Hypersurfaces symplectiques réelles et pinceaux de Lefschetz réels

HAL Id: hal-00115876

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Lefschetz réels

Damien Gayet

To cite this version:

hal-00115876, version 2 - 5 Dec 2007

DAMIENGAYET

Abstra t

Ina ompa tsymple ti real manifold,i.esupportinganantisymple ti involu-tion,weuseDonaldson's onstru tiontobuilda odimension2symple ti subman-ifold invariantunder thea tionof theinvolution. Ifthereal partofthe manifold is not empty, and if the symple ti form

ω

is entire, then there is an integer

N

su h thatforall

k

bigenough,we anndahypersurfa ePoin arédualof

N k[ω]

su h that its real part has at least

k

n

2

onne ted omponents, up to a onstant independantof

k

,andwhere

2n

isthedimensionoftheambientmanifold. Finally weextendtoourreal aseDonaldson's onstru tionofLefs hetzpen ils.

Résumé

Dansle adred'unevariétésymple tique ompa te

X

2n

réelle, 'est-à-dire possé-dantuneinvolutionantisymple tique,nousutilisonsla onstru tiondeDonaldson pourétablirl'existen edesous-variétéssymple tiquesde odimension2invariantes par l'involution. Si lapartie réelle de lavariété est non vide, et si la forme sym-ple tique

ω

estentière, alorsil existeunentier

N

telquepourtout degré

k

assez grand,il existeunehypersurfa ePoin arédualeà

N k[ω]

,telleque sapartieréelle possède au moins

k

n

2

omposantes onnexes, àune onstante indépendante de

k

près,etoù

2n

est ladimensiondelavariétéambiante. Ennnousétendonsau as réel lesrésultatsdeDonaldsonsurl'existen edepin eauxdeLefs hetz.

Code matière AMS:14P25,53D05,14D06,32Q15. Introdu tion. Soit

(X

2n

_{, ω)}

une variété symple tique ompa te, et supposons qu'il existeunbré en droites omplexes

L

de lasse deChern

[ω]

, e qui revient à direqueles périodesde

[ω]

sontentières. Fixonsdeplusune stru ture presque omplexe

J

ompatibleave

ω

. Dans[Do1℄,S.KDonaldsonmontrequ'ilexisteune suite de se tions

(s

k

)

k

de

L

k

approximativement J-holomorphe (en abrégé AH), 'est-à-diredontle

∂

¯

estmajoréeparune onstanteindépendante de

k

, etdontla dérivée ovarianteest minoréeauxendroitsoù

s

k

s'annule par

η

√

k

, où

η

est une onstante indépendante de

k

et stri tementpositive. Ainsi,pour

k

assezgrand,le lieu des zéros de

s

k

est une variété lisse de odimension réelle 2. De plus, ette sous-variététendàdevenirdeplusenplus

J

- omplexe,sibienqu'elledevient sym-ple tiquepour

k

assezgrand.

Onsupposedans etarti leque

(X, ω)

possèdeunestru tureréelle, 'est-à-dire une involution

c

vériant

c

∗

_{ω = −ω}

. Peut-onalors onstuireune suitedese tions

(s

k

)

k

de

L

k

du typeDonaldson, et dont lelieu d'annulation est invariantpar

c

? Laréponseestpositive,et tientdansle

Topologiedelapartieréelledeshypersurfa es. Unproblèmeengéométrie réelle est de onnaître la topologie de la partie réelle, 'est-à-dire l'ensemble des pointsinvariantspar

c

,desobjetsréels onstruits. Nousobtenonslerésultatsuivant :

Théorème 2. Ilexiste une hypersurfa e symple tique réellesans partie réelle. Si lapartieréellede

X

estnonvide,ilexisteuneformesymple tique

ω

˜

aussipro hede

ω

qu'onveut,unréel

ǫ > 0

etunentier

N

telsquepourtout

k

assezgrand,ilexiste une hypersurfa e symple tique réelle Poin aré duale à

[N k ˜

ω]

dont dontle nombre de omposantes onnexes est aumoins

ǫk

n

2

. Cette borne est àune onstanteprès optimale, dans lesens où pour toute suite de se tions

(s

k

)

k

AH et uniformément

η

-transverse,ilexisteune onstante

C

tellequelenombrede omposantes onnexes de la partie réellede

s

−1

k

(0)

estinférieur à

Ck

n

2

.

Cas intégrable. Dans le as où

J

est intégrable, nous avons la proposition suivante :

Proposition 1. Soit

(X, ω, J, c)

une variétéproje tive réelle. Alors toutesles hy-persurfa es desthéorèmes pré édents peuventêtre onstruites omplexes.

Pin eaux de Lefs hetz réels. Rappelons que si la dimension de

X

est

2n

, un système de oordonnées omplexes

(z

1

, · · · , z

n

)

entréesen unpoint

x

est dit adapté silaformesymple tique

ω

est

(1, 1)

etstri tementpositiveaupoint

x

pour lastru ture omplexeinduitepar es oordonnées.

Dénition1. Unpin eaudeLefs hetzsymple tiqueasso ié àunevariété symple -tique

(X, ω)

est ladonnéede :

(i) Unesous-variété symple tique

N

de odimension réelle4. (ii) Une appli ation surje tive

F : X − N → P

1

(iii) Unnombre ni de points

∆ ⊂ M − N

en dehors desquels

F

est une sub-mersion.

De plus, es donnéesvérient lesmodèles lo auxsuivants:

(iv)Pourtoutpoint

p ∈ N

,il existeune arteadaptée

(z

1

, · · · , z

n

)

pourlaquelle la sous-variété

N

apouréquation lo ale

{z

1

= z

2

= 0}

ettelle que

F = z

2

/z

1

.

(v)

Pour toutpoint

p ∈ ∆

,il existeune arteadaptée

(z

1

, · · · , z

n

)

danslaquelle

F

s'é rit

F (z) = z

2

1

+ · · · + z

2

n

+ c

.

Enn,si

(X, ω)

estmunied'unestru tureréelle

c

,ondiraquelepin eauestréel si

¯

F = F ◦ c.

Lethéorèmeprin ipalde[Do2℄estlesuivant:

Théorème 3. ([Do2℄) Soit

(X, ω)

une variété symple tique ompa te telleque la lassede ohomologie

[ω]

soitentière. Alorspour

k

assezgrand,ilexisteunpin eau de Lefs hetzdontlesbres sontPoin aréduales de

k[ω]

.

Nousdémontronsdansladeuxièmepartiede etarti leque ethéorèmes'adapte dansle asréel:

Théorème4.Soit

(X, ω, c)

unevariétésymple tiqueréelle,telleque

ω

soitentière. Alorsil existe unpin eaude Lefs hetzréel.

1. Constru tion d'unehypersurfa e symple tiqueréelle

1.1. Stru tures asso iées à la stru ture réelle. Stru tures presque om-plexes. Unepremièreremarquedémontréedans[We℄estqu'ilexisteunestru ture presque omplexe

J

àlafois ompatibleave

ω

etrendant

c

antiholomorphe, 'est-à-diretelleque

dc ◦ J = −Jdc

. Danstoutelasuite,

J

désigneraunetellestru ture. Formesymple tiquesà valeursentières. Pourque

−iω

soitla ourbured'un bré en droites omplexes, il faut que ses valeurssur les2- y les soient entières. Lelemme suivantnouspermetderéaliser ette ondition,tout enrestantdansun adreréel.

Lemme1. Si

ω

n'estpasàvaleursrationnelles, onpeutlaperturberen

ω

˜

de sorte que

c

resteantisymple tiquepour lanouvelleforme.

Démonstration. En eet, soit

Z

2

+

le sous-espa e ve toriel propre pour la valeur propre

+1

del'endomrophisme

−c

∗

:

−c

∗

: Z

2

(X, R) → Z

2

(X, R)

agissantsurles2-formesferméesréelles. Leréseau

Z

2

_{(X, Q)}

des2-formesfermées à valeurs rationnelles sur les 2- y les est invariant par

−c

∗

, et son interse tion

Z

2

+

∩ Z

2

(X, Q)

est dense dans

Z

2

+

. On peutdon perturber

ω

en unélément de

Z

2

_{(X, Q)}

toutenrestantdansl'espa edesformesinvariantespar

−c

∗

.

2

Fibrés

c

-réels. Lelemmesuivantestimmédiat :

Lemme 2. Soit

E

unbré omplexe au-dessus de

X

. Alorsl'appli ation

c

de

X

dans

X

se relève en un isomorphisme

C

-antilinéaire de brés

ˆ

c : E → E

si et seulement si

(c

∗

_E)

∗

_{= E}

.

Le problème est qu'il n'existe pas toujours une

involution C

-antilinéaire qui relève

c

,voirparexemple[We2℄.

Dénition 2. Unbré

E

estdit

c

-réels'ilexiste une involutionantilinéaire de

E

dans

E

relevant

c

. Dans e as, on désigne par

κ : Γ(E) → Γ(E)

l'involution sur l'espa e desse tionsde

E

induitepar

ˆ

c

:

κ(s) = ˆ

c

−1

◦ s ◦ c.

Une se tion

s

de

E

estditesymétrique si

κ(s) = s

. Lemme 3. Soit

L

unbréen droitesvériant

L = (c

∗

_L)

∗

. Alors

L

2

est

c

-réel. Démonstration. Soit

ˆ

c

uneappli ationantilinéairede

L

dans

L

relevant

c

. L'appli ation

ˆ

c ◦ ˆc

est un isomorphisme linéaire de

L

dans

L

relevantl'identité. Il existe don une fon tion omplexe

a : X → C

∗

telle que

c ◦ ˆc(x, λ) = (x, a(x)λ)

ˆ

. En utilisant l'égalité

ˆ

c

2

_{◦ ˆc = ˆc ◦ ˆc}

2

,on onstateque ette fon tion

a

vériel'identité:

a = a(c).

Si l'on veut onstruire unnouveaurelèvement de

c

, il sut de diviser

ˆ

c

par une appli ation omplexenes'annulantpas:

ˆ

c

φ

=

1

φ

ˆ

c

. Ainsi,

ˆ

c

2

φ

= ˆ

c

2

_φφ(c)

1

.

Maintenant, il estfa iledevérierquel'appli ation

ˆ

c

L

2

=

1

a

ˆ

c ⊗ ˆc

est uneinvolutionantilinéairede

L

2

dans

L

2

relevant

c

.

2

Fait : Soit

(X

2n

_{, J)}

c

-réel,et ontpeut hoisir

κ(β) = c

∗

_β

Supposonsquelapartieréelle

L = RX

soitnonvide. Dans e as,ilestfa ilede démontrer que

L

est unesous-variétélagrangienne. Par onséquent, larestri tion dubréen droites omplexes

L

à

L

est topologiquementtriviale puisquesa lasse de Chern

[ω

|L

]

est nulle. Quitte àrempla er

L

parune ertainepuissan e

L

N

, il existe don une se tion

e

de

L

ne s'annulantpas sur un voisinage

V

de

L

. Ce i nouspermet de hoisirune involutionde

L

parti ulière:

Lemme 4. Si

RX

est non vide, et quitte à rempla er

L

par une puissan e paire

L

2N

,pour toutese tion trivialisante

e

de

L

surlevoisinage

V

de

RX

,denorme 1 sur

V

,on peut hoisir

ˆ

c

de sorte que

ˆ

c(e) = e

auxpointsde

RX

.

Démonstration. Soit

f ∈ C

∞

_{(V, S}

1

₎

, telle que

ˆ

c(e) = f e

sur

V

. Etendons à

X

ette appli ation. Quitte à onsidérer

L

2

au lieu de

L

, l'appli ation

f f (c)

admet une ra ine arrée

g

qu'on peut hoisir égale à

f

sur

RX

et vériant

g(c) = g

. Maintenant,lenouveaumorphismedebré

˜

c =

1

g

ˆ

c

est l'identitéau-dessusde

RX

.

2

1.1.1. Connexionsréelles. Onsupposedorénavantque

L

estunbré

c−

réel. Sur

L

onxeunemétriquehermitienneinvariantepar

c

,quiexistetoujours. L'involution

κ

s'étendà

Γ(T X

∗

⊗ L)

par:

κ : α ⊗ λ 7→ c

∗

_{α ⊗ κ(λ).}

Si

∇

est une onne tion hermitienne,

∇s ∈ Γ(T X

∗

_{⊗ L)}

, e qui nous permet de onstruireune involutionnaturellesurles onnexionsde

L

par

κ(∇) = κ∇κ.

Ilestalorsaisédedémontrerlelemmesuivant:

Lemme 5. Si

∇

est une onne tion hermitienne de ourbure

−iω

, alors

κ(∇)

également. De pluspourtoute onnexion

κ

-invariante, ettoutese tion

s

de

L

,on a

|∇κs| = |∇s|(c)

, demême que

|∇

0,1

_{κ(s)| = |∇}

0,1

_s|(c).

Onaparailleursle

Lemme6. Ilexisteune onnexionunitaire

∇

de ourbure

−iω

et

κ

-invariantesur

X

.

Démonstration. Si

∇

0

estune onnexionhermitiennede ourbure

−iω

,alors

∇ =

1

2

(∇

0

+ κ(∇

0

))

onvient.

2

Danstoute lasuite,onmuniranotrebréd'unetelle onnexion.

1.2. LethéorèmedeDonaldson[Do1℄. Soit

(X, ω, J)

unevariétésymple tique ompa temunied'unestru turepresque omplexe

J

ompatibleave

ω

, 'est-à-dire telleque

ω(., J.)

estunemétriqueriemanienne. Si

ω

estàpériodesentières,ilexiste unbréendroites omplexes

L

sur

X

,dontla lassedeChernreprésentela lasse

[ω] ∈ H

2

_{(X, Z)}

. Si l'on muni

L

d'unenormehermitienne, il existe une onnexion unitaire

∇

sur

L

de ourbure

−iω

. Tous esobjetsontuneextensionnaturellepour haquepuissan e

L

k

dubré. Enparti ulier,onnotera

g

k

lamétrique

kg

.

Dénition3. Soit

E

unbréhermitiensur

X

. Unesuite

(s

k

)

k

dese tionsde

E ⊗

L

k

estasymptotiquementholomorphe(AH)s'ilexisteune onstante

C

indépendante de

k

,tellequepourtout

k

,

|∇

0,1

_s

k

| ≤ C

,tellequesadérivéeestennormeinférieure à

C

√

k

,et sadérivée se onde en est de norme inférieureà

Ck

. Lasuite

(s

k

)

k

est de plus

ǫ

-transversesur

X

s'ilexiste

ǫ > 0

,telquepourtout

x

tel que

|s

k

(x)| ≤ ǫ

,

∇s

k

(x)

admet uninverse àdroitede norme inférieure à

(η

√

k)

−1

Le théorème prin ipal de [Do1℄, originellement démontré si

E = X × C

, et généraliséparAurouxpourle asgénéral,estlesuivant:

Théorème 5. (Donaldson, Auroux)Soit

E

unbréhermitien sur

X

. Pour toute suitedese tions

(s

k

)

k

AHde

E⊗L

k

,etpourtout

ǫ > 0

xé,alorsilexisteun

η > 0

, une suitedese tions

(˜

s

k

)

k

AH,

η

-transversepour

k

assezgrand, ave

|s

k

− ˜s

k

| ≤ ǫ

, et

|∇s

k

− ∇˜s

k

| ≤ ǫ

√

k

.

Il nousfaut rappeler lesidées dela démonstrationde e théorème, dansle as où

E

est lebré endroites omplexestrivial. Pourtoutréel

D > 0

apriorixé,il existe unre ouvrementpar ouleurs, 'est-à-direpardesensemblesdeboulesde

g

k

-tailleégaleà1et dontles entressont

g

k

-distantsd'aumoins

D

. Lenombre

N

de es ouleursaugmenteévidemmentave

D

,maispasave

k

. Onperturbeen

N

étapeslasuitedese tions

s

k

parune sommepondéréedese tionsessentiellement lo aliséesau-dessusdes entresdesboulesd'une ouleurdonnée. Pluspré isément, es se tionssontdumêmemodèle:

Lemme 7. Soit

x ∈ X

. Ilexiste une suitede se tions

(σ

k,x

)

k

asymptotiquement holomorphe satisfaisantles inégalitéssuivantes:

(1)

|σ

k,x

| ≥

1

2

sur B

g

k

(x, 1)

(2)

|σ

k,x

|

C

2

≤ p(d

k

(x, y))e

−d

k

(x,y)

2

(3)

σ

k,x

aunsupportin lusdans

B

g

k

(x, k

1/6

_{) = B}

g

(x, k

−1/3

)

, où

p

est unpolynmeindépendantde

k

.

Laperturbationsurune ouleurest faitedelafaçonsuivante :

s

k

→ s

k

+

X

x

i

∈couleur

w

i

σ

k,x

i

.

A haqueétape, unthéorème deSard permet de hoisirles

w

i

de façonà e que lanouvellese tiondevienne

η

-transverse surlanouvelle ouleuret lerestesur les an iennes, mais pour un

η

de plusen pluspetit. Lethéorème de Sardutilisé est quantitatif, e qui permet d'ee tuer ette ré urren e en un nombre d'étapes ne dépendantpasde

k

.

1.3. Constru tion de l'hypersurfa e réelle. La plupart des outilste hniques qui nous permettent d'obtenir le théorème1 sont partiellement présents dans les arti les [Do1℄, [Do2℄, [Au℄ et [Au,Mu,Pr℄. Dans e dernierarti le il est démontré que si

L

est une sous-variétélagrangienne munie d'une fon tionde Morse réelle, alors il existeunpin eaude Lefs hetz

F

àlaDonaldson, telqu'uneisotopie de

L

seprojette par

F

surun ar réel. Pourdémontrer e résultat, lesauteurs ont be-soinde onsidérer

L

ommelapartieréelled'unestu ture réellesemi-lo ale,et de onstruirelesperturbationsdefaçonsymétriquesparrapportà ettestru ture au voisinagede

L

. Dansnotre as,nousdevons onstruirelesse tionsetleur pertur-bation defaçonsymétrique, mais ette fois globalementsur tout

X

. Parailleurs, nous aimerionstransversaliser n'importe quelle suite de se tions AH symétrique, pas né essairementàpartird'une fon tiondeMorse sur

RX

. Nous allonsen fait démontrerlaproposition suivante.

Proposition 2. Soit

E

un bré hermitien

c−

réel, et

(s

k

)

k

une suite de se tions symétriques etAH de

E ⊗ L

k

. Alorsil estpossible de la perturber enune suitede se tionssymétriques,AHet transversesur

X

.

Remarquonsquele théorème1estune onséquen eimmédiatede ette propo-sition,ave

E = X × C

.

invariantepar

c

. Deplus,onpeutfaireensortequesil'unede esboulesren ontre

RX

,alorslabouleestinvariantepar

c

.

Par sou i de larté, nous démontrons le théorème pour

E = X × C

, puis nous expliqueronslesadaptationsné essairespourle asgénéral.

Démonstration dans la as où

E = X × C

. Désignons par

Λ

′

(resp.

I

′

i

) un sous-réseauminimal(resp. dela ouleur

I

i

)telque

[

x∈Λ

′

B

g

k

(x, 1) ∪ B

g

k

(c(x)), 1) = X,

(resp. pourla ouleur

i

, mutatismutandis). Lorsdelatransversalisationsurune bouledela ouleur

I

i

,sil'onperturbelase tion

s

k

par

wσ

k,p

,onperdle ara tère réel. Nous avons don besoin d'un ranement du théorème de Sard quantitatif présentdans[Do1℄:

Proposition 3. Il existe unentier

p

et

δ

0

> 0

, telsque pour tout

0 < δ < δ

0

, si

σ = δ log(δ

−1

₎

−p

, et

f

une fon tion omplexe dénie surla boule

B(0,

11

10

) ⊂ C

n

vériant

|f| ≤ 1, | ¯

∂f |

C

1

≤ σ,

alors il existe une onstante

w ∈ R

,ave

|w| ≤ δ

,et

f − w

est

σ

-transversesurla bouleunitéde

C

n

.

Remarque : Notonsquelaseulediéren eave lespropositionsde[Do1℄est que l'onpeut hoisir

w

réel.

Pourpoursuivre,nousavonsbesoinégalementduranementsuivantdulemme7, qui nouspermet derempla er

σ

k,x

parune se tionAHsymétrique:

Fait: Pourtout

x ∈ Λ

′

, lase tionAH etsymétrique

ˆ

σ

k,x

=

σ

k,x

+ κ(σ

k,x

)

2

est denormeuniformémentminoréesur

B

g

k

(x, 1) ∪ B

g

k

(c(x), 1)

.

Onappliquedon lepro édédeDonaldsonsurlesboules entréessurlespoints

x

de

Λ

′

,maisenutilisantlaproposition3appliquéeà

f =

s

k

ˆ

σ

k,x

,

e qui permet de trouver un

w rel

de sorte que

s

k

+ wˆ

σ

k,x

est symétrique et transversesur laboule

B

g

k

(x, 1)

. On aalorspar lelemme 5latransversalisation automatique sur les boules entrées sur les points de

c(Λ

′

₎

, e qui démontre le théorème1.

2

NousdonnonsmaintenantunedémonstrationduranementdulemmedeSard. Démonstration de la proposition 3. La preuve suit jusqu'au dernier moment la preuve lassique donnée par [Do1℄. L'appli ation

f

vériant

| ¯

∂f | ≤ σ

peut être

C

1

-appro héeparuneappli ation holomorphe

f

˜

surlabouleunité, etl'erreurest inférieureàunmultiple(borné)de

σ

. Ensuiteilestpossiblede

C

1

-appro her

f

˜

de

σ

par unpolynme omplexe

g

de degréinférieur ouégal à

C log(δ

−1

₎

, où

C

est une onstante nedépendantquedelaboule. Pourtoutefon tion omplexe

h

,soit

Y

h,ǫ

= {z ∈ B

2n

, |d

x

h| ≤ ǫ},

Proposition 4. Soit

P

un polynme de

R

m

dans

R

, tel que 1 soit une valeur régulièrede P sur

B

m

,ainsiquede la restri tionde P sur

S

m−1

. Alorslenombre de omposantesdu sous-niveau

{P ≤ 1}

ainsi queleur diamètre(pour la métrique induite) sont

p−

bornés.

On dit qu'une quantité asso iée à un polynme est

p

-bornée si elle est ma-jorée par une puissan e du degré du polynme. Après une inme perturbation de

g

, appliquons la proposition pré édente au polynme réel

|∂g/cσ|

2

, qui est de degré

C log(σ

−1

₎

, où

C

est une nouvelle onstante de stru ture. Le diamètre pour la métriqueambiante de l'image d'une omposante de

Y

g,cσ

est majoré par

C

′

_{σ log(σ}

−1

₎

p

, où

p

est la puissan e donnée par la proposition. Le voisinage

σ

-tubulaire de

Z

g,cσ

est don ontenu dans une réunion de

log(σ

−1

₎

p

disques de rayonségauxà

σ log(σ

−1

₎

p

_{+ σ}

. Cedernierajoutde

σ

ne hange rien,et onpeut l'oublier. L'interse tion de l'ensemble prohibé ave

R

re ouvredon au plusune longueur de

σ log(σ

−1

₎

2p

. Si le rayondu disque est par exemple

σ log(σ

−1

₎

3p

, il reste en orebeau oup depla epourtrouverun

w

réeldans le omplémentaire de

Z

g,cσ

dans

[−δ, δ]

. Onobtientalorslaproposition,enee tuantun hangementde variables ommedans[Do1℄.

Démonstration de la proposition 2 dans le as où

E

est un bré hermitien quel- onque. Nous suivons la démonstration de [Au℄ et l'adaptons en ours de route à notre as. Elle onsiste à transversaliser

s

k

omposante par omposante. Plus pré isément, on hoisit un re ouvrement par des ouverts

U

i

de trivialisation du bré

E

, telsque

c(U

i

)

oïn ide ave un autre

U

j

, et pré isément

U

i

si

U

i

ren on-tre

R

X

. On transversalise sur lamoitié de l'ensemble de es pairesd'ouverts en ajoutantà

s

k

desse tionssymétriques,si bienqu'automatiquement, eladonnera latransversalisationsur lerestedesouverts. Supposonsquesurun ertain

U

i

, les

r

premières omposantes de

s

k

,qu'oné rit

π

≤r

s

k

, formentunese tiontransverse, et dénissentdon une sous-variétésymple tique

W

k,r

lisse sur

U

i

. Auroux mon-tre qu' ilest possibledetransversaliserlarestri tiondela

r + 1

-ième omposante

π

r+1

s

k

sur

W

k,r

enluiajoutantunepetitese tionAH

τ

k,r

. Ildémontreensuiteque ela impliqueautomatiquementque

π

≤r

s

k

⊕ (π

r+1

s

k

+ τ

r,k

)

est enfait transverse surtout

U

i

. Dansnotre as,noussavonsque

W

k,r

estinvariantpar

c

. Parailleurs, puisquelase tionpartielle

π

≤r

s

k

est transverse,il estfa iledevoirqu'ilexisteun

ρ > 0

indépendantde

k

,telquepourtoutpoint

x ∈ RX

,l'interse tionde

B

g

k

(x, ρ)

ave

W

k,r

esttoujoursoubien onnexeetdepartieréellenonvide,oubienestvide. Pourle pro édéde Donaldson,on onsidère don unréseau

Λ

′

invariantpar

c

, et entrésurdespointsde

W

k,r

,deboules

B

g

k

(x, ρ)

. Ilestalorspossibled'appliquer ladémonstrationdé ritedans[Au℄,sansparamètre

t

,et enutilisantlaproposition 3pour haquetransversalisation,etenn

σ

ˆ

k,x

aulieude

σ

k,x

. Autotal,onaajouté des se tionssymétriquesqu'onsomme enune se tion

τ

k,r

, desortequelase tion

π

≤r

s

k

⊕ (π

r+1

s

k

+ τ

r,k

)

est symétriqueet transverse sur

U

i

. Pourtout ouvert

U

i

trivialisant

E

,onrépètelepro essus,dontle nombredepasnedépend quede

E

et

X

,sibienqu'autotal,onobtientlaproposition2danstoutesa généralité.

2

1.4. Uni ité. Nous démontrons maintenant une version d'uni ité des hypersur-fa es réelles onstruites:

Proposition 5. Soient

(s

1,k

)

k

et

(s

2,k

)

k

deux suites de se tions de

E ⊗ L

k

Démonstration. Pour fa iliter lale ture, nous démontrons ette proposition dans le as où

E = X × C

. Tout omme dans [Au℄, on onsidère la suitede se tions symétriques

s

t,k

= ts

1,k

+ (1 − t)s

2,k

,et l'onvamontrerqu'onpeuttransversaliser ette suite uniformément en

t

. Le problème prin ipal est que la proposition 3, ontrairementàsaversionplussouplede[Do1℄,n'admetpasdegénéralisationave un paramètre. En eet, le lieu des

w

réels interdits à haquetemps

t

est ertes très petit, maissépareengénérall'axedesréels enaumoinsdeuxparties, ausein desquellesilfaut hoisir

w

t

. Orl'unede espartiespeutdisparaîtrepourun ertain

t

, si bien qu'il faudrait alors hoisirdes

w

t

dis ontinus, e qui n'est évidemment pas possible. Nous verrons plus bas que la ondition d'égalité des deux se tions auxpointsde

RX

permetdes'abstenirde ette version. Endehorsd'unvoisinage de

g

-taille xe de

RX

, nous pouvons utiliser la version paramétrique d'Auroux (proposition3dans[Au℄),etadditionnerà

s

t,k

lase tion

w

t

σ

k,x

+ w

t

κ(σ

k,x

)

. Cette dernière est symétrique, et puisque lessupports de

σ

k,x

et

κ(σ

k,x

)

sontdisjoints, d'unepartlatransversalitéaquised'un té,sur

B

g

k

(x, 1)

,n'estpasperturbéepar leterme

w

t

κ(σ

k,x

)

,d'autrepartparlelemme5,latransversalitéestspontanément a quise del'autre té,sur

c(B

g

k

(x, 1))

par edernierterme. Maintenant,étudionslasituationsurune boule

B

g

k

(x, 1)

,ave

x ∈ RX

. Après trivialisationparlelemme 9 i-dessous,nousutilisonslelemme suivant:

Lemme 8. Soit

f

une fon tion omplexe dénie sur

2B

2n

, vériant

| ¯

∂f |

C

1

< ǫ

, et

f (x) = 0

pour tout

x

dans

R

n

. Alors

|f|

C

1

(B

2

n

₎

< cǫ

, où

c

est une onstante indépendantede

f

etde

ǫ

.

Démonstration. Pour démontrer e lemme, on ommen e par trouver grâ e au lemme 28de[Do1℄unefon tionholomorphe

f

˜

sur

3

2

B

2n

telleque

|f − ˜

f |

C

1

₍

3

2

B

2

n

₎

< Kǫ,

où

K

est une onstante indépendante de

f

et de

ǫ

. Ensuite, lelemme 27 de[Do℄ nousdonneunpolynme omplexe

p

,telque

| ˜

f −p|

C

1

< ǫ

. Onadon parlase onde hypothèse

|p

|R

n

|

_C

1

< (K + 1)ǫ

, equiimplique,puisque

p

est omplexe,l'existen e d'une onstante

c > 0

telleque

|p|

C

1

< c(K + 1)ǫ

,et don

|f|

C

1

< (1 + c)(K + 1)ǫ

.

2

En appliquant e lemme à

f =

s

1

,k

−s

2

,k

σ

k,x

via la traditionnelle renormalisation par

1/

√

k

,onobtientque

s

1,k

− s

2,k

estennormeinférieureà

C/

√

k

,etsa dérivée ovarianteinférieureennormeà

C

(pourlamétrique

g

). C'estdon égalementvrai pour

s

t,k

− s

2,k

uniformémenten

t

,et puisque

s

2,k

esttransversesur

B

g

k

(x, 1)

, la se tion

s

t,k

l'estaussi,pour

k

assezgrand.

Il reste maintenant à transversaliser

s

t,k

dans l'espa e entre les deux régions pré édentes. Pour ela,ilnousfautunranementdelaproposition3de[Au℄,qui est donnéparlapropositionsuivante de[Au,Mu,Pr℄:

Proposition 6. [Au,Mu,Pr℄ Soit

C > 0

,

ǫ > 0

. Alors il existe un entier

p

et une onstante

δ

0

, tels que pour tout

0 < δ < δ

0

, si

σ = δ(log(δ

−1

₎₎

−p

et

f

t

,

h

t

deux hemins ontinus paramétrés par

[0, 1]

de fon tions omplexes sur la boule

B(0,

11

10

) ⊂ C

n

vériantles majorations suivantes:

|f

t

| ≤ 1, | ¯

∂f

t

|

C

1

≤ σ, |h

_t

| ≤ 1 − ǫ, |dh

_t

| ≤ C, | ¯

∂h

_t

|

_C

1

≤ σ.

Alorsil existe un hemin ontinu

w

t

∈ C

vériant

|w

t

| < δ

,telque

f

t

− w

t

− ¯

w

t

h

t

soit

σ

-transverse à0surla boule unitéde

C

n

.

orrespondàlafon tion

f

t

=

s

t,k

σ

k,x

− w

t

− ¯

w

t

κ(σ

k,x

)

σ

k,x

.

Quitte à prendre des boules de trivialisations assez petites (de

g

k

-taille indépen-dantes de labouleet de

k

), lesdeux points

x

et

c(x)

sontàune

g

k

-distan ed'au moins

2

,sibienquelafon tion

h

t

= h =

κ(σ

k,x

)

σ

k,x

et

f

t

vérientleshypothèsesdela proposition.

2

1.5. Lapartieréelledel'hypersurfa esymple tique. Dans eparagraphe,on supposequelapartieréelleestnonvide. Lebutestde onstruiredeshypersurfa es réellessymple tiquesdontlelieuréelestoubienvide,oubiennonvide,etdans e asdemaximisersipossiblesatopologie. Nouspouvonsénon erdeuxpropositions simples. Lepremier asestminimal,puisque lapartieréelleest vide:

Proposition7. Ilexiste unehypersurfa esymple tique de partieréellevide. Démonstration. Dans [Au,Ga,Mo℄, les auteurs ont onstruit une se tion AH de normeuniformémentminoréeau-dessusd'unesous-variétélagrangienne

L

donnée. Ce théorème est rané dans lelemme 5.4 de [Au,Mu,Pr℄, où la se tion est ette fois lo alement symétrique au voisinage de

L

si elle- i est lo alement la partie réelle d'uninvolutionantisymple tique,et s'annuleau-delàde e voisinage, equi onvientànotre situation. Ilsutalorsdetransversaliserparnotreproposition2 pourobtenirunese tionsymétriqueetnes'annulantpassur

R

X

.

2

La proposition suivante her he, au ontraire, à maximiser la topologie de la partie réelledel'hypersurfa e:

Théorème 6. Soit

(X

2n

_{, ω, J, c)}

une variété symple tique réelle de partie réelle non vide. Si

[ω]

estrationnelle,ilexisteun

ǫ > 0

telquepourtout

k

assezgrand,il existe une hypersurfa e symple tique réelle Poin aré dualeà

2k[ω]

etune suitede se tionsAH

(s

k

)

k

, tel que lenombre de omposantes onnexes de sa partie réelle est aumoins

ǫk

n

2

.

Remarque 1. Rappelons que dans [Do1℄, il est démontré que les hypersurfa es sonttoujours onnexespour

n ≥ 2

.

Remarque 2. En dimension 4, notre théorème donne une minorationen

ǫk

, e qui està omparerave lethéorèmed'Harna k,qui majoredans

CP

2

omplexe le nombred'ovalesd'une ourbeholomorpheréelleparunebornedel'ordrede

k

2

_/2

. Remarque 3. Leshypersurfa esdeDonaldsontendentàremplirtoutl'espa e,et don n'ontpasderaisonparti ulièredese on entrersurlapartieréellede

X

. On aeneet([Do1℄,proposition40):

1

k

Z

k

→ ω

en tantque ourants. On peut don s'attendre, dans notre as, à e que la par-tie réelle de es hypersurfa es soit relativement représentative de elle du lieu d'annulationd'unese tionpriseauhasard.

Remarque 4. Dans [Ed,Ko℄,les auteurs démontrentque dans

CP

1

et pourune ertainemesurenaturellesurlespolynmesdedegré

k

,lenombremoyendera ines réellesd'unpolynmeréelest

√

La proposition suivante montre que de toutesfaçons il nefallait pass'attendre à obtenirvraimentmieuxque equ'orelethéorèmepré édent:

Proposition 8. Soit

(X

2n

_{, ω, J, c)}

une variété symple tique réellede partie réelle nonvide,et

(s

k

−

k

unesuitedese tionsAH,uniformémenttransverseetsymétrique. Alors il existe une onstante

C

indépendante de

k

, telle que le nombre de om-posantesde la partie réellede

s

−1

k

(0)

n'ex èdepas

Ck

n

2

.

Démonstrationde la proposition 7. Soit

x

unzéroquel onque de

s

k

. Puisque

s

k

est transverse, il existe un

ǫ > 0

tel qu'en

x

,

|∇s

k

| ≥ 2ǫ

√

k

. Parailleurs

∇∇s

k

est un

O(k)

, si bien que pour

η

assezpetit indépendantde

k

, ladérivée reste en norme supérieure à

ǫ

√

k

sur la boule

B

g

k

(x, η)

. Il s'ensuit ( f. [Au℄, partie 3.3) quesur etteboule,l'hypersurfa eesttriviale. Par onséquent, haque omposante onnexe de

s

−1

k

(0) ∩ RX

ontientuneboulederayon

η/

√

k

, telleque deuxde es boulesnes'interse tentpas. Si

N

estlenombrede es omposantes,

N (η/

√

k)

n

est don majoréparle volumede

RX

, e qui impliquela ontrainte

N ≤ Ck

n

2

pour une onstante

C

indépendantede

k

.

2

Démonstrationduthéorème6. Nousavonsd'abordbesoindulemmesuivant: Lemme 9. Soit

x ∈ L

. Alorsil existe uneappli ation

φ : B

g

(x) → C

n

vériant : (i)

φ(x) = 0

(ii)

φ

∗

_ω

0

= ω

(iii)

φ(L) = R

n

(iv)

φ

∗

_J

0|L

= J

|L

(v)

φ

serelève enunisomorphisme entre

L

et lebré trivialsur

C

n

. (vi)

c = φ

˜

∗

c

,où

c

0

estla onjugaisonsur

C

n

etvérie

d˜

c = dc

auxpointsde

L

. Démonstrationdulemme. Les inqpremièrespropriétéssont lassiques( f. [Au, Mu, Pr℄). Quantàladernière,remarquonsd'abordque

dc

|T L

= d˜

c

|T L

.

Ensuite,si

λ

est unve teurnormalà

T L

,alors

Jλ ∈ T L

,etdon

d˜

c(λ) = −d˜c(J

2

λ) = Jd˜

c(Jλ) = J

2

λ = −λ = dc(λ)

e quidémontrele(vi).

2

L'idée est de prendre sur

RX

un réseau dont la maille est de

g

k

-taille

D

, la onstante

D

étantindépendante de

k

, puispour haquesommet

x

i

, de onstruire une suite de se tions

τ

i,k

susamment transverse, et dontla partie réelle dulieu d'annulation est lo alement et approximativement une hypersphère in luse dans

B

g

k

(x

i

, 1)

. Cequisuittraiteenfaitd'unesituationplusgénérale.Soit

f : B

2n

_{→ C}

unefon tionholomorphe,nonsingulière,vériant

f (¯

z) = f (z)

pourtout

z ∈ 2B

2n

, ettellequelapartieréelledesonlieud'annulationsoitin lusedanslabouleouverte. L'exemple dontonseserviraest

f (z

1

, · · · , z

n

) = z

1

2

+ · · · + z

n

2

−

1

2

.

Dans e modèlelo al,lasuitedese tions

τ

k

(z) = f (z

√

k)e

−k|z|

2

est holomorpheetsymétrique. Elleestdeplusuniformément

ǫ

-transversepourun

ǫ

donné surlaboule. En eet,remarquonsd'abordlefaitsuivant:

∃η > 0, |f| <

η

2eC

=⇒ |df| > η,

où

C

estelleque

|∇e

−k|z|

2

| ≤ C

√

k

. Si bienquesi

|τ

k

| < η/2e

2

_C

,alors

|∇τ

k

| ≥

√

equidémontrelatransversalitéuniformede

τ

k

. Deplus,ilest lairqueladérivée de

τ

k

est ennormeinférieure à

C

′

√

_k

, où

C

′

nedépendpasnon plusde

k

. Enn, larestri tionà

R

n

delasuitedese tionsestégalementtransverse,pourlesmêmes raisons quepré édemment.

Nous utilisons le lemme pré édent an de rapatrier ette suite dese tions sur notre variété symple tique. Nous noterons

τ

i,k

la se tion

φ

∗

i

τ

k

, où

φ

i

est le dif-féomorphisme dulemme, entré sur le point

x

i

. La suite de se tionsobtenue est AH, symétrique, et

ǫ

-transverse pour un

ǫ

qu'on peut hoisiruniforme pourtout pointdu réseau puisquela partie réelle

RX

est ompa te. Le pro édé de ut-o traditionnel hezDonaldsonnevientpasperturber espropriétés. Enrevan he,la transversalitén'estplusvraiequesuruneboulequ'onpeut hoisirde

g

k

-rayon

1

.

Maintenant, nous faisons la somme de toutes es se tions. Si la maille

D

du réseau est susamment grande, mais indépendante de

k

, la somme de toutes les autres ontributions laisse transverse ha une desse tions parti ulières. En eet, lanorme

C

0

(resp.

C

1

)delasommedetouteslesautres ontributionsque

τ

i,k

est majoréepar:

|

X

x

j

∈

Réseau

\{x

i

}

τ

x

j

,k

| ≤ Ce

−D

|

X

x

j

∈

Réseau

\{x

i

}

∇τ

x

j

,k

| ≤ Ce

−D

√

_k.

Au total, pour

D

assez grand (indépendant de

k

) la transversalité d'origine au point

x

i

est préservéeparlesajoutsdesautres fon tions

τ

sur laboule

B

g

k

(x

i

, 1)

.

La se tion ontinue don à s'annuler sur

R

X

sur une sous-variété isotope à la réunion des hypersphères, et e dansun voisinagetubulaire de elles- i et de

g

k

-taille de l'ordre de

e

−D

_/ǫ

, bien inférieure à elle qui sépare

x

des autres points du réseau, si l'on hoisit

D

assez grand. On a don réé autant d'hypersurfa es (déforméesdeshypersphères)d'annulationquedepointsduréseau,soit

ǫ

′

√

_k

,où

ǫ

′

est une onstanteassezpetitenedépendantquedelagéométrie de

(X, ω)

. Enn, la proposition 2nouspermet deperturber

s

k

enune suitede se tionstransverses et symétriques. Silaperturbationest assezfaible, lespseudo-hypersphères réelles nesontpasdétruites,etlethéorèmeestdémontré.

2

1.6. Le as intégrable. Démonstration de la proposition 1. La proposition 1 est déduite dela onjon tion desrésultats pré édents,et dufait fondamental que lorsque

J

estintégrable, 'est-à-direque

X

estunevariétéKähler,ilestpossible( f. [Do1℄, proposition 34)de rendrelesse tions on entréesdulemme 7holomorphe. Par ailleurs il est lair que si

s

est une se tion holomorphe,

κ(s)

est également holomorphe. Dans notre as, il est ru ial de trouver, pourtout point

p

de

RX

, unese tionsymétrique on entréeetholomorphedutypeprédédent. Ilsut omme dans lapartie 1.3 de hangerla phasede

σ

k,p

, puisde prendre

1

2

(σ

k,p

+ κ(σ

k,p

))

, qui onservetoutes les propriétés souhaitées. En utilisant laversionholomorphe de es se tions on entrées, onobtienttousles résultatspré édentsdans le adre omplexe.

2

2. Pin eaux deLefs hetz réels

Proposition 9. Soient

s

0

et

s

1

des suites de se tions AH et symétriques. Alors pour

ǫ > 0

assezpetit,ilexisteunesuitedese tions

τ

0

⊕τ

1

de

L

k

_⊕L

k

symétriques, telleque:

1. Lase tion

s

0

+ τ

0

est

ǫ

-transverse.

2. Lase tion

(s

0

+ τ

0

) ⊕ (s

1

+ τ

1

)

est

ǫ

-transverse,

3. La (1,0)-dérivée

∂F

de la fon tion omplexe

F = (s

1

+ τ

1

)/(s

0

+ τ

0

)

, est

ǫ

-transversesurl'ensemble

Z

k,ǫ

= {|s

0

+ τ

0

| ≥ ǫ}

. 4.

F (c) = ¯

F

.

2.1. De laproposition8au théorème4. Dans eparagraphe,noussupposons que laproposition pré édente est vraie, et nous démontrons sous ette hypothèse que ha unedes onditionsdeladénition1estvériée.

2.1.1. Propriété (iv). Nous devonsperturberlessuitesdese tions

s

0

et

s

1

an de satisfaireàla onditiondelapropriété

(iv)

deladénition1. Cetteperturbationest réaliséedans[Do2℄,pp214-215,Lemme11. Commed'habitude,nousdevonsnous assurer quenous pouvonsla réaliser de façonsymétrique. Rappelons le prin ipe de [Do2℄. En un point

x

de

N = {s

0

= s

1

= 0}

, l'espa e

T

x

N

est le noyau de l'opérateur:

D

x

:= ∇s

0

⊕ ∇s

1

: T

x

X → L

k

x

⊕ L

k

x

.

Soit

N

0

lesupplémentairesymple tiquede

T

x

N

dans

T

x

X

. L'opérateur

D

x

établit unisomorphisme(réel)entre

N

0

et

L

k

x

⊕ L

k

x

,et induitainsipartiré enarrièreune stru ture omplexe

j(D)

sur

N

0

.

Lemme10. (Lemme 11de[Do2℄)Pourtoutpoint

x

dans

N

,

F = s

1

/s

0

peutêtre représentée sousla forme

(iv)

de la dénition 1sietseulementsila restri tion de la forme symple tique

ω

à

N

0

estune forme (1,1)pour

j(D)

et positive.

Nousdémontronsmaintenantlelemmesuivant:

Proposition10. Ilexisteuneperturbationde

s

0

⊕s

1

desorteque

F

soitsymétrique et vérieles onditionsdulemme pré édent.

Démonstration. Ladémonstration delaproposition sefaitendeux temps. D'une partilnousfauttrouverunestru ture omplexe

j

sur haquebre

N

0

symétrique par rapport à

c

, telle que

ω

|N

0

soit

(1, 1)

pour

j

. D'autre part, un théorème d'inversionlo alenouspermetdeperturbersymétriquementlesse tions

s = s

0

⊕s

1

en

s

˜

desorteque

j = j(D(˜

s))

. Soit

π : T X → N

0

laproje tionsymple tiquesur

N

0

. Pardénitionde

N

0

,

g

,

ω

et

J

,l'endomorphisme

πJ : N

0

→ N

0

vérie

g(u, v) = ω(u, πJv) ∀u ∈ N

0

, ∀v ∈ N

0

.

Si

πJ

n'estpastoutàfaitunestru ture omplexe, e n'estpasloin:

(πJ)

2

= −Id

|N

0

+ O(1/

√

k).

Eneet,

N

0

et

T N

sontapproximativementdesvariétés

J

- omplexes,à

C/

√

k

près, e quiimpliqueque

|J − πJ| ≤ C/

√

k,

etdon aussil'estimationpré édente.Deplus,onpeutperturber

a = πJ

enune au-thentiquestru ture omplexe

j

sur

N

0

,parlaméthode lassiquesuivante.Ilest lair que

a

est antiautoadjointrelativementàlamétrique

g

|N

déni ommelara ine arréede

−aa

∗

. L'appli ation

j = aq

−1

estalorsune stru -ture omplexe ompatible ave

ω

|N

0

. L'estimationpré édentemontreque

|πJ − j| ≤ C/

√

k.

Enn, ha undesélémentsétant(anti) ovariantspar

dc

, lerésultatestégalement ovariantpar

dc

,i.e

c

∗

_{j = −j}

.

Montronsmaintenantque ettestru ture est atteinte parl'intermédiaire d'une perturbation des se tions dedépart. Pour ela, soit

J

0

l'ensemble des stru tures omplexes sur

N

0

. l'appli ation:

j : Gl(N

0

, L

k

⊕ L

k

) → J

0

D

7→ D

−1

iD,

où

i

estlastru ture omplexesur

L

k

_{⊕ L}

k

. Puisque

s

0

⊕ s

1

est asymptotiquement holomorphe,ona

||j(∇s)) − πJ|| ≤ C|(∇s)

−1

| ≤ C/(η

√

k),

puisque la norme de l'inverse de

D

x

est inférieure à

1/(η

√

k)

, en vertu de la

η−

transversalité de la se tion

s = s

0

⊕ s

1

, et que

s

est AH, don son

∂

¯

est in-férieurennormeà

C

. Ladiérentiellede

j

en

D

est

d

D

j(H) = −D

−1

HD

−1

iD + D

−1

iH = 2D

−1

H

0,1

j(D),

où la partie

(0, 1)

de l'opérateur

H

est entendue enfon tion des stru tures om-plexes

j(D)

et

i

. Cettediérentielleestsurje tive, ar

T

j(D)

J

0

= {K, Kj(D) + j(D)K = 0},

et

K = d

D

j(H)

équivautà

H

0,1

_{= −}

1

2

DKj(D)

,équationquipossèdeunesolution ar l'opérateur

DKj(D)

est

(0, 1)

. De plus, il existe des onstantes

ǫ > 0

et

c

indépendantes de

k

,tellesque

ν(d

D(s)

j) ≥ ǫ

et

|j|

C

2

≤ c.

Enn, on a vu pré édemment que

|j(D(s)) − j| ≤ C/

√

k

. En on lusion, le théorèmedesfon tionsimpli itesnousdonnel'existen ed'unopérateur

D

˜

telque

j( ˜

D) = j

et

| ˜

D − D(s)| ≤ C/

√

k.

Dansnotre as,aulieude onsidérerlesse tionsdubré

Gl(N

0

, L

k

_⊕L

k

₎

,on hoisit lesse tions

dc

-équivariantesde ebré, 'est-à-direlesopérateurs

D

telsque

D

c(x)

d

x

c = d

c(x)

D

x

.

L'appli ation

j

étantéquivariante,lerésultatestqu'ilestpossibledetrouverun

D

équivariantrésolvant

j(D) = j

. Maintenant,ilsutdeperturber

s = s

0

⊕s

1

en

˜

s

de façonéquivariantesurunvoisinagede

N

detaille onstante (pourlamétrique

g

k

) an quelenouveau

D(˜

s)

soitégalà

D

˜

. Ce i peutsefairesans hangerl'ensemble

N

.

2

2.1.2. Propriété

(v)

. Noussuivonsmaintenant lespages209à213de [Do2℄,dont le ontenupermetdeperturberlafon tion

F = s

1

/s

0

desortequ'elle onvienneau modèle

(v)

de ladénition 1. Pour ela,rappelonsle ontenu de laproposition 9 de[Do2℄:

Proposition 11. Soit

∆ = {∂F = 0}

,

Γ = {|∂F | ≤ | ¯

∂F |}

,et enn

Ω

χ

= {|s

0

| ≥

χ}

. Alors

(1)

∆

est unensemble ni.

Fixons

x

un point de

∆

. La dérivée ovariante (induite par la onnexion de Levi-Civita) dela1-forme

∂F

sedé omposedelafaçonsuivante :

∇(∂F ) = ∂

∇

(∂F ) + ¯

∂

∇

(∂F ).

Puisque l'involution est anti-holomorpheet isométrique,et que

F (c) = ¯

F

, on ob-tientfa ilementque

c

∗

_∂

∇

(∂F ) = ∂

∇

(∂F ).

Soit

H(z) =

P

H

αβ

z

α

z

β

un polynme omplexe en des oordonnés adaptées au point

x

à

ω

, ettelquesahessienneen

x

soit égaleà

∂

∇

(∂F )

. La perturbation de

F

dansle as lassiquesur

B

g

k

(x, ρ)

sefaitdelafaçonsuivante:

˜

F (z) = β

ρ

(w + H(z)) + (1 − β

ρ

)F (z),

où

β

ρ

estune fon tionplateauàsupportdans

B

g

k

(x, ρ)

Lelemmede[Do2℄dé rit l'eet de ettemodi ation:

Lemme 11. Pour

ρ

assezpetit,

k = k(ρ)

assezgrand, et

w

assezpro he (relative-mentà

ρ

) de

F (x)

,alors

x

estleseulpointde

B

g

k

(x, ρ)

où

|∂F | ≤ | ¯

∂F |

.

Si

x

appartient à

∆ ∩ RX

,

F (x)

est réel, si bien qu'il sut de hoisir

w

réel pour que la perturbation pré édente réalise la ondition

(v)

, tout en laissant

F

symétrique. Si

x

appartientà

∆

maispasà

R

X

,ontransforme

F

en

˜

F (z) = β

ρ

(w + H(z)) + (1 − β

ρ

)F (z) + c

∗

(β

ρ

(w + H(z)) + (1 − β

ρ

)F (z)).

La proposition 10 montreque si

x

et

c(x)

sontdiérents, alorsils sontfor ément

g

k

-distants d'au moins

ρ

0

. Le lemme pré édent montre alors que si

ρ

est assez petit, lessupportsdes deuxparties dela fon tionperturbatri ene seren ontrent pas, sibien qu'on obtientsanseortlapropriété

(v)

en

x

et

c(x)

. Parailleursen hoisissant

w

desorteque

F (x) + w

nesoitpasréel,ona

F (x) 6= ˜

˜

F (c(x))

.

2.2. Démonstration de la proposition 8. Les propriétés 1 et 2. La pro-priété 1aétéréaliséedanslapremièrepartie. Pourlapropriété2.,nousreprenons les arguments de la partie 3.3 dans [Au℄, ( f. aussi [Au,Mu,Pr℄, ainsi que notre proposition 2 ave

E = C

2

). Le lieu des zéros

Z

0,k

de

s

0

est une hypersurfa e symple tique réelle,telle queladistan e entre

T Z

et

JT Z

est en

1/

√

k

. Onpeut alorsappliquerlapremièrepartieàlasuitedese tions

s

1|Z

0

,k

, 'est-à-direlarendre transversesur

Z

0,k

tout en lalaissantsymétriquepour lastru ture réelle induite par

c

. La morphologiede

Z

0,k

varie ave

k

, mais ela ne pose pas de problèmes ( f. [Au℄ pour les détails). Maintenant, si la restri tion de

s

1

est transverse,

s

1

est égalementtransversedansl'espa eambiantauxpointsde

Z

0,k

. Enn,onpeut onstater qu'alorslase tionperturbée

s

0

⊕ s

1

est transversesurunvoisinagexe de

Z

0,k

.

Propriété 3 : la transversalisation de

∂(s

1

/s

0

)

. Ilreste àtransversaliser la se tion

f = ∂(s

1

/s

0

)

. Cela sefaitsur trois typesd'endroits: horsd'unvoisinage de

g

-taille xe,surun

g

k

-voisinagexede

R

X

,et enn entre lesdeux pré édents. Dans lepremier as,noussuivonsla onstru tiondeDonaldson. Etantdonnéque d'une partlessupports desse tions

s

k

et

κ(s

k

)

sontdisjoints,et qued'autrepart la onditionde transversalitéde

∂(s

1

/s

0

)

est invariante par

c

, il sut de réaliser la perturbation sur la moitié des boules, et de perturber par

g + c

∗

_g

notre as,nouspartonsdedeuxse tionsquel onques,sibienqu'ilestné essairede transversaliserprèsde

RX

. Néanmoins,nous utilisonsessentiellementlaméthode des trois auteurs pré édemment ités. Latransversalisationde

f

par[Au,Mu,Pr℄ utilise uneré urren edelafaçonsuivante. Soit

U

unouvert onnexe,simplement onnexeetinvariantpar

c

. Choisissonsdesse tions

α

i

orthonormalesdubrétrivial

T

1,0

_X

|U

, et nommons

A

r

le bré endroites omplexes engendréespar lesvaleurs de

α

r

. On adon

L

r=n

r=1

A

r

= T

1,0

X

|U

. Soitde plus

π

≤r

laproje tionde

T

1,0

_X

sur

E

r

=

L

i≤r

A

r

,et

π

r

laproje tionsur

A

r

.

Leprin ipederé urren eutiliselelemme suivant: Lemme12. ([Au℄)Si

s

estunese tionde

E ⊗L

k

transversesur

W = {s = 0}

,et

τ

une se tionAHde

L

k

telleque

t

|W

esttransversesur

W

,alors

s ⊕ t

esttransverse. Ainsi, on suppose que

π

≤r

f

est transverse sur

W

r

= {π

≤r

f = 0}

. On tente ensuite de perturber

F

pour obtenir la transversalisationsur

W

r

de

π

r+1

f

. Au boutde

n

itérations,onobtientlatransversalisationde

F

surl'ouvert. Supposons don que

π

≤r

f

soit transversesur

W

r

. Nous re ouvronsl'interse tionde

W

r

ave le voisinagede

RX

pardes boules entrées surdes pointsde

RX

(etnon passur despointsde

W

r

ommedans[Au,Mu,Pr℄).

Soit

x ∈ RX

unde es entres, et

(z

i

)

des oordonnées omplexes entrées

x

, telles quepourtout

i

,

∂z

i

(x) = α

i

(x)

. Puisperturbons

s

1

delafaçonsuivante :

s

′

1

= s

1

+ wz

r+1

σ

k,x

.

On aalors

∂(s

′

1

/s

0

) = ∂(s

1

/s

0

) + w(σ

k,x

/s

0

∂(z

r+1

) + z

r+1

∂(σ

k,x

/s

0

)).

Rappelons qu'il est né essaire de transversaliser

f

uniquement sur

X

ǫ,k

= {|s

0

| ≥ ǫ}

. Si on appelle

ζ

lase tionde

A

r+1

dénie par

ζ = (σ

k,x

/s

0

)π

r+1

(∂z

r+1

) + z

r+1

π

r+1

(∂(σ

k,x

/s

0

))),

alors

ζ

est uniformément minorée sur

W

r

∩ X

ǫ,k

∩ B

g

k

(x, ρ)

, si

ρ

est susam-ment petit (parrapport à

ǫ

et indépendamment de

k

et

x

). En eet,l'estimation

|∂(σ

k,x

/s

0

)| ≤ C

√

k

(

C

dépend ette foisde

ǫ

)montrequepour

ρ

assezpetit (par rapportà

ǫ

),lase ondemoitiéde

ζ

estinférieureennormeà1/10delanormedela premièrepartie,qui estminoréeparune onstante stri tementpositivedépendant de

ǫ

. Lase tion

π

r+1

(∂(s

′

1

/s

0

)) = π

r+1

(∂(s

1

/s

0

)) + wζ

est don biendénie surl'interse tionde

W

r

ave laboule

B

g

k

(x, ρ)

et

X

ǫ,k

,ainsi quelafon tion

f

w

=

π

r+1

∂(s

1

/s

0

)

ζ

+ w.

Pour toute omposante onnexe

C

del'interse tion de

W

r,w

ave laboule

B

k

(x)

, on hoisitunetrivialisation( f. [Au℄et[Au,Mu,Pr℄)de

C

. Larestri tionà elle- ide lafon tionpossèdelesestiméesd'holomorphieasymptotique. Maintenantla proposition 4permet de trouverun

w

réel telque

f

w|C

devienne

η

-transversesur

C

. On re ommen e le pro essus pour toutes les omposantes, en nombre borné indépendantde

k

(maisdépendantde

ǫ

),pourtransversaliser

f

w|W

r,w

. Autotal,la se tion

π

r+1

(∂(s

1

/s

0

) + wπ

r+1

∂(z

r+1

σ

k,x

/s

0

)

Referen es

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InstitutCamilleJordan,UniversitéClaudeBernardLyon1,43boulevarddu11 novembre191869622Villeurbanne edexFran e