Ts-Spé Correction Travail Maison 3 2012-2013
Un complexe industriel est constitué d’une centrale électrique au fioul et d’une raffinerie de pétrole.
La centrale utilise pour 1e d’électricité produite :
• 0.10e de sa propre consommation d’électricité ;
• 0.40e de fioul produit par la raffinerie.
La raffinerie utilise pour 1e de fioul produit :
• 0.30e d’électricité produite par la centrale ;
• 0.20e de sa propre production de fioul.
Ces consommations internes empêchent de vendre la totalité des productions d’électricité et de fioul.
L’objectif de l’exercice est d’évaluer les productions totales d’électricité et de fioul pour satisfaire une commande de 72000e d’électricité et de 24000e de fioul.
1. Les données de l’exercice permettent d’écrire les deux relations suivantes :
ce= 0,1pe+ 0,3pf
cf = 0,4pe+ 0,2pf et le produit LP =
0,1 0,3 0,4 0,2
pe
pf
donne la matrice
0,1pe+ 0,3pf
0,4pe+ 0,2pf
qui est bien égal àC(compte-tenu de la signification de l’égalité des matrices).
2. Supposons que la production totale est de 80000e d’électricité et de 50000e de fioul.
(a) C=
0,1 0,3 0,4 0,2
80000 50000
=
23000 42000
.
(b) Les productions nettes dont obtenues par différence entre la production brute et la consommation interne : c’est à dire :P −C=
80000 50000
−
23000 42000
=
57000 8000
La production nette d’électricité s’élève à 57000e et celle de fioul à 8000e. (c) Visiblement non, les productions sont insuffisantes.
3. I2= 1 0
0 1
. (a) IP =
1 0 0 1
pe
pf
=P. La matriceI2 est un élément neutre pour la multiplication de matrices.
(b) La matrice associée à la production nette visée est notéeN et doncN =
72000 24000
. La matriceP cherchée vérifie la relation P−C=N (cf Q2) orC=LP etI2P =P donc :
P−C=N ⇔I2P−LP =N⇔(I2−L)P =N (c) I2−L =
1 0 0 1
−
0,1 0,3 0,4 0,2
=
0,9 −0,3
−0,4 0,8
. On note A = 1 6
8 3 4 9
. A(I2−L) = I2 et (I2−L)A=I2. La matriceI2−Lest donc inversible et (I2−L)−1=A.
(d) Dans la relation (I2−L)P =N, on rechercheP : il faut donc réussir à l’isoler et l’outil lorsque qu’il s’agit de matrices est la multiplication par l’inverse (si elle existe) :
(I2−L)P =N ⇔(I2−L)−1(I2−L)P= (I2−L)−1N⇔I2P = (I2−L)−1N ⇔P = (I2−L)−1N=AN AinsiP=AN = 1
6
8 3 4 9
72000 24000
=
108000 84000
My Maths Space 1 sur 1
