXERCICE 3 :

1. Exemple de série entière de rayon de convergence 1, 3 : X 1 1, 3 ⁿ x ⁿ . 2. Rayon de convergence de la série entière X

a ^{√ n} x ⁿ avec a > 0 : b n+1

b n

= a ^{√ n+1}

a ^{√ n} = a ^{√ n+1 − √ n} = a ^{√ n}

√ 1+1/n − 1 or

r 1 + 1

n − 1 = 1+ 1 2n − 1+o

1 n

donc b n+1

b n

= a ^{1/2 √ n+o(1/ √ n)}

Le calcul de la limite du rapport permet de dire que R = 1

3. L’objectif est l’utilisation du DSE en 0 de x 7−→ (1 + x) ^α . (4 + x ² ) ^{− 3/2} = 1

8

1 + x ² 4

− 3/2

Or pour | x | < 1, (1 + x) ^α = 1 +

+ ∞

X

n=1

α(α − 1) . . . (α − n + 1)

n! x ⁿ .

On obtient donc pour x tels que x ²

4 ∈ ] − 1; 1[,

1 + x ² 4

− 3/2

= 1 +

+ ∞

X

n=1

( − 1) ⁿ 3.5.7 . . . (2n + 1) 2.4.6 . . . 2n

x ²ⁿ

4 ⁿ , il ne reste qu’à multiplier par 1 8 . Le rayon de convergence est R = 2.

EXERCICE 4 :

Rayon de convergence de la série entière X

u n avec u n = (1 + i) ⁿ z ³ⁿ n.2 ⁿ : On utilise le critère de D’Alembert

u n+1

u n

= n | 1 + i || z | ³ 2(n + 1) _n −→

→ + ∞

√ 2 | z | ³ 2 = | z | ³

√ 2 Si | z | ³ < √

2, la série de terme général | u n | est convergente et divergente si | z | ³ > √

2. Le rayon de convergence de la série entière est √

⁶

2.

EXERCICE 5 :

Pour tout n ∈ N , on pose a n = (2n + 1)!

(n!) ² et u n (x) = a n x ²ⁿ . Pour tout x ∈ R ^∗ ,

u n+1 (x) u n (x)

= 2(2n + 3)

n + 1 x ² donc lim

n → + ∞

u n+1 (x) u n (x)

= 4x ² et le rayon de convergence est R = 1 2 . Pour x ∈

− 1 2 ; 1

2

, f (x) =

+ ∞

X

n=0

a n x ²ⁿ

On obtient donc

f ^′ (x) =

+ ∞

X

n=1

2na n x ^{2n − 1} =

+ ∞

X

n=0

2(n + 1)a n+1 x ²ⁿ⁺¹ Avec les coefficients a n , on écrit la relation (n + 1)a n+1 = 2(2n + 3)a n ce qui donne :

∀ x ∈

− 1 2 ; 1

2

, f (x) =

+ ∞

X

n=0

(n + 1)a n+1 x ²ⁿ⁺¹ = 2

+ ∞

X

n=0

2na n x ²ⁿ⁺¹ + 6

+ ∞

X

n=0

a n x ²ⁿ⁺¹

Ce qui permet d’écrire : (1 − 4x ² )f ^′ (x) = 12xf (x).

Ainsi f est l’unique solution sur

− 1 2 ; 1

2

vérifiant la condition initiale f (0) = 1, de l’équation différentielle (E) : (1 − 4x ² )y ^′ − 12y = 0.

On en déduit que f (x) = (1 − 4x ² ) ^{− 3/2}

EXERCICE 6 : Soit f : x 7−→

+ ∞

X

n=1

sin 1

√ n

x ⁿ .

1. Rayon de convergence R de la série entière définissant f : On pose a n = sin 1

√ n

, n > 1. On sait que a n ₊ ∼

∞ b n = 1

√ n et

b n+1

b n

=

√ n

√ n + 1 _n −→

→ + ∞ 1 Le rayon de convergence est 1.

2. Convergence en − 1 et en 1 :

• en − 1 : la suite sin 1

√ n

est décroissante et positive (sin est croissante sur [0; π/2] et positive). On peut donc utiliser le critère spécial des séries alternées, la série est convergente en − 1.

• en 1 :

+ ∞

X

n=1

√ 1

n est divergente et sin 1

√ n

+ ∼ ∞

√ 1

n donc pas de convergence pour x = 1.

EXERCICE 7 :

∀ u ∈ ] − 1; 1[, 1

√ 1 + u = (1 + u) ^{− 1/2} = 1 +

+ ∞

X

n=1

( − 1) ⁿ 1.3.5 . . . (2n − 1) 2 ⁿ n! u ⁿ =

+ ∞

X

n=0

( − 1) ⁿ (2n)!

2 ²ⁿ (n!) ² u ⁿ . On en déduit que :

∀ x ∈ ] − 1; 1[, 1

√ 1 − x ² =

+ ∞

X

n=0

(2n)!

2 ²ⁿ (n!) ² x ²ⁿ (rayon de convergence 1) On utilise le théorème d’intégration terme à terme des séries entières, on obtient :

∀ x ∈ ] − 1; 1[, arcsin x = Z x

0

√ dt

1 − t ² =

+ ∞

X

n=0

(2n)!

2 ²ⁿ (n!) ² x ²ⁿ⁺¹

2n + 1 (rayon de convergence 1)