Les désintégrations provoquées par le rayonnement cosmique

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Les désintégrations provoquées par le rayonnement

cosmique

J. Solomon

To cite this version:

LES

DÉSINTÉGRATIONS

_PROVOQUÉES

PAR LE

RAYONNEMENT

COSMIQUE

Par J. SOLOMON.

Sommaire. 2014 On étudie les _{désintégrations} avec émission de _particule lourde _{(proton, neutron,} parti-cule _{03B1), produites} par le passage des électrons de très _{grande energie} à travers la matière On montre d’abord comment la mécanique quantique relativiste permet de résoudre ce problème et l’on retrouve ensuite ses résultats par la méthode semi-classique de Williams et Weizsäcker. Dans tous les cas, la

probabilité de tels processus est extrèmement faible, de l’ordre de la probabilité de production des _paires par un électron. On en tire la conclusion que si des _protons très rapides sont observés au niveau du

sol, il est très peu probable qu’ils soient dûs à des _{désintégrations provoquées par des électrons de} très

grande énergie et il est vraisemblable qn’ils sont _{d’origine primaire.}

Nous nous _{proposons dans le}

_présent

travail d’examiner les conditions dans

_lesquelles

_le rayonne-ment

_cosmique

_peut

_provoquer des

_{désintégrations}

nucléaires. Dans l’état actuel de la théorie de la

désintégration

fi,

il ne _{pourra être}

_question

dans ce

qui

suit que des

désintégrations

avec émission d’une

particule

lourde

_(proton,

_neutron,

_{particule oc),}

1. Théorie

_{générale. -}

Dans un travail récent

_1’),

Bethe et Peierls ont _{calculé la section efficace pour la}

désintégration

d’un deuton en un neutron et un

_proton

sous l’influence du _passage d’un électron de

grande énergie.

Nous allons d’abord

_reprendre

ce

calcul pour le

généraliser

au cas _{d’un noyau}

_quelconque.

Nous considérons donc un électron incident

_d’énergie

.

+

cinétique

W et de

_quantité

de mouvement _p. La fonction d’onde

_{correspondante}

est _{donnée par}

où u (P) est une matrice

_{qui dépend}

_{de p, W}

et de la direction du

_spin

de la manière suivante :

Après

un choc sous

_l’angle

_6, son

_énergie

et sa

_quantité

de mouvement seront W’ et

_p’.

La méthode de

corres-pondance

de Klein

₍₁₎

nous

_enseigne

alors

_qu’à

cette

transition est associé un

_champ

_qui

dérive du

quadri-potentiel

(1) H. BETHE et R. PEEERLS. Proc. _{Roy. Soc.,} 1935, 148 A, i46-156.

(2) C. MOLLER. Z. _Physik, 1931, 70, 786; Ann. d. _{Phys., 1932,14,} 531-58S.

+

où a

_désigne

_{le vecteur-matrice bien} connu de Dirac.

+

Le

_{quadrivecteur}

_{ao, a} se forme

_simplement

à

_partir

des matrices et

Nous considérons maintenant une

_particule

lourde

appartenant

au _{noyau et} nous _supposons

_{qu’on puisse}

décrire son état _{dans le noyau} au _{moyen des}

_règles

de la

_{mécanique quantique}

habituelle

_(par

_exemple

théorie de Thomas Fermi ou de

_Hartree).

Autrement

_dit,

à cette

particule correspondront

un certain nombre d’états liés

et une infinité continue d’états libres et nous

considére-rons en

_particulier

l’état

_fondamental,

caractérisé par

l’énergie

de liaison 2013 ~ = -

nîno c2

et la fonction d’onde cpû, ainsi

qu’un

état libre

_quelconque

_{d’énergie E}

et de fonction d’onde _1E.

Dans ces

_conditions,

nous considérerons le

_champ

dérivé du

_{quadripotentiel (3)}

comme une

_perturbation

agissant

sur le

_système

nucléaire et la théorie élémen-taire des

_{perturbations}

nous _{montre dès lors que la}

probabilité

pour

qu’une

telle transition soit

_accompagnée

du passage de la

particule

lourde de l’état

_{d’énergie e}

à l’état

_d’énergie

E,

est

_{proportionnelle}

au carré de l’élément de matrice

72

où d-r:

_désigne

l’élément de volume et où v

_désigne

l’opérateur-vitesse

de la

_particule

émise :

M

_désignant

la masse de la

_{particule envisagée.}

Si maintenant nous _{pouvons considérer}

_l’argumeot

/

+

(a )

r

de

_{l’exponentielle}

_{p -}

p’ h

comme faible vis-à-vis

de l’unité dans la

_région

où la fonction d’onde est

différente de

_zéro,

nous _pourrons

_développer

en série

l’exponentielle.

Ceci

_implique

une limitation _{pour le}

transfert de

_quantité

de mouvement :

où _r.

_représente

les dimensions du domaine

_{où 90}

est différente de zéro. Si nous _{prenons par}

_exemple

ceci nous donne

Nous verrons

_plus

_{loin que les} transferts

_d’énergie

très

_{supérieurs àl’énergie}

de liaison

_{n’apportent qu’une}

contribution très faible à la section efficace

_envisagée.

Par

suite,

le

_{développement}

en

_question

est

_possible,

et,

en se limitant aux deux

_premiers

_termes,

on obtient

pour la section efficace relative à la transition 0 -

(E, E

₊

dE),

l’électron diffusé l’étant dans

l’angle

dQ.

où

_{{0 I, a ~ E)}

est l’élément de matrice

avec

et où les

_{énergies E, W, W, a}

sont _{liées par}

En

_intégrant

sur la direction de l’électron

_diffusé,

on

obtient pour la section différentielle relative à l’inter-valle

_{(E, E}

₊

_dE’)

_d’énergie

La section efficace totale s’obtient en

_intégrant

sur les

énergies

E,

l’intervalle

_{d’intégration}

étant 0

E’

d’autre

₁

_E’~

décroît très

_rapidement

pour les

grandes énergies (voir plus

loin),

on

_peut

_{poser dans}

₍₇₎

W’ ~

_W,

sauf au

dénomi-nateur,

où l’on tiendra

_compte

de

_(6).

D’autre

_part

_pour le domaine

_{d’énergies}

_considéré,

on

_peut

_remplacer

W

par cp, et étendre

_{l’intégration jusqu’à}

l’infini. On obtient ainsi pour la section efficace

Nous remarquerons ici que les lois élémentaires de la

_{multiplication}

des matrices nous donnent

soit l’élément

_diagonal

de la matrice zl relatif à l’état fondamental.

Dans ces conditions

₍₈₎

s’écrit

où

est

_indépendant

de

_l’énergie

de la

_particule

incidente W. On voit de suite sur

_(il)

_{que a est}

_positif.

D’autre

_part,

en tenant

_compte

de

_{l’inégalité}

évidente

et de la relation du

_{multiplication}

on obtient

où E est une _{certaine valeur moyenne de}

_l’énergie

_qui

ne

_peut

évidemment être très différente de s.

On

_peut

encore

_préciser

la valeur de a,

indépendam-ment du modèle nucléaire étudié en

_remarquant

_que

1 (0

.~ ~

tE) 1 2

décroît très

_rapidement

_{pour les}

grandes

valeurs de E. Par

suite,

nous ne modifions pas énormément la valeur de

l’intégrale

dans

(ii)

si

~ ‘ _no 2. On obtient immédiatement

Raisonnablement,

on

_peut

_{penser que} 110 ne

_peut

guère

être

_supérieur

à

10,

d’où

En

fait,

pour le modèle

particulier

de deuton étudié par Bethe et

Peierls,

on trouve

a = ~.,37

(15)

d’où no

= 2,9.

Dans ce

_{qui précède}

nous avons considéré le cas

d’une

_particule

lourde dans un

_champ

central. Il nous

faut maintenant tenir

_compte

du fait

_qu’il

_y a

_plusieurs

particules

dans le noyau.

Si,

toujours

dans

_{l’hypothèse}

d’un

_champ

self

_consistent,

_Zj

_particules

_occupent

le niveau

_d’énergie

_j,

il suffira de faire la sommation des sections efficaces

_partielles

_{telles que}

_(10).

Pour nous

_résumer,

en

_posant

la section efficace étudiée s’écrit

où la

_constante

est

_comprise

entre

_1/10

et 1.

Avant de discuter les

_{conséquences}

de

_(17),

mon-trons comment on

_peut

retrouver le _{même résultat par}

une méthode très différente.

2. Théorie

_{semi-classique. -}

Nous allons

appli-quer à ce

_problème

la méthode

_{semi-classique (1) qui}

a

été utilisée avec _{tant de succès par} v. Weizascker et Williams pour d’autres

_problèmes.

Nous nous

_plaçons

dans le

_système

de référence où _{le noyau considéré} est au _{repos et} nous étudions l’influence du passage

d’un électron de très

_{grande énergie qui}

_{passe à la} dis-tance r du noyau. Par suite de la contraction de

Lorentz,

les

_lignes

de force

_qui

_partent

de l’électron sont concentrées dans le

_{plan équatorial}

perpendicu-laire à la direction de sa vitesse et

_plus

la vitesse se

rapproche

de celle de la

lumière,

plus

ce

_champ

tend à

ressembler au

_{champ électromagnétique}

d’une onde lumineuse

_plane.

Rappelons

que si

E.1, Hil, Hl représentent

les

composantes

respectivement parallèle

et

perpendicu-laire à la direction de la vitesse des

_{champs électriques}

et

_magnétiques

dans un

_système

_pour

_lequel

l’électron

considéré est au _{repos, les valeurs}

_{correspondantes}

relatives à un

_système

de référence animé d’un mouvement uniforme de vitesse v =

_pic

par

rapport

au

_{premier système,}

sont _{données par la} transformation de Lorentz

(~) Voir pour plus de détails : J. SOLOMON. Théorie du passage des rayons cosnziques à travers la matière _(Actualités

scienti-fiques, Hermann).

soit,

dans le cas considéré d’un électron

_passant

à la distance _{minima r du noyau} et

_{possédant l’énergie}

mo c2 ç,

le

_{champ électrique}

On voit que le

temps

effectif de choc sera _{à peu}

_près

r

donné par

c ,

comme une

application

intuitive de la

contraction de Lorentz

_permettait

de le

_prévoir.

Si maintenant on fait

_l’analyse

de Fourier du

_{champ (18),}

il est facile _{de constater que toutes les}

_fréquences

sont

également représentées jusqu’à

une

_fréquence

limite donnée

_justement

J par p

au

delà de cette

fréquence,

r q

l’amplitude

tombe très

_rapidement

à zéro. Autrement

dit,

le

_champ

de l’électron est

_remplacé

au voisi-nage du noyau par une

_{superposition}

d’ondes de fré-quences

comprises

_p entre 0 et

2013.

Le nombre de

pho-r p

tons

_{correspondant}

à la bande de

_{fréquences (v, v}

₊

_dv)

est _{donné par}

Sans entrer dans la discussion de la validité de cette

méthode,

rappelons

simplement

qu’elle

revient à

négli-d 1 1 ..

ger des termes

en 2013

et -.,

ce

qui

est sans

impor-s

tance dans le domaine

_d’énergie

considéré.

Dans ces

conditions,

le processus étudié ici est ramené au suivant : un _{noyau est}

_exposé

à l’action

d’une

_{superposition}

d’ondes

_{électromagnétiques.}

Cha-cune de celles-ci

_possède

une certaine

_probabilité

de le

_{désintégrer (effet photoélectrique}

_ordinaire)

et l’on obtiendra la

_probabilité

de

_{désintégration}

cherchée en

intégrant

sur tout le domaine de

_fréquences

_déjà

indiqué.

Ceci

_posé,

_voyons comment se

développent

les

cal-culs : on _{sait que}

_{lorsqu’un photon}

_y

_{d’énergie hj}

tombe sur un _{noyau, la} section efficace _pour son

absorption

est _{donnée par}

où l’élément de matrice

_qui

_{y intervient est défini} par

(5).

74

aux chocs de distance

_d’impact

r est _{donnée par}

Pour obtenir la section efficace

totale,

nous

multi-plions

la section efficace

_précédente

_puis

intégrons

entre deux limites rmin. et r,r,ax, que nous

allons chercher à

_préciser

dans un instant. Dans ces

conditions,

la section efficace totale s’écrit

_simplement

Comment maintenant sont fixées les distances rmin. et

rmax, #

Tout _{d’abord pour la distance}

_maxima,

nous

remarquerons que le processus de

désintégration

con-sidéré ici n’est

_possible

_{que si} la

_fréquence

correspon-dant au «

_potentiel

de

_{désintégration}

»

1

est contenue

h

dans le

_spectre

de Fourier du

_{champ incident,}

d’où la condition

1

ou encore

et rmax. est fixé _par

de

façon

très

_analogue

à ce

_qui

se _{passe pour}

l’ionisa-tion des atomes par les électrons

_rapides.

Au delà du rayon d’action rmax., le nombre de

désintégrations

provoquées

est

_{négligeable.}

Plus délicate est la détermination de la distance minima rmin.,

Ici,

on

_pourrait

_{remarquer que} nous ne

pouvons

parler

de

paramètre

d’impact

que si

l’angle

que font entre elles les directions de la vitesse avant et

_après

le choc est suffisamment

_faible,

c’est-à-dire si

l’énergie

transférée

_pendant

le choc est suffisamment faible vis-à-vis de

_l’énergie

initiale de l’électron.

_(Ceci

correspond

au cas de la

_{grande majorité}

des

_chocs,

toujours

à cause de la décroissance

_rapide

de

1

(0 j z j

~’) j ~

lorsque E augmente.)

Le transfert de

quantité

de mouvement

_{à p}

sera donc très inférieur à

et,

en raison des relations

_{d’incertitude,}

le

domaine

_spatial

où aura lieu le transfert sera limité par

et comme

Remarquons

que le second nombre se

_rapporte

juste-ment dans le

_système

de _{référence où le noyau est} au

repos au

_paquet

d’ondes de dimensions minima que

l’on

_puisse

_{choisir pour}

_représenter

l’électron. D’ailleurs les forces radiatives seront du même ordre de

_grandeur

_que les forces

pondéromotrices,

toute la théorie devient

_{inapplicable.}

Il faut donc que

ç

« 137.

(23)

Mais on

_peut

aller

_plus

loin. Une condition essentielle pour

l’applicabilité

de notre

_méthode,

_{c’est que le}

champ

soit uniforme dans tout le domaine considéré.

Or,

si c est

_l’énergie

de liaison de la

_particule

lourde

considérée,

comme les vitesses à _{l’intérieur du noyau}

ne _{sont pas très}

_grandes,

la

_quantité

de mouvement

correspondante

est

V 2M::

et les dimensions du do-maine considéré sont fixées par

C’est le second membre de

₍₂₄₎

_qui

est la distance minima cherchée.

_Remarquons

_{alors que} l’on a

Dans ce

_{qui suit,}

nous

_{remplacerons,}

_pour

_simplifier

les

_{calculs, partout}

le second membre de

₍₂₄

_bis)

_par

quitte

à en tenir

_compte

dans le résultat

_{final (1).}

On

_pourrait

toutefois se demander si en

_deçà

de la limite rmin,

indépendamment

du fait que la méthode

du

_{paramètre d’impact employée}

ici n’est

_plus

appli-cable,

on _{n’obtient pas} une

_{proportion appréciable}

de

désintégrations.

Il suffit

_cependant

_{de considérer que} le volume de la

_sphère

de rayon rmin est

négligeable

vis-à-vis de celui de la

_sphère

_{de rayon} rmax de sorte que seule une modification tout à fait

_improbable

de la loi d’excitation _{du noyau} affecterait sensiblement nos

résultats.

Revenons maintenant à la relation

_(2i).

Posons

Dans ces

_conditions,

₍₂₁₎

s’écrit

puis

nous

_développons

la deuxième

_intégrale

en série

de

_Taylor

(t) La _présente méthode de définition des dimensions du noyau peut paraître quelque peu arbitraire, mais il est évident que toute autre méthode ne ferait que modifier la valeur

Ici nous utilisons encore le fait

_déjà

_{cité que}

_{f (E)}

décroît

rapidement quand E

augmente.

Supposons

que pour les

grandes

valeurs de E on,ait

En introduisant alors le

_{développement (26)}

dans

l’expression (25)

de la section efficace

_cherchée,

on

obtient pour le terme

_général

Si _y est

_entier,

la série alternée dont le terme

_général

est donné par le second membre de

(27)

se somme

facilement. Elle s’écrit :

et tend donc

_rapidement

vers zéro

_{quand ;}

_augmente

indéfiniment.

_Sir

_{n’est pas}

entier,

le résultat

_précédent

subsiste

_quant

à l’ordre de

_grandeur.

Ceci nous

_permet

dans

₍₂₆₎

de

_négliger

tous les termes à

_{l’exception}

du

_premier

et,

en étendant sans erreur sensible

_{l’intégration}

_jusqu’à

l’infini au lieu

de nous avons

et en

_portant

ce résultat dans

₍₂₅₎

En tenant

_compte

de

₍₂₄

_bis),

nous obtenons

où 8

est un facteur

_numérique

_qui

tient

_compte

de

l’im-précision

relative des limites

_{d’intégration}

rmin et rmax.

En faisant la sommation sur les différents

niveaux,

on

retrouve

_(17).

3.

_{Applications. -}

_{Jusqu’à présent,}

nous avons

laissé l’élément

_{diagonal (Ù j z2 0)}

indéterminé. Pour aller

_plus

loin,

il faut avoir recours à un modèle nucléaire.

C’est ainsi que

lorsque

le noyau considéré est un

deuton,

d’après

Bethe et

_Peierls,

on a _{pour la fonction}

d’onde de l’état fondamental

avec

où ,NI est la masse du

_proton

et é

_l’énergie

de liaison du deuton

_(e=4,2

A

_partir

de

_(28),

₍₀

_{1 z2}

₁₀₎

s’obtient directement par

intégration.

Il nous faut toutefois remarquer que dans le cas du deuton, _par suite de l’entraînement du

_proton,

on doit

_remplacer

dans

₍₀

_{1 Z2}

1-0) z

par la distance réduite au centre de

z

gravité,

_{soit -}

Ceci nous donne

2

Pour un _noyau

_quelconque

on

_peut

très

raisonna-blement

_adopter

le modèle défini par les relations

(‘~$)

et

_(29).

On

a alors :

-(avec

L’énergie

de

_{liaison ni}

mû c2 varie

évidemment avec l’élément considéré et le niveau

con-sidéré.

Toutefois,

pour obtenir l’ordre de

grandeur

des

phénomènes

étudiés,

nous

_négligerons

les différences

d’énergie

entre niveaux discrets

_(nj

_indépendant

de

_j).

La section efficace totale sera alors

_{proportionnelle}

à

La détermination

_précise

de Z’

_exige

_{que l’on ait} défini

_davantage

le modèle nucléaire considéré

_(rôles

relatifs des

_protons,

neutrons,

particules a).

On

_peut

admettre pour

plus

de

_{simplicité que ‘Z’=.Z.}

Si _par

_exemple

nous _posons

_n;=~3,

on obtient pour

la section efficace

soit pour des électrons d’une

énergie

de 10g électrons-volts

_(;

_

₂₀₀₎

_une section efficace de

1,5.10201328

cm2

environ. Par

_exemple,

dans le cas _{du xénon gazeux,}

dans des conditions normales de

_température

et de

pression,

on devra observer

_{l’éjection}

d’une

_particule

lourde sur 106 cm de parcours. Pour le cas du

diplo-gène liquide,

on l’observerait une fois sur 400 mètres de parcours. Enfin dans le cas du

_plomb,

_{le processus} aurait lieu en _moyenne une fois tous les

1/9- 101

cm.

Remarquons

par ailleurs que des électrons de cette

énergie

ont un _{libre parcours} d’environ.

9,68

cm dans le

_plomb.

_{C’est dire la rareté du processus considéré.} Si maintenant nous _{remarquons que les chocs} avec

grand

transfert

_{d’énergie (c’est-à-dire}

très

_supérieur

à

76

protons

expulsés

auront une

_énergie

au

_plus

d’une

dizaine de millions

_{d’électron-volts,}

ce

_qui

_correspond

dans le

_plomb

à un _{parcours de l’ordre de}

_quelques

dixièmes de millimètre.

Dans ce

_{qui précède,}

nous avons continuellement fait usage de ce _{que le coefficient}

_{d’absorption}

photo-électrique

décroît

_rapidement

avec la

_fréquence

du

rayonnement

incident. _{C’est ainsi que}

_d’après

Bethe et

_Peierls,

_{pour le}

_deuton,

il s’écrit

où

Ii décroît donc pour les

grandes fréquences

comme

3

v 2.

Cette décroissance est un fait

_{général :}

l’applica-tion simultanée des

_principes

de conservation de

l’éner-gie

et de la

_quantité

de mouvement

_exige

la

participa-tion de l’ensemble du noyau au _processus

photo-électrique. Quand

la

_fréquence

du

_rayonnement

incident

_augmente,

la

_particule

considérée se

_comporte

de

_plus

en

_plus

comme une

_particule

libre sauf dans un

_petit

domaine autour du « _centre » _{et par suite la}

probabilité

d’expulsion

décroît en

_{conséquence.}

Il va

sans dire _que c’est seulement pour un modèle déterminé

que l’on

peut indiquer

la variation de ce coefficient

avec v. De toutes

façons

ceci nous _{montre que les}

Il

échanges d’énergie correspondant

à une valeur très

supérieure (disons

dix

_fois)

à

_l’énergie

de liaison de la

particule

considérée

seront

_{exceptionnels.}

Il est _{intéressant de comparer le processus}

_qui

vient d’être étudié au _{processus de}

_production

des

_paires

par la même

particule.

La section efficace correspon-dante est _{donnée ici par}

où g

est un facteur de l’ordre de l’unité. On obtient

sans

_{peine, toujours}

_{pour n} --_

8,

Par

_suite,

au _{moins pour les}

_{énergies qui}

ne _{sont pas}

trop

grandes

(et

en dehors

_desquelles

d’ailleurs

l’appli-cation des formules aussi bien pour 6D que pour

op est

problématique),

les deux processus sont du même ordre de

_grandeur.

Toutes ces considérations nous

_expliquent

la rareté

relative des

_{désintégrations}

observées lors de l’étude des rayons

cosmiques

par la méthode de la chambre de ivilson Notons que si l’on arrive à mettre hors de doute l’existence dans le

_{rayonnement cosmique}

au

niveau du sol et

_plus

bas de

_protons

de très

_grande

énergie,

les calculs

_précédents

_{plaident plutôt}

en faveur

d’une

_{origine primaire}

de ces

_particules.