TS:CDm 2 Correction Devoir maison 2 2017-2018
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On considère la suite numérique (un) définie surNpar :
u0= 2 et pour tout entier natureln, un+1=−1
2u2n+ 3un−3 2. Partie A : Conjecture
1. Valeur s exates, donÆnées en fration s irrédutibles, de u1 et u2
.
• u1=−1
2u20+ 3u0−3 2 =5
2
• u2=−1
2u21+ 3u1−3 2 =23
8
2. DonÆner uÆne valeur a p prohée à 10−5 près des terÆmes u3 et u4
.
u3≈2,99219 etu4≈2,99997 arrondies à 10−5près 3. (un)n>0 semble croissante.
Partie B : Validation des conjectures 1. Pour tout entier naturel n, vn+1=−1
2v2n?
vn+1=un+1−3
=−1
2u2n+ 3un−3 2 −3
=−1
2u2n+ 3un−9 2
=−1
2(u2n−6un+ 9)
=−1
2(un−3)2
=−1 2vn2
2. Pour tout entier naturel n, on veut prouÆver que −16vn60. Soit P(n) : −16vn60
•Initialisationpourn= 0 : v0=u0−3 = 2−3 =−1 doncP(0) est vraie.
•Hérédité: Fixonsn>0. On suppose que P(n) est vraie et démontrons que P(n+ 1) est vraie.
P(n) est vraie ⇔ −16vn60
⇒06v2n61
⇔ −1 2 6−1
2vn260
⇒ −1<−1
2 6vn+160 doncP(n+ 1) est vraie.
•Conclusion : Ainsi, d’après le principe du raisonnement par récurrence, pour tout entier natureln∈N,
−16vn60.
3.(a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, vn+1−vn=−vn
1
2vn+ 1
Pour tout entier natureln, vn+1−vn =−1
2vn2−vn=−vn
1
2vn+ 1
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(b) En déduire le sen s de variation de la suite (vn) .
∀n∈N, −16vn60⇔ −1 2 6 1
2vn60⇔ −1
2 + 16 1
2vn+ 161⇔ 1 2 6 1
2vn+ 161
∀n ∈N, vn ∈ [−1; 0] donc vn est négatif et donc −vn >0 et−vn
1
2vn+ 1
>0 ⇔vn+1−vn >0, ce qui prouve que la suite (vn)n>0 est croissante.
(un) et (vn) ont le même sens de variation, donc (un) est également croissante.
⊲ 43 p 48
1 a1
a2
Si l’on construit le carré suivant en divisant la diagonale par 2, le côté du carré est également divisé par 2. (diagonale et côté étant dans un rapport de√
2) Si l’on note (an)n>1 la suite représentant les aires des carrés.
Pour toutn∈N∗, an+1= 1
4an avec comme premier termea1=1 2 ×1
2 = 1 4. On reconnaît la définition d’une suite géométrique de raison 1
4, donc pour toutn entier naturel supérieur ou égal à 1 :
an=a1qn−1= 1 4 ×
1
4 n−1
=
1
4 n
D’après l’énoncé, on a, pour toutn>1, un =a1+a2+. . .+an
=1 4 +
1 4
2
+. . .+
1
4 n
=1
4 ×1− 14
n
1−14
= 1 3
1−
1
4
n
or 1
4 ∈]−1; 1[ donc
1
4 n
n→+∞−→ 0. Par opérations sur les limites,
n→+∞lim un =1 3
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On représente le nombre de boules blanches (resp. noires) par la suite (wn)n>1 (resp. (bn)n>1).
La loi équirépartie étant la loi appropriée à l’expérience, on peut facilement exprimerpn, en écrivant : Pour toutn>1, pn= bn
bn+wn
(nombre de noires sur le nombre total de boules)
Les deux suites (bn) et (wn) sont arithmétiques de raisons respectives 3 et 2 avec b1= 1 et w1 = 100. D’après le cours,
Pour toutn>1,bn=b1+ (n−1)r= 1 + 3(n−1) = 3n−2 et wn=w1+r(n−1) = 100 + 2(n−1) = 2n+ 98 Finalement, pourn>1,pn= 3n−2
5n+ 96 = n(3−n2)
n(5 +96n) = 3−n2
5 +96n . Comme 2
n n→+∞−→ 0 et 96
n n→+∞−→ 0, par opérations sur les limites :
n→+∞lim pn= 3 5
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