Projet de programmation Transport Optimal

Projet de programmation Transport Optimal

Instructions

Le projet est à rendre sous la forme d'un chier source Nom1_Nom2.m et d'un chier Nom1_Nom2.pdf avec les commentaires, Nom1 et Nom2 étant bien entendu vos noms.

Le chier .m doit être organisé autant que possible sous la forme de fonctions, avec une structuration claire et des noms de variables permettant de comprendre votre raisonnement.

Il doit pouvoir être exécuté tel quel.

Les deux chiers doivent être envoyés à etienne.birmele@parisdescartes.fr au plus tard le lundi 9 octobre 2017.

Introduction

Le but de ce projet est de résoudre par un schéma numérique l'équation diérentielle de Reynolds pour des conditions aux limite en pression d'entrée et de sortie.

La science du frottement et de l'usure des matériaux, vise à comprendre et tenter de maîtriser les phénomènes de dégradation des matériaux, essentiellement néfastes dans de nombreux dispositifs industriels. Elle a ainsi pris une importance grandissante depuis la révolution industrielle. La lubri- cation désigne le contrôle de l'usure des matériaux par l'introduction d'un lm uide qui réduit le frottement entre les surfaces quasiment en contact. Plus particulièrement, la lubrication hydro- dynamique concerne les mécanismes pour lesquels la forme et la vitesse relative de deux surfaces en regard engendrent la formation d'un lm mince lubrié continu sous une pression susamment élevée pour empêcher le contact entre les surfaces. Le point de départ de la théorie de la lubri- cation hydrodynamique est un article de Reynolds, publié en 1886 dans la revue Philosophical Transactions of the Royal Society, intitulé On the theory of lubrication and its application to Mr Beauchamp Tower's experiments, including an experimental determination of the viscosity of olive oil. Dans cet article, Reynolds obtient de manière heuristique l'équation qui porte son nom et qui constitue le socle des études portant sur les écoulements de faible épaisseur.

Figure 1 Deux surfaces sont séparées par un lm mince lubrié.

Equation de Reynolds L'équation de Reynolds qui régit la pressionx7→u(x)dans le mécanisme de longueur (0, L) s'écrit :

d dx

h³(x) µ(x)

du dx

=h⁰(x)

1

où la fonction x 7→ µ(x) est la viscosité du lubriant et x7→ h(x) est la hauteur du contact entre les deux surfaces, qui est supposée strictement positive.

Les fonctions µ et h sont supposées connues sur [0, L] et on cherche à résoudre numériquement l'équation pour estimer la fonction u. Dans le projet on utilisera

h(x) = 1 + 0.25 cos

2π

L x

.

Commençons par dénir et acher la fonction h sur [0, L]. On choisit L = 1 et on dénit une discrétisation de [0, L]et on calcule le vecteurs des valeurs deh sur cette discrétisation :

L = 1;

p = 0.01;

x = [0:p:L];

h = 1+0.25*cos(2*pi/L*x);

plot(x,h);

Cas µ= 1.

Supposons que la fonction µest constante égale à1. L'équation de Reynolds devient d

dx h³(x)u⁰(x)

=h⁰(x).

Pour résoudre numériquement cette équation, on fait l'hypothèse qu'on connaît la pression u et sa dérivée au départ

u(0) = 0. (1)

u⁰(0) = (h(0)−Q)/h(0)³, (2)

avec Qun paramètre à xer.

1. Ecrire l'équation de Reynolds sous la forme v⁰(x) =F(v(x), x) avec v=u⁰.

2. Ecrire une fonction [u] = reynolds(Q,h,p) qui résout numériquement cette équation par la méthode d'Euler à pas p avec les conditions aux limites 1 et 2 et ache le résultat u sur le même graphe que h. On rappelle que la méthode d'Euler à pas p pour une équation diérentiellev⁰ =F(v(x), x) suit le schéma suivant :

v(k+ 1) =v(k) +p∗F(v(k), k).

Le pseudo-code pour cette fonction peut donc s'écrire de la manière suivante : Pseudo-code

Entrée : vecteur h, paramètre Q, pasp. Sortie : vecteur u

u(1) = 0;v(1) = (h(1)−Q)/(h(1)³); for k= 2tolength(h) do

v(k) =v(k−1) +p∗F(v(k−1), k);

u(k) =u(k−1) +p∗v(k−1);

Acher u.

Fin du pseudo-code

3. Pour chaque valeur du paramètre Q on obtient une solution diérente pouru. Au lieu d'im- poser les valeurs de u(0) etu⁰(0), on souhaite imposer au système des conditions de pression en entrée et en sortie :

u(0) = 0 et u(L) = 0.

Ecrire un code Scilab qui cherche par dichotomie le paramètre Q permettant d'avoir une solution u vériant ces conditions aux limites.

Cas µ=e^αu.

Dans un second temps, on suppose que la fonctionµ est égale à µ:=e^αu, avec α= 0.1.

L'équation de Reynolds devient alors d

dx h³(x)e^−αuu⁰(x)

=h⁰(x) (3)

Ecrire cette équation sous la forme u⁰⁰(x) =F(u⁰(x), u(x), x)et reprendre les questions précédentes avec cette nouvelle équation.