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Transport optimal de sable avec une pelle et un seau, terrain de jeu pour les

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Academic year: 2022

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(1)

Transport optimal de sable avec une pelle et un seau, terrain de jeu pour les

math ´ematiques et l’intelligence artificielle

Bernard Bercu & J ´er ´emie Bigot

Institut de Math ´ematiques de Bordeaux Universit ´e de Bordeaux

Soir ´ee de pr ´esentation masters et recherche `a l’IMB Janvier 2019

(2)

1 Le transport optimal un vieux probl `eme tr `es actuel !

2 Un probl `eme d’allocation de ressources

3 Transport optimal et distance de Wassertein

4 Illustration avec arriv ´ee de donn ´ees en ligne

5 Transport optimal pour l’intelligence artificielle ?

(3)

Question introduite par Gaspard Monge1en 1781 dans M ´emoire sur la th ´eorie des d ´eblais et des remblais

pour un probl `eme de transfert de masses :

Comment trouver le moyen le plus efficace ( `a moindre co ˆut) pour transporter un tas de sable( `a l’aide d’une pelle et d’un seau...)

dans untrou de m ˆeme volume?

1. https://fr.wikipedia.org/wiki/Gaspard Monge

(4)

Formulation math ´ematique moderne: trouver une application T:X → Y pour transfert une masseµ(r ´epartie sur un supportX) vers une masseν(r ´epartie sur un supportY)

1. Th `ese d’Elsa Cazelles, 2018, Universit ´e de Bordeaux

(5)

Formulation math ´ematique moderne: trouver un transfert de la masseµ(r ´epartie sur un supportX) vers une masseν(r ´epartie sur un supportY) par un plan de transportπ:X × Y →[0,1]

1. Th `ese d’Elsa Cazelles, 2018, Universit ´e de Bordeaux

(6)

math ´ematiques

1

...

Cr ´edit : Gabriel Peyr ´e (CNRS & ENS Paris)

1. Villani, C. (2003) Topics in optimal transportation

(7)

´economie (ex : gestion de stock) physique

infographie

PUB ! !traitement d’images : expos ´e d’Arthur LeclairePUB ! ! apprentissage automatique (machine learning)

intelligence artificielle ...

1. Cuturi & Peyr ´e (2018)https://optimaltransport.github.io/

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1 Le transport optimal un vieux probl `eme tr `es actuel !

2 Un probl `eme d’allocation de ressources

3 Transport optimal et distance de Wassertein

4 Illustration avec arriv ´ee de donn ´ees en ligne

5 Transport optimal pour l’intelligence artificielle ?

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Donn ´ees disponibles1:

positions des postes de Police `a Chicago

lieux d’infractions enregistr ´ees `a Chicago en 2014

Questions (d’int ´er ˆet ?) :

´etant donn ´e le lieu d’une infraction, quel poste de Police devrait intervenir ?

comment faire ´evoluer la r ´eponse au fur et `a mesure de l’ann ´ee ?

1. Open Data de la ville de Chicago :https://data.cityofchicago.org

(10)

Position des postes de Police `a Chicago

(11)

PositionX1de lapremi `ereinfraction enregistr ´ee `a Chicago en 2014

(12)

PositionsX1,X2des infractions enregistr ´ees `a Chicago parordre chronologique

(13)

PositionsX1,X2,X3 des infractions enregistr ´ees `a Chicago parordre chronologique

(14)

PositionsX1, . . . ,X4des infractions enregistr ´ees `a Chicago parordre chronologique

(15)

PositionsX1, . . . ,X5des infractions enregistr ´ees `a Chicago parordre chronologique

(16)

Positions des infractions enregistr ´ees `a Chicago parordre chronologique(100 premi `eres)

(17)

Positions des infractions enregistr ´ees `a Chicago parordre chronologique(1000 premi `eres)

(18)

PositionsX1, . . . ,XNdes infractions enregistr ´ees `a Chicago parordre chronologique(totalN=16104)

(19)

Carte de chaleur (densit ´e) des positions des infractions enregistr ´ees

`a Chicago en 2014

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1 Le transport optimal un vieux probl `eme tr `es actuel !

2 Un probl `eme d’allocation de ressources

3 Transport optimal et distance de Wassertein

4 Illustration avec arriv ´ee de donn ´ees en ligne

5 Transport optimal pour l’intelligence artificielle ?

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Hypoth `eses de mod ´elisation :

positions des lieux d’infraction : une suite de variables al ´eatoires X1, . . . ,Xn

ind ´ependantes et identiquement distribu ´ees, ´echantillonn ´ees `a partir d’une mesure de probabilit ´einconnueµde support X ⊂R2

positions des postes de Police : une mesure de probabilit ´e connue et discr `ete

ν=

J

X

j=1

νjδyj

1. Bercu, B. & Bigot, J. (2018) ArXiv :1812.09150

(22)

Probl `eme :trouver une application

T :X → {y1, . . . ,yJ} qui “envoie” la mesureµsur la mesureν=PJ

j=1νjδyjdefac¸on optimalepar rapport `a un co ˆut de transport

c(x,y) =kx−yk`p =

d

X

k=1

(xk−yk)p

!1/p

, x,y∈Rd(icid=2)

(23)

SoitT :X → {y1, . . . ,yJ}tel queT#µ=ν(notation math ´ematique de T“envoie”µsurν)

Definition (Formulation de Monge)

Le transport optimal entreµetν correspond `a r ´esoudre le probl `eme de minimisation suivant

W0(µ, ν) = min

T:T#µ=ν

Z

X

c(x,T(x))dµ(x),

o `uc(x,y)est le co ˆut du transport de masse de la positionx `a la positiony.

Remarque :W0(µ, ν)peut s’interpr ´eter comme une distance (dit de Wasserstein) entreµetν!

(24)

Transport optimal entre une mesureµ `a densit ´e vers une mesure discr `eteν(points noirs)

(25)

Transport optimal deµ `a densit ´e versν (points noirs) - Application optimaleTpour le co ˆut Euclidienc(x,y) =kx−yk`2

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1 Le transport optimal un vieux probl `eme tr `es actuel !

2 Un probl `eme d’allocation de ressources

3 Transport optimal et distance de Wassertein

4 Illustration avec arriv ´ee de donn ´ees en ligne

5 Transport optimal pour l’intelligence artificielle ?

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PositionsX1, . . . ,XNdes infractions enregistr ´ees `a Chicago parordre chronologique(totalN=16104)

(28)

Application optimaleTpour le co ˆut Euclidienc(x,y) =kx−yk`2apr `es n=100it ´erations etε=0.005

(29)

Application optimaleTpour le co ˆut Euclidienc(x,y) =kx−yk`2apr `es n=1000it ´erations etε=0.005

(30)

Application optimaleTpour le co ˆut Euclidienc(x,y) =kx−yk`2apr `es n=2000it ´erations etε=0.005

(31)

Application optimaleTpour le co ˆut Euclidienc(x,y) =kx−yk`2apr `es n=3000it ´erations etε=0.005

(32)

Application optimaleTpour le co ˆut Euclidienc(x,y) =kx−yk`2apr `es N=16104it ´erations etε=0.005

(33)

Application optimaleT pour le co ˆutc(x,y) =kx−yk`1 apr `es N=16104it ´erations etε=0.005

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1 Le transport optimal un vieux probl `eme tr `es actuel !

2 Un probl `eme d’allocation de ressources

3 Transport optimal et distance de Wassertein

4 Illustration avec arriv ´ee de donn ´ees en ligne

5 Transport optimal pour l’intelligence artificielle ?

(35)

Base de donn ´ees d’images de c ´el ´ebrit ´es :CelebA Dataset1

1. http://mmlab.ie.cuhk.edu.hk/projects/CelebA.html

(36)

Question :peut-on apprendre la distribution (mesure de probabilit ´e) de cet ensemble de visages et en g ´en ´erer al ´eatoirement de

nouveaux ?

(37)

R ´eponse :solution propos ´ee par des chercheurs de la soci ´et ´e Nvidia1qui s’appuie en partie sur le transport optimal !

1. https://research.nvidia.com/publication/2017-10 Progressive-Growing-of

(38)

Question :quelles sont les vraies images et celles g ´en ´er ´ees al ´eatoirement1?

1. https://research.nvidia.com/publication/2017-10 Progressive-Growing-of

(39)

R ´eponse -1 `ere ligne : g ´en ´eration al ´eatoire et lignes 2 `a 5 : vraies images (les plus proches de l’image g ´en ´er ´ee)1?

1. https://research.nvidia.com/publication/2017-10 Progressive-Growing-of

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