Quelques observations concernant un article intitulé « sur l'équation de Dirac »

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Quelques observations concernant un article intitulé “

sur l’équation de Dirac ”

Al. Proca

To cite this version:

QUELQUES

OBSERVATIONS CONCERNANT UN ARTICLE

INTITULÉ

« SUR

L’ÉQUATION

DE DIRAC »

₍₁₎

Par Al. PROCA.

Institut

_{Henri-Poincaré,}

Paris.

Sommaire. 2014 L’auteur précise, du point de vue mathématique la relation _qui existe entre les quatre composantes classiques de la fonction d’onde de Dirac, et les _seize compo-santes introduites dans l’article cité.

1. Position du

problème. -

Soit H l’hamiltonien de l’électron de Dirac. On

inter-prète généralement l’équation symbolique

de Dirac

comme

_{l’équivalent}

de

_quatre

_équations

aux dérivées

_partielles

entre les

_{quatre composantes}

de

_~.

Cela revient au fond à admettre

_{que ~}

est une matrice à une seule colonne un

produit

matriciel.

L’idée fondamentale de l’article cité consiste en l’observation

_{que ~}

étant inconnue dans

_{l’équation Flf == Gon}

ne sait rien

_{à JJr1’ori}

surle nombre de ses

_{composantes ;}

doit donc?

être en

_général

considéré comme une matrice à

_quatre

_lignes

et

_quatre

colonnes. On

peut

observer que F est un

_{quadri uaternion ; b}

doit donc

être,

lui

aussi,

un

quadriquater-nion et

_{l’expression}

_li§

sera alors

_simplement

le

_produit

_algébrique

de F et de

_’f.

Le but de la

_présente

note est de mettre en évidence les différences

_qui

existent entre

la manière

_classique

de

_procéder

et celle

_proposée

dans l’article

cité,

et de

_préciser

ainsi le caractère de la

_{généralisation}

obtenue. Accessoirement nous montrerons comment on

_peut,

’

en utilisant les

_{quadriquaternions,}

retomber sur le cas

_particulier

_qui

conduit aux résultats

classiques

de

Dirac ;

en effet

_{le ~}

_classique,

ensemble de deux

_spineurs,

_peut

_parfaitement

être

_représenté

par un

_{quadriquaterninn}

à

restrictions,

c’est-à-dire par un

_{quadriquaternion}

dont les

_composantes

sont soumises à certaines conditions. Il

_{s’agit précisément}

de trouver

ces conditions et de leur donner une forme

_simple.

En dehors du fait

_qu’elle

nous

_renseigne

sur la différence

_qu’il

_y a entre le

_classique,

et le ~

général,

cette manière

_{d’interpréter l’équation}

de Dirac la rend

_beaucoup

_plus

maniable et

_simplifie

énormément sa résolution surtout dans le cas

_général,

_{ainsi que} nous

essaierons de le montrer dans un

_prochain

article.

2.

_Changement

de base. - Le

système

des

_{quadriquaternions}

est _{défini par 16}

quel-conques d’entre eux,

qui

forment ce

_qu’on

_appelle

une base.

_Jusqu’à

_présent

nous avions choisi comme base les 16 unités suivantes

_{(2) :}

où _{les a sont définis par}

(1) Journal de

Physique,

t. 1. (1930), p. 2’~5.

(2) Nous utilisons ici la notation _{généralement adoptée} pour les matrices de Dirac.

Toute combinaison linéaire de ces nombres est un

quadriquaternion

et

peut

être

_prise

-comme base.

_{Or, d’après}

un théorème tout-à-fait

_général,

le

_{système simple}

d’ordre 16 - 4,

que forment les

quadriquaternions,

peut

se définir au

moyen des

16 unités

_{(i, ~; =1, ~,}

.3,

4)

idempotentes,

telles que

D’après

ce

_théorème,

il existe donc des combinaisons linéaires des a, satisfaisant à

_(3),

eut

inversement,

des combinaisons linéaires des e~~ satisfaisant à

(2).

Il est facile de former,

-effectivement une telle combinaison.

_Prenons,

en effet :

Les zk

définis par

(4)

satisfont à

₍₂₎

si l’on tient

_compte

de

_(3).

La solution

₍₄₎

_{n’est évidemment pas la seule : les nombres}

_S-1akS

satisfont

_également

:à

_(2),

les étant

_égaux

à

₍₄₎

et S étant un

_{quadriquaternion quelconque}

de la forme S =

_{!.Sike il.’}

Le

_système

d’unités

₍₃₎

a une

_{interprétation}

extrêmement

_simple.

Les matrices

_ayant

des éléments nuls

_partout

sauf au croisement de la iième

_ligne

avec la

colonne,

satisfont .à

₍₃₎

et

_peuvent

donc

_représenter

les unités

_(3).

_{Le passage des x aux ei,} est donc

_parallèle

à

la

_{représentation}

matricielle des a.k.

Si les ei, sont

représentés

par de telles

matrices,

(4)

représentent justement

les matrices

.,des ak

dans la

_{représentation}

dans

_{laquelle a*}

est

_diagonale;

par

exemple

Le

_système

des _{eik n’a pas} seulement

_l’avantage

d’être

_{plus général;}

il est aussi d’un

..emploi beaucoup plus

commode

_(1).

En

_partant

des

_{expressions (4)}

on

_peut

écrire toutes les unités x en _{fonction des eik et}

vice-versa. On a, en effectuant les calculs :

~

Tout

_{quadriquaternion}

_peut

_s’exprimer

maintenant en _{fonction des eik’}

(t) F. SAUTER, Z.

_Physik.,

63 _(1930), p. 803; 64

(~930),

p. 295; 69 (i93~), p. ’~~2, employant au fond ce

système, sans le mentionner explicitement, a résolu élégamment un certain nombre de problèmes sans

Par

_exemple,

_prenons celui

_{qui apparaît}

dans

_{l’équation}

de Dirac écrite sous la forme

classique :

On aura :

3. Formules

_{générales. -}

Un

_{quadriquaternion}

_quelconque

_’~

s’écrit :

les

_§

étant des nombres ordinaires. Il sera

commode,

pour la

suite,

de

_séparer

les indices

et d’écrire

ou

donc

Dans

_chaque

_C;

tous les e ont le second indice

_égal

à s,

et dans

_chaque

L,,

tous les e ont leur

_premier

indice

_égal

à r.

On a, en tenant

_compte

de

_{(3) :}

et

Comme cas

_particulier,

on

_peut

_prendre

qui

donne,

au facteur eu

_près,

la valeur des

_composantes

YSi’

Si l’on veut se débarrassser de ce facteur on

_{prendra :}

On

_peut

aussi écrire : 1

’

Posons

on aura :

4.

_Equation

_symbolique

de

Dirac ;

interprétation générale. -

Cela

_étant,

con-sidérons

l’équation

de

Dirac,

que nous

_écrirons,

_pour

_abréger

h ~ _po

₊

_~--

_{a~~~., -~-}

_{(J..3PJ +} est un

_{quadriquaternion}

_qui

_{s’écrit dans la base eik}

sous la forme F =

1 +°j,e;j, ;

les

F,,

sont donnés par les

expressions

(6).

Considérons

_{l’expression}

₍₁₃₎

dans son sens le

_plus

_{général :}

_{~! doit}

être un

quadriqua-ternion à 16

_composantes

de la forme

et F,~

un

_produit

_algébrique.

En

_multipliant

F et en annulant les coefficients des 16 unités

_{hypercomplexes}

_a,,, on obtient 16

_équations,

_qui

ont été

_indiquées

dans notre article

_précédent.

Par addition

_{après multiplication}

avec des facteurs convenables on

_peut

voir

qu«elles se

réduisent en

_fait,

à

_quatre

_équations

distinctes.

Ce

_résultat,

_indiqué

dans l’article

cité,

n’est

_cependant

pas commode à obtenir en

partant

de la

_{représentation}

x, mais il

apparaît

immédiatement et

_’~

sont écrits au

moyen de la base e;~. En

effet,

écrivons F

et ~

comme suit :

En tenant

_compte

de

_(3),

on _{voit que les} termes

_rectangles

se détruisent et il reste

Les 16

_{équations équivalentes}

à

₍₁₃₎

se

_partagent

donc en

_quatre

_groupes de 4

_équations

chacun

Il est inutile

_{d’insister,}

ce calcul consistant à

_{multiplier lignes}

_{par colonnes les matrices}

représentatives

de F et de

_If.

On

_peut

en tirer

_cependant

des résultats intéressants.

Remarquons

que les

quatre équations

du groupe 1 sont distinctes en

_général;

mais les

équations

des autres _{groupes n’en}

_diffèrent

_{que par le} des inconnues. De

_plus

ces

équations

sont

_homogènes.

Il est donc clair

_qu’il

suffira de trouver la solution de

_quatre

_équation

seulement,

pour résoudre

l’équation générale

de

Dirac,

avec à 16

_composantes,

Soit

la solution des

_équations

du groupe

1 ;

elle

_dépend

d’un certain nombre de

cons-tantes et de _{fonctions arbitraires. Les solutions des autres groupes différeront de celle-ci}

uniquement

par le choix de ces constantes et fonctions arbitraires.

Le

_général

sera alors une fonction de

₍₁₇₎

contenant en outre des fonctions arbitraires dont on ne _{voit pas clairement le rôle de la}

_façon

dont nous avons conduit le calcul. Mais cela ne nous _{occupera pas pour l’instant}

_(1).

Deux cas

_particuliers

sont intéressants. Le

_premier

est celui où l’on choisit

les mêmes

_j’onctions

arbitraiJ’es pour les solutions de tous les

quatre

groupes. On a alors

c’est-à-dire

.1 j

~.et

_{le ~ général}

s’écrit

Nous

_appellerons

solution « normale ».

Mais on

_peut

encore

_prendre

comme solution du

_système

₍₁₆₎

la solution

₍₁₇₎

_du pre-mier groupe et pour les autres inconnues

’fuv

(u

=

_1,

2,

3,

_{4 ; v}

=

2,

3,

₄₎

la valeur

zéro,

,qui

est manifestement une solution de

_(16).

Le

_1-

_{correspondant}

est alors

YD-ejlAj

-~-

+

e3j A, ~’

(

Dans la

_{représentation}

_{par matrices}

_{le ~}

du

_premier

cas,

(19),

est une matrice dont toutes les colonnes sont

_identiques,

_{tandis que celui du deuxième} cas est une matrice dont les éléments des trois dernières colonnes sont nuls. On

_{pourrait envisager}

évidemment des

cas intermédiaires. ’

Revenons au cas

_général.

Pour trouver la solution

_générale

il suffit donc de résoudre

dans toute sa

_{généralité}

le

_système

du groupe 1 et trouver les

quatre

fonctions inconnues

A1, ~42, A3,

A4.

Or,

ce

_{système d’équations}

fondamentales est

_identique

au

_système

de

Darwin,

c’est-à-dire aux

_équations

ordinaires

_qu’on

déduit de

_{l’équation}

_symbolique

_{par le}

procédé

de Dirac. Il _{suffit pour s’en} assurer d’écrire

_{explicitement}

les

équations

_{du groupe}

_I,

compte

tenu des valeurs de

_F,,,

_qui

sont _{données par}

_(6).

..

Les

_{A,, A2, A3, A,}

sont donc

_identiques

à ce

_{qu’on appelle}

les

_{quatre cOlnposantes}

classiques

de la

_fonction

d’onde. Il suffira de connaitre dans toute leur

_{généralité}

ces

_quatre

composante,

pour en déduire la solution

_générale.

Mais du fait

_{qu’il n’y}

a _que

_quatre

grandeurs qui déterminent Û

ne découle en aucune

_façon

une

_expression

définie

_pour

celui-~i;

cette

_expression

_peut

être

_(19),

₍₂₀₎

ou une autre.

5.

_Equation

_symbolique

de Dirac.

Interprétation classique. -

Les

_équations

.de Darwin se déduisent de

_{l’équation}

_{(F~~ )}

~ 0 en considérant comme une matrice et en

définissant le «

_produit

»

_(F~)

au

moyen de

_{quatre composantes}

_{g, , ~2,}

_~4-

de la fonction -d’onde

_{par les}

relations de définition du

_produit

matriciel

_{(h,c~) :}

Avec ces notations si l’on écrit

l’équation

Dirac il est _{inutile de passer par} la définition

_(21);

il suffit d’écrire

l’équation générale

sous

forme d’un

_{produit algébrique}

de deux

_{quadriquaternions F et ~}

.et de restreindre

_{la ,généralité}

de dont toutes les

_composantes,

sauf celles de la forme doivent être nulles :

Les

_{quatre composantes}

non nulles sont les

_composantes

de Dirac.

Mais _{remarquons que,}

_{d’après (3),}

_{spi 9}

est un

_{quadriquaternion quelconque}

on aura

toujours

-Donc

_{l’équation}

où F est connu

_{et ~}

un

_{quadriquaternion}

_général

_inconnu,

nous conduira aux

_équations

de

Darwin entre les

_composantes

_les

autres

_composantes

étant arbitraires.

La solution de Dirac n’est

donc

_qu’un

cas

particulier

de la solution

_{générale ;}

elle

cor-respond

à

_(20).

_{Nous pouvons} enfin tirer la

_{règle pratique}

suivante : Pour résoudre

l’équa-tion

_classique

de

Dirac,

il suffit de trouver une

_solution

de

_{l’équation générale}

"F 0

(où

le

_premier

membre est un

_produit

de deux

quadriquaternions) et de

la

n’lultiplier à

droite _{par err,} r étant l’un

_quelconque

des nombres

1, 2,

8,

4. Cette

_règle

semble réduire le

simple

au

_{compliqué; quelquefois cependant}

la

_{symétrie plus grande}

de

l’équation générale

rend le calcul et la notation

_plus

faciles et

_permettent

en tout cas de mieux saisir _les

rap-ports

entre les diverses

_grandeurs

du

_problème.

Passons maintenant aux oc. - Posons

ou _encore, en

_remplaçant

les e _{par les} a et en

_{posant bii == ~i}

Il suffira de

_{multiplier algébriquemeîzt}

cette

_expression

avec

et d’annuler les

coefficients,

pour résoudre suivant la manière même de Dirac son

_équation

et retrouver les

_{quatre composantes}

_{classiques (1)}

_{’ft, ’f2’ ~3, ’f4’}

Ce

_procédé

n’a _pas seulement

_l’avantage

de ne _pas

_préciser

la nature des

opéra-teurs a

(2);

il

_permet

d’écrire le

premier

membre

F ~

comme un

_{produit algébrique,}

forme

_beaucoup

_plus

maniable que celle de Dirac. C’est de cette

propriété

que nous aurons

besoin ultérieurement.

6.

_Expressions

_adjointes

et _{calcul des moyennes. -} Une fois

_{l’équation}

des ondes (1) Voir par exemple F. _SAUTER, toc. -cita

(2) Plusieurs auteurs se sont _posé ce problème; cf. _SAUTER, loc. cit. _Temple, Proc. _Roy. Soc. _{A,127 (1930),} p. 339.

résolue,

on

_peut

calculer les densités des moyennes

physiquement

intéressantes,

comme le

courant,

etc. Celles-ci se

_présentent,

comme l’a montré

_Dirac,

sous la forme d’un

produit

symbolique

de la forme

_où

est un

_opérateur

la

_grandeur

_{imaginaire conjuguée}

de

_,j¡.

Nous allons écrire ces

_grandeurs

comme des

_produits

_{aloébî-iques.}

Nous verrons que, toute

_question

de

_principe

mise à

_part,

_{le ’~}

à i6

_composantes

_présente

des

_avantages

mar-qués,

au

_point

de vue de la

_rapidité

et commodité des

_calculs,

même

_quand

on se limite à la

_conception

de Dirac.

Considérons d’abord

_{un ~}

à 16

_composantes

Nous définirons le

_{quadriquaternion}

«

adjoint

» 4S

par la condition

Si :

L’astérisque

désigne

la

_{quantité complexe}

_{conjugué; si ~}

était une

_{matrice, ~}

serait la

matrice

_transposée

et

_{conjuguée. +}

satisfait à une

_{équation qu’il}

est facile d’écrire en

_partant

de

_{l’équation}

de

_Dirac,

_{mais que} nous laisserons de côté pour le moment.

Considérons maintenant la solution

_{particulière}

de Dirac :

les

_Ar

étant les

_{composantes classiques}

de la fonction

d’onde.

_Le

_{correspondant}

sera

- J ...II , ..,... , ,

Une autre solution

_{particulière}

est celle

_{qui correspond}

à une matrice

_ayant

toutes les colonnes

_identiques.

Nous l’avons

_appelée

solution «

_{normale » ;}

les diverses fonctions

arbi-traires sont choisies

_égales

entre elles.

Le Y

« normal » est

et le ~ « normal » :

Considérons

quelques

formules

intéressantes ;

dans ce

_qui

suit les

_produits

considérés

et en

_{général, d’après}

_(3l’)

Les relations

_(34),

_{(35), (36)}

sont _{très intéressantes parce}

_qu’elles

nous

_permettent

de

calculer immédiatement les covariants

_quadratiques

bien connues au _moyen

_desquels

on

compare la théorie à

l’expérience.

Prenons par

exemple,

une des

_composantes

du

_{courant ;}

_{symboliquement,}

Dirac la

calcule _{par le}

_{produit (~}

a1

~).

Nous avons vu

_qu’on

arrive au même résultat si l’on effectue

algébriquement

le même

_produit

entre

_{quadriquaternions,}

à condition de

_prendre

_{pour P}

et ~

une solution

_{particulière,}

à savoir

_(DD

et

_~D.

Or,

_{d’après (4),}

on a :

*

donc .

ou,

_{d’après (34) :}

Or,

la

_quantité

entre crochets est

_justement

la

_{première composante}

_classique

du

cou-rant,

à un facteur

_{numérique près.}

De

même,

avec la solution « normale _»,

_{4)N et}

_§N

Il est alors extrêmement facile de calculer les

_composantes

_classiques

du

_courant,

du

spin,

etc.,

c’est-à-dire les densités des _{moyennes des} 16

_opérateurs

_{(~ 0152J}

_ou

en

_général

d’un

_opérateur

_quelconque.

Soit $

un

_{pareil opérateur;}

dès

_qu’on

a son

_expression

en fonction _{des eik}

_(par

le

tableau

_(4),

_par

_exemple)

on

_peut

immédiatement en déduire

_{l’expression}

de

_{4JD i}

_’~D

ou

4JN i

Y~r

en fonction des

_produits

_{At Ak ;}

il

_{suffit de reniplacer}

dans

_{l’evpression}

de

ç.

Par

_exemple,

on déduit de

₍₄₎

On

a

_donc,

immédiatement

immé-diatement et leur

_façon

de se

_comporter

_par

_rapport

aux transformations de Lorentz se

déduit

_beaucoup

_plus

aisément

_qu’on

ne

_pouvait

le’faire

_jusqu’à

_présent.

7. Cas

_général.

- Soient

Ai,

A2,

A3,

~4

les

_quatre

_composantes

de la fonction d’onde

_classique

de Dirac. Calculons

_{l’expression}

en

_remplaçant

les ers par leurs

_expressions

en fonction des a,

d’après

les relations

_(4).

On

a, ainsi

qu’on peut

facilement le vérifier en utilisant les

_règles

_que nous avons

_données,

Toutes les

_quantités

écrites entre

_parenthèses

sont

_{réelles ;}

elles

_{représentent}

les 16

cova-riants

_quadratiques

de la théorie

_classique

de

Dirac,

c’est-à-dire les densités des moyenne des 16

_{opérateurs indépendants}

formés en

_multipliant

les _ak.

_(On

_{voit que pour} obtenir des

quantités

réelles il faut mettre en évidence un i =

yi -

1 dans les unités _{a1 a,,} .... dont les

carrés sont

_égaux

à

- ~ ;

de cette

_façon

les carrés de tous les coefficients des

_parenthèses

sont

_égaux

à

₊

i. Cette

règle

est à

_retenir.)

On

_peut

donc obtenir â la

_fois

toutes les _{moyennes relatives à}

_{l’électron,}

donc toutes les

quantités susceptibles

de mesure, en

_partant

_simplement

des

_composantes

du

quadriquater-nion N == 4

_{Iers Ar}

_As*.

Cela

étant,

prenons la solution

classique ~.1.~D

de

_{l’équation}

_{générale ;}

on a

Prenons la solution

_normale;

on a

_également

Pour calculer les

_grandeurs

_quadratiques

d’un électron de Dirac il

_{suffit donc}

de

_prendre

les

_composantes

du

_produit

_~D

(DD =

’fN

on

_{pourrait appeler}

ces

_composantes

les «

Passons maintenant à la solution

générale.

Ici nous n’avons

plus

quatre

fonctions

d’onde distinctes

_Ar,

mais bien

seize;

nous savons

_cependant

qu’elles satisfont,

par groupes de

_quatre,

aux

_équations

de Darwin, On a, en

_{général :}

qu’on

peut

écrire

si l’on _pose

Remarquons

que les

composantes

de K et de J

_{satisfont précisément}

aux

_équations

de Darwin. On a alors dans le cas

_{général :}

qu’on

peut

encore écrire

Cette

_expression

est du

_type

1

On

_peut

passer aux x en

_remplaçant

les e~k par leurs

_expressions

₍₄₎

et l’on obtiendra

a,lors les cc tensions » dans le cas

,qénéral.

On

_peut

aussi observer que

₍₄₅₎

s’écrit

Mais les

_~i,

_’.(i

=

1, 2, 3,

4)

sont

quatre

grandeurs

qui satisfont

aux

_{équations de}

Darwin;

il en est de même

_{de ’fi2}

_~i3,

_~i~~

Par

_conséquent,

donne par ses

_composantes

les

grandeurs quadratiques, identiques

à celles de

Dirac,

et

provenant

du groupe 1 des

équations ;

de même

T2

correspond

au _{groupe II et ainsi de}

suite;

correspon-dants à chacun des

_quatre

_groupes

_{d’équations}

de Darwin en

_lesquelles

se résolvent les

16

_{équations fonda>iieiitales.}

°

Lorsqu’on

passe à la solution

classique,

on _{doit poser}

et

₍₄₅₎

se réduit à

_(41).

Ceci montre clairement ia différence entre les covariants

quadra-tiques

généraux

et ceux de Dirac.

8.

_Comparaison

avec le cas du

_{rayonnement. -}

Pour le

rayonnement

la

situation est tout à fait

_{analogue ;}

les

_équations

du

_rayonnement

_peuvent

s’écrire

_{(1) :}

où F

_{et ~}

sont des

_{biquaternions :}

les ~,

satisfaisant à et en

_particulier

à

et _{les p} étant

_définis,

comme d’habitude _par

Passons à des _{unités eik telles que}

On

_peut

exprimer

les ~,

en fonction des eik

(i, k = 1,2);

nous _pouvons

_prendre

_par

exemple

(’) :

Avec cela on

_peut

écrire

Formons

_F§

et annulons les coefficients des _{e; ;} nous aurons

_quatre

_équations

_qui

se

scindent en deux _groupes de deux

_équations

chacun

.

(1) Voir Journal de

_Physique,

t. 111, (1932), p. 83.

1 et II ne

_{difèi-e>it}

_{que par le} nom des

_inconnues;

_{+ e!r3,}

_Çj

₊

i

_vs

d’une

_part

et

~1

-- 1 ~"

vo

-

’f3

d’autre

_part

ne différent que par des fonctions arbitraires

_{d’intégration.}

Pour

résoudre

complètement

le

_problème

du

_rayonnement

il suffira de

_connaître,

daz2s toute

leur

_{généralité,}

les solutions du groupe

1,

donc de

_quatre

_équations

réelles seuleutent. 10.

Equations

de Maxwell pour le vide. - Si l’on fait =

0,

les

équations

déduites de

₍₄₆₎

sont

_identiques

aux

_équations

de Maxwell

_(1).

Les conclusions

_du

para-graphe

précédent

doivent donc subsister pour ces

_équations

et nous conduire à des théo-rèmes tout à fait

_{indépendants}

de

_{l’interprétation particulière adoptée}

dans ce

_{paragraphe :}

on

_peut

_par

_exemple

conclure

_qu’il

est

_possible

de

_séyarer

les

_équations

de Maxicell en deux

groupes,

lesquels

ne _{que par le} nom des inconnues.

Il

en est ainsi effectivement. Les huit

_équations

de Maxwell dans le

_vide,

écrites avec la

notation

habituelle,

sont

et les deux _{groupes sont formés}

_{d’équations identiques}

le

_premier

entre

(-

E)

et

H,

le second entre H et E. Mais ces _{deux groupes} ne

_{correspondent}

_{pas exactement} à la

décom-position

choisie

_(50).

On

_peut

écrire

₍₅₁₎

en _{deux groupes} comme suit :

Ces _{deux groupes sont formés}

_{d’équations identiques}

entre des inconnues

_qui

_portent

des noms différents. Il suffit _{pour s’en rendre}

_compte

de mettre en

_évidence,

dans le groupe

I,

les nouvelles inconnues suivantes :

Le groupe II sera

_identique

au

_premier,

à cela

_près

que les inconnues

_{s’appelleront}

maintenant

et

_{qu’elles correspondront}

une à une aux inconnues

_(53).

Il est inutile d’écrire ces

_équations.

On n’a

_qu’à

_{poser dans}

₍₅₂₎

IJ Il

La

_{première équation}

devient

Donc dans la théorie

_classique

de Maxwell les

_{grandeurs suivantes,}

formées à

_partir

des

_composantes

du

_{champ électromagnétique}

et

satis font

aux mênles

équations

aux dérivées

_{partielles ;}

cela ne veut _{évidemment pas} dire

qu’elles

sont

_identiques.

Mais en _{tout cas,} on voit

_qu’il

suffit de savoir

_résoudre,

dans toute

leur

_{généralité}

_quatre

équations,

pour avoir la solution des

équations

de _{Maxwell pour} le vide.

Les

_équations

_classiques

de

Dirac,

à

_{quatre composantes}

ne

_peuvent

_pas se

_séparer

en

deux groupes ne différant _{que par le} nom des inconnues. _{Il y} a là une différence de struc-ture d’avec les

_équations

de

Maxwell,

qui

montre clairement

_jusqu’où

_peut

aller

_l’analoqie

entre

_photon

et un électron. ,

°