L’étude de quelques problèmes concernant les équations aux différences non linéaires

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE Ministère de l’enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

UNIVERSITE Mohamed Seddik Ben Yahia – Jijel Faculté des Sciences Exactes et Informatique

Département de Mathématiques

Mémoire

Pour l’obtention du diplôme de Master

Spécialité : Mathématiques

Option : Mathématiques Fondamentales

Thème

………..

Présenté par : Hamida Hamioud

Devant le jury :

N. Touafek F. Belhannache A. Boussayoud

Président Encadreur Examinateur

Université de Jijel Université de Jijel Université de Jijel L’étude de quelques problèmes concernant les équations aux

différences non linéaires

Prof

M.A.A

M.A.A

Remerciements

Tout d’abord, je remercie Dieu, le tout puissant, pour m’avoir donnée la force, la patience et le courage d’aller

jusqu’au bout de mon travail.

Je remercie mon encadreur Mme Belhannache Farida, qui me fait l’honneur d’avoir veillé et dirigé ce travail, ainsi

que pour ses conseils, sa patience et sa disponibilité.

Je remercie les membres de jury

Mr. Nouressadat Touafek et Mr. Boussayoud Ali d’avoir bien voulu accepter de juger ce travail.

Je remercie aussi tous mes professeurs et enseignants et toutes les personnes qui m’ ont aidé tout au long de ce

travail, et qui n’ont pas cessé de me donner des remarques pertinentes.

En fin, je ne serai achevés sans remercier mes chers parents qui m’ont soutenus durant tous ses

années d’étude et qui m’ont

encouragés sans cesse.

Dedicaces

Je dédie ce travaille de fin d’étude A ux personnes les plus chères dans ma vie.

A mes parents pour leurs aides précieuses, leurs soutient moraux, leurs encouragements, leur

sacrifices …

A mon frère, Boubaker.

A mes sœurs, Fatima, Saliha, Meriem et Amina.

A mes chères amies les étudiants de Master II Mathématiques Fondamentales.

A ux enseignants qui ont contribué à ma formation.

Enfin, je dédie ce mémoire à ceux qui m’aiment et surtout ceux

que j’aime.

TABLE DES MATIÈRES

Introduction 2

1 Préliminaires 4

1.1 Équations aux différences linéaires . . . 4

1.1.1 Définitions et résultats généraux . . . 4

1.1.2 Équations aux différences linéaires à coefficients constants . . . 10

1.2 Équations aux différences non linéaires . . . 12

1.2.1 Définitions et résultats généraux . . . 13

1.2.2 Stabilité des équations aux différences non linéaires autonome . . . 13

1.3 Système d’équations aux différences non linéaires . . . 16

2 L’étude du comportement asymptotique des solutions d’une équation aux différences rationnelle d’ordre trois 19 2.1 L’étude de l’équation (2.2) dans le cas où α >0 . . . 20

2.2 L’étude de l’équation (2.2) dans le cas où α = 0 . . . 37

3 L’étude de quelques systèmes d’équations aux différences non linéaires 41 3.1 La forme de la solution d’un système d’équations aux différences rationnelles . . 41

3.2 Le modèle de Nicholson-Bailey . . . 49

Conclusion 55

Bibliographie 56

Introduction

Une suite numérique est une application, notée généralement x, de l’ensemble des nombres naturels N dans l’ensemble des nombres réels R (ou complexe C). Si on connaît l’image x(n) oux_n d’un nombre n ∈N par l’applicationx, on dit que la suite est définie explicitement.

Une équation aux différences (récurrente) est une équation qui donne une relation entre les termes d’une même suite. Les équations aux différences sont très importantes. D’une part elles sont utilisées dans l’analyse numérique pour la résolution d’une équation à l’aide d’une suite, pour la simulation des équations différentielles ordinaires et des équations aux dérivées partielles. D’autre part elles sont utilisées pour modéliser quelques phénomènes dans la biologie (dynamique des populations), l’écologie, l’électronique, ... , etc.

Notre mémoire est composé de trois chapitres.

Dans le premier chapitre, nous présentons des notions fondamentaux sur les équations aux différences linéaires, non linéaire et les systèmes d’équations aux différences non linéaires.

Le deuxième chapitre est consacré à l’étude du comportement asymptotique des solutions de l’équation aux différences rationnelle d’ordre trois suivante

xn+1 = A+Bxn−1

C+Dx_nx_n−2, n= 0,1, . . .

Introduction Le troisième chapitre est partagé en deux sections. Dans la première section nous donnons la forme de la solution du système suivant





x_n+1 = _y ^xn−1

nxn−1+1

y_n+1 = _xny^yn−1

n−1+1

, n= 0,1, . . .

La deuxième section de ce chapitre est consacrée à l’étude du comportement des solutions du modèle biologique suivant

( x_n+1 =bx_nexp (−ay_n)

y_n+1 =cx_n(1−exp (−ay_n)) , n= 0,1, . . . Nous terminerons ce mémoire par une conclusion générale.

CHAPITRE 1 Préliminaires

Ce chapitre est partagé en trois sections. Dans la première section nous présentons quelques notions de base concernant les équations aux différences linéaires.

Dans la deuxième section nous donnons des définitions et des résultats fondamentaux sur les équations aux différences non linéaires.

La dernière section présente des préliminaires sur les systèmes d’équations aux différences non linéaires. Les références utilisées dans ce chapitre sont [2], [3] et [4].

Dans toute la suite on désigne par N_n0 ={n∈N, n≥n₀} oùn₀ ∈N et k∈N^∗.

1.1 Équations aux différences linéaires

1.1.1 Définitions et résultats généraux

Définition 1.1.1. Une équation aux différences linéaire d’ordrek, est une équation de la forme

y_n+k+p₁(n)y_n+k−1+· · ·+p_k(n)y_n =g(n), n ∈N_n0 (1.1) avec g(n), pi(n), i= 1, k sont des fonctions réelles définies sur Nn0 et pk(n) non nul pour tout n∈N_n0.

Remarque 1.1.1. L’équation (1.1) est dite non homogène.

1.1. Équations aux différences linéaires

Remarque 1.1.2. En général on associe k valeurs initiales avec l’équation aux différences linéaire (1.1)

y_n0 =c₀, y_n0+1=c₁,· · · , y_n0+k−1 =c_k−1 (1.2) où c_i, i= 0, k−1 sont des constantes réelles ou complexes.

Exemple 1.1.1. L’équation suivante est une équation aux différences linéaire d’ordre trois.

4yn+3+ 2yn+1+yn = 4nlnn+n+ 1, n∈N3.

Définition 1.1.2. Une suite{y_n}^+∞_n=n0 est dite solution de l’équation (1.1) si elle satisfait cette équation.

Théorème 1.1.1. [2] L’équation (1.1) avec les conditions initiales (1.2) admet une solution unique {yn}^+∞_n=n0.

Définition 1.1.3. On appelle équation homogène associée à l’équation (1.1) l’équation

y_n+k+p₁(n)y_n+k−1 +· · ·+p_k(n)y_n= 0, n∈N_n0. (1.3)

Théorème 1.1.2. [2] L’ensembleS des solutions de l’équation (1.3) est unK-espace vectoriel.

Définition 1.1.4. Un ensemble de k solutions de l’équation (1.3) linéairement indépendantes est dit ensemble fondamental de solutions.

Définition 1.1.5. Soient {y_nⁱ}^+∞_n=n0, i= 1, k des solutions de l’équation (1.3), on définit le Casoratien W(n) de ces solutions par

W(n) = det









y_n¹ y_n² · · · y_n^k y_n+1¹ y_n+1² · · · y^k_n+1

... ... . .. ...

y¹_n+k−1 y²_n+k−1 · · · y_n+k−1^k









. (1.4)

Lemme 1.1.3 (Lemme d’Abel). Soient {y_nⁱ}^+∞_n=n0, i = 1, k des solutions de l’équation (1.3) et soit W(n) leurs Casoratien, alors

W(n) = (−1)^k(n−n0) Ã_n−1

Y

i=n0

pk(i)

!

W(n0), ∀n ∈Nn0 (1.5)

1.1. Équations aux différences linéaires

avec Yk

i=j

a_i = 1, k < j.

Pour démontrer ce lemme on a besoin du lemme suivant.

Lemme 1.1.4. Considérons l’équation aux différences linéaire du premier ordre suivante

y_n+1 =p(n)y_n, n ∈N_n0 (1.6)

avec yn0 = y0 et p(n) est une fonction non nul définie sur Nn0. Alors la solution générale de l’équation (1.6) est donnée par

y_n=

"_n−1 Y

i=n0

p(i)

#

y₀, ∀n∈N_n0 (1.7)

avec Yk

i=j

a_i = 1, k < j.

Démonstration. Par récurrence.

Pour n=n₀+ 1. De l’équation (1.6), on a

y_n0+1 = p(n₀)y_n0

= p(n0)y0

=

" _n Y0

i=n0

p(i)y₀

# ,

donc (1.7) est vraie pour n=n₀+ 1.

Maintenant supposons que

y_n=

"_n−1 Y

i=n0

p(i)

# y₀ et montrons que

y_n+1 =

"

Yn

i=n0

p(i)

#

y₀. (1.8)

1.1. Équations aux différences linéaires De (1.6) et l’hypothèse on trouve

y_n+1 =p(n)y_n = p(n)

"_n−1 Y

i=n0

p(i)

# y₀

=

"

Yn

i=n0

p(i)

# y₀.

D’où (1.8).

Démonstration du Lemme 1.1.3

On va démontrer le lemme pourk = 2et de la même manière on peut montrer le cas général.

Considérons l’équation aux différences suivante

yn+2+p1(n)yn+1+p2(n)yn= 0, n ∈Nn0. (1.9) Soient {y_n¹}^+∞_n=n0 et {y_n²}^+∞_n=n0 deux solutions de l’équation (1.9) alors le Casoratien de ces solutions est défini par

W(n+ 1) = det





y_n+1¹ y_n+1²

y_n+2¹ y_n+2²



, (1.10)

de l’équation (1.9), on a

y_n+2ⁱ =−p1(n)y_n+1ⁱ −p2(n)y_nⁱ, i= 1,2

donc

W(n+ 1) = det





y_n+1¹ y_n+1²

−p₁(n)y_n+1¹ −p₂(n)y¹_n −p₁(n)y²_n+1−p₂(n)y²_n



.

En utilisant les propriétés des déterminants on trouve

W(n+ 1) = −p₂(n) det



 y¹_n+1 y_n+1² y_n¹ y_n²





= (−1)(−1)p₂(n) det



 y_n¹ y²_n y_n+1¹ y_n+1²



,

1.1. Équations aux différences linéaires d’où

W(n+ 1) = (−1)²p2(n)W(n), n∈Nn0. (1.11) En utilisant le Lemme 1.1.4, on obtient

W(n) =

·n−1Q

i=n0

(−1)²p2(i)

¸

W(n0)

= (−1)^2(n−n0)

·n−1Q

i=n0

p₂(i)

¸

W(n₀).

Corollaire 1.1.5. Supposons que p_k(n) 6= 0 pour tout n ∈ N_n0, alors W(n) 6= 0 pour tout n∈N_n0 si et seulement s’il existe en ∈N_n0 tel que W(en)6= 0.

Proposition 1.1.6. Soit {y_n¹, y_n²,· · ·, y_n^k} une famille des solutions de l’équation (1.3). Alors ces solutions sont linéairement indépendantes si et seulement si leurs Casoratien est non nul pour tout n ∈N_n0.

Démonstration. Soient {yⁱ_n}^+∞_n=n0, i= 1, k des solutions de l’équation (1.3) et soient c_i, i= 1, k des constantes réelles.

Supposons que

c₁y¹_n+c₂y_n² +· · ·+c_ky^k_n= 0, ∀n∈N_n0 alors on peut trouver k équations























c₁y¹_n+c₂y_n²+· · ·+c_ky_n^k = 0, c₁y¹_n+1+c₂y_n+1² +· · ·+c_ky^k_n+1 = 0, ...

c₁y¹_n+k−1+c₂y_n+k−1² +· · ·+c_ky_n+k−1^k = 0.

, n∈N_n0 (1.12)

Si on pose

Y(n) =













y_n¹ y_n² · · · y^k_n y¹_n+1 y²_n+1 · · · y^k_n+1

... ... . .. ...

y¹ y² · · · y^k













et A =







 c₁ c2

...

c_k







 .

1.1. Équations aux différences linéaires On trouve

(1.12)⇐⇒Y(n)A= (0,0, . . . ,0)^t, n ∈Nn0 (1.13) On sait que (1.13) admet uniquement la solution triviale (nulle) si et seulement sidetY(n)6= 0 i.e.,

c₁ =c₂ =. . .=c_k= 0 ⇐⇒detY(n)6= 0, ∀n ∈N_n0. et comme

W(n) = detY(n),

alors {y_nⁱ}^+∞_n=n0, i= 1, k sont linéairement indépendantes si et seulement si W(n)6= 0.

Théorème 1.1.7 (Théorème fondamental). Considérons l’équation (1.3). Si pk(n) 6= 0 pour tout n ∈ N_n0, alors l’équation (1.3) admet un ensemble fondamental de solutions pour n∈N_n0.

Démonstration. soit {y_nⁱ}^+∞_n=n0, i = 1, k les solutions unique de l’équation (1.3) avec les conditions initiales

y_nⁱ_0+i−1 = 1, y_nⁱ_0+j = 0, j 6=i−1, 1≤i≤k.

Soit W(n) leur Casoratien, alors

W(n₀) = det















y_n¹₀ y_n²₀ · · · y_n^k₀ y_n¹₀₊₁ y_n²₀₊₁ · · · y_n^k₀₊₁

... ... . .. ...

y¹_n0+k−1 y²_n0+k−1 · · · y_n^k_0+k−1















= det











1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 ... ... ... ...

0 0 · · · 1









 ,

1.1. Équations aux différences linéaires d’où

W(n0) = det Ik = 16= 0,

donc l’ensemble{y¹_n, y²_n, . . . , y_n^k} est un ensemble fondamental de solutions de l’équation (1.3).

Lemme 1.1.8. Soient {y_n}^+∞_n=n0 et {ey_n}^+∞_n=n0 deux solutions de l’équation (1.1), alors {yn−eyn}^+∞_n=n0 est une solution de l’équation (1.3).

Théorème 1.1.9. Soient{y_nⁱ}^+∞_n=n0, i= 1, kdes solutions linéairement indépendantes de l’équa- tion (1.3)et soit{y_n^p}^+∞_n=n0 une solution particulière de l’équation(1.1), alors toute autre solution {yn}^+∞_n=n0 de l’équation (1.1) s’écrit

y_n= Xk

i=1

c_iy_nⁱ +y^p_n, c_i ∈R, i= 1, k.

Démonstration.Soient {yn}^+∞_n=n0 une solution de l’équation (1.1) et {y_n^p}^+∞_n=n0 une solution particulière de cette équation, d’après le Lemme 1.1.8, on a {y_n−y_n^p}^+∞_n=n0 est une solution de l’équation (1.3), donc

y_n−y_n^p = Xk

i=1

c_iy_nⁱ, d’où

y_n = Xk

i=1

c_iyⁱ_n+y_n^p.

1.1.2 Équations aux différences linéaires à coefficients constants

Considérons l’équation aux différences linéaire homogène à coefficients constants suivante y_n+k+p₁y_n+k−1+· · ·+p_ky_n = 0, n∈N_n0 (1.14)

avecp_i, i= 1, k sont des constantes réelles et p_k 6= 0.

Théorème 1.1.10. L’équation (1.14) a des solutions de la forme y_n = λⁿ avec λ ∈ C^∗ si λ une racine du polynôme

1.1. Équations aux différences linéaires Démonstration. Considérons l’équation (1.14) et soit λ une racine de P.

Supposons que yn =λⁿ, ∀n ∈Nn0 et montrons que {yn}^+∞_n0 est une solution de l’équation (1.14).

On a

λ^n+k+p₁λ^n+k−1+· · ·+p_kλⁿ = λⁿ¡

λ^k+p₁λ^k−1+· · ·+p_k¢

= λⁿP(λ) = 0.

donc yn =λⁿ est une solution de (1.14).

Définition 1.1.6. Le polynôme P(λ) est appelé polynôme caractéristique associé à l’équation (1.14).

Définition 1.1.7. L’équation P(λ) = 0, est appelée équation caractéristique associée à l’équa- tion (1.14).

Théorème 1.1.11.Siλi, i= 1, k sont des racines distinctes deP,alors l’ensemble{λⁿ₁, . . . , λⁿ_k} est un ensemble fondamental de solutions de l’équation (1.14).

Démonstration.Soient λ_i, i= 1, k les racines distinctes deP, d’après le Théorème 1.1.10 on trouve que{λⁿ_i}^+∞_n=n0, i= 1, k sont des solutions de l’équation (1.14). SoitW(n)le Casoratien de ces solutions, d’après le Corollaire 1.1.5 il suffit de montrer queW(0) 6= 0 .

On a

W(0) = det









1 1 · · · 1 λ₁ λ₂ · · · λ_k ... ... . .. ...

λ^k−1₁ λ^k−1₂ · · · λ^k−1_k







 ,

c’est le déterminant de V andermonde, alors W(0) = Y

1≤i<j≤k

(λj −λi). (1.15)

Puisque les λ_i, i = 1, k sont distinctes, alors W(0) 6= 0, donc {λⁿ₁, . . . , λⁿ_k} est un ensemble fondamental de solutions de l’équation (1.14).

1.2. Équations aux différences non linéaires

Remarque 1.1.3. Soient λ_i, i= 1, k les racines distinctes de P. Alors la solution générale de l’équation (1.14) est

y_n = Xk

i=1

c_iλⁿ_i, c_i ∈C.

Lemme 1.1.12. [2] Soient λ₁, λ₂, . . . , λ_r des racines de P de multiplicités respectives m₁, m₂, . . . , m_r tel que m₁+m₂+· · ·+m_r =k et r≤k, alors l’ensemble

{λⁿ₁, nλⁿ₁,· · · , n^m1−1λⁿ₁, λⁿ₂,· · · , n^m2−1λⁿ₂,· · · , λⁿ_r,· · ·, n^mr−1λⁿ_r}.

est un ensemble fondamental de solutions de l’équation (1.14) et la solution générale de cette équation dans ce cas est

y_n = Xr

i=1 mXi−1

j=0

c_i,jn^jλⁿ_i , c_i,j ∈C.

Exemple 1.1.2. Considérons l’équation aux différences linéaire homogène suivante

y_n+2−2y_n+1+ 3y_n= 0, n= 0,1, . . . (1.16) L’équation caractéristique associée à l’équation (1.16) est

λ² −2λ+ 3 = 0.

et les racines de cette équation sont

λ₁ = 1 +√

2i et λ₂ = 1−√ 2i

donc la solution générale est y_n =c₁(1 +√

2i)ⁿ+c₂(1−√

2i)ⁿ, c₁, c₂ ∈C, n= 0,1,· · ·

1.2 Équations aux différences non linéaires

Soit G une partie de R et soit f :N×G^k+1 →G une fonction continue.

1.2. Équations aux différences non linéaires

1.2.1 Définitions et résultats généraux

Définition 1.2.1. Une équation aux différences non linéaire d’ordre k+ 1 est une équation de la forme

x_n+1 =f(n, x_n, x_n−1,· · · , x_n−k), n= 0,1, . . . (1.17) où f n’est pas de la forme (1.1).

Remarque 1.2.1. L’équation (1.17) est appelée équation aux différences non autonome.

Si on a

x_n+1 =f(x_n, x_n−1,· · · , x_n−k), n= 0,1, . . . (1.18) alors l’équation (1.18) est dite autonome.

Définition 1.2.2. Une suite {x_n}^+∞_n=−k est dite solution de l’équation (1.18) si elle satisfait cette équation.

Remarque 1.2.2. L’équation (1.18) avec les valeurs initiales x₀, x₋₁,· · · , x_−k admet une so- lution unique.

Définition 1.2.3. Soit {x_n}^+∞_n=−k une solution de l’équation (1.18), {x_n}^+∞_n=−k est dite

• eventuellement périodique de période p si

∃n0 ≥k, xn+p =xn,∀n≥n0.

• périodique de période p si

∃p≥1, xn+p =xn,∀n≥ −k.

Définition 1.2.4. Soit {x_n}^+∞_n=−k une solution de l’équation (1.18). On dit que {x_n}^+∞_n=−k est permanente si

∃N ∈N0, ∃M, m >0 tel que m≤xn ≤M, ∀n ≥N.

1.2.2 Stabilité des équations aux différences non linéaires autonome

Définition 1.2.5. Un point x∈G est appelé point d’équilibre de l’équation (1.18) si x=f(x, x,· · · , x).

1.2. Équations aux différences non linéaires Remarque 1.2.3. Un point d’équilibre de l’équation (1.18) est une solution constante de cette équation.

Définition 1.2.6. Soit x un point d’équilibre de l’équation (1.18).

1. On dit que x est localement stable (stable) si pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que si {xn}^∞_n=−k est une solution de l’équation (1.18) et x−k,· · · , x−1, x0 ∈G avec

|x_−k−x|+· · ·+|x₋₁−x|+|x₀−x|< δ,

alors

|x_n−x|< ε pour tout n ≥ −k.

2. On dit que x est localement asymptotiquement stable (asymptotiquement stable) si

• x est localement stable.

• S’il existe γ >0 tel que si {x_n}^∞_n=−k est une solution de l’équation (1.18) et x_−k,· · · , x₋₁, x₀ ∈G avec

|x_−k−x|+· · ·+|x₋₁−x|+|x₀−x|< γ,

alors

n→+∞lim x_n=x.

3. On dit que x est globalement attractif si pour chaque solution {x_n}^∞_n=−k de l’équation (1.18) on a

∀x−k,· · · , x0 ∈G, lim

n→+∞xn =x.

4. On dit que x est globalement asymptotiquement stable si

• x est localement stable.

• x est globalement attractif.

5. x est dit instable s’il n’est pas localement stable.

Supposons que la fonction

f :G^k+1 −→ G

(u₀, u₁,· · · , u_k) 7−→ f(u₀, u₁,· · · , u_k)

1.2. Équations aux différences non linéaires est différentiable dans un voisinage du point X = (x, x,· · ·, x) où xest un point d’équilibre de l’équation (1.18).

Définition 1.2.7. Soit x un point d’équilibre de l’équation (1.18).

• On appelle équation linéaire associée à l’équation (1.18) autour du point x l’équation suivante

y_n+1 =a₀y_n+a₁y_n−1+· · ·+a_ky_n−k n = 0,1, . . . (1.19) avec

ai = ∂f

∂u_i(x,· · · , x), i= 0, k.

• On appelle équation caractéristique associée à l’équation (1.19) l’équation

λ^k+1−a₀λ^k− · · · −a_k = 0. (1.20)

Théorème 1.2.1. [3](stabilité par linéairisation) Soit x un point d’équilibre de l’équation (1.18).

a) Si toutes les racines de l’équation caractéristique (1.20) sont de modules inférieurs stric- tement à un, alors le point d’équilibre x est localement asymptotiquement stable.

b) S’il existe au moins une racine de l’équation caractéristique (1.20) de module supérieur strictement à un, alors le point d’équilibre x est instable.

Théorème 1.2.2. [3] Supposons que a₀, a₁,· · · , a_k ∈R tel que Xk

i=0

|a_i|<1,

alors toutes les racines de l’équation (1.20) sont de module inférieurs strictement à un.

Théorème 1.2.3. [3] Considérons le polynôme

P(λ) = λ²+a₁λ+a₂, (1.21) avec a₁, a₂ ∈R.

La condition nécessaires et suffisantes pour que les racines du polynôme (1.21) soient de module inférieur strictement à un est

|a₁|<1 +a₂ <2.

1.3. Système d’équations aux différences non linéaires Définition 1.2.8. Soient {x_n}^+∞_n=−k une solution de l’équation (1.18) et x un point d’équilibre de cette équation.

On dit que {x_n}^+∞_n=−k est non oscillatoire autour du point x s’il existe N ≥ −k tel que

x_n> x, ∀n≥N ou x_n < x, ∀n ≥N.

Sinon on dit que {x_n}^+∞_n=−k est oscillatoire autour du point x.

1.3 Système d’équations aux différences non linéaires

Soient I,G deux parties deR.Supposons quef :I^k+1×G^r+1 →I,g :I^k+1×G^r+1 →Gsont deux fonctions continues et considérons le système d’équations aux différences suivant

( x_n+1 =f(x_n, x_n−1,· · · , x_n−k, y_n, y_n−1,· · · , y_n−r)

y_n+1 =g(x_n, x_n−1,· · · , x_n−k, y_n, y_n−1,· · · , y_n−r) , n= 0,1, . . . (1.22) Le système (1.22) s’écrit sous la forme vectorielle suivante

Xn+1 =F(Xn), n= 0,1, . . . (1.23) avec

Xn= (xn, xn−1,· · · , xn−k, yn, yn−1,· · · , yn−r)^t et

F :I^k+1×G^r+1 −→ I^k+1×G^r+1

(u₀, u₁,· · · , u_k, v₀, v₁,· · · , v_r) 7−→ F((u₀, u₁,· · · , u_k, v₀, v₁,· · · , v_r)^t),

1.3. Système d’équations aux différences non linéaires tel que

F((u0, u1,· · · , uk, v0, v1,· · · , vr)^t) =





















f(u₀, u₁,· · ·, u_k, v₀, v₁,· · · , v_r) u₀

...

u_k−1

g(u₀, u₁,· · · , u_k, v₀, v₁,· · · , v_r) v0

...

v_r−1



















 .

Définition 1.3.1. Le point (x, y)∈I×G est dit point d’équilibre du système (1.22) si x=f(x, x,· · · , x, y, y,· · · , y) et y=g(x, x,· · ·, x, y, y,· · · , y).

Définition 1.3.2. Un point d’équilibre du système (1.23) est un vecteur X ∈I^k+1×G^r+1 tel que

X =F(X).

Remarque 1.3.1. (x, y) est un point d’équilibre du système (1.22) si et seulement si X = (x, x,· · · , x, y, y,· · · , y) est un point d’équilibre du système (1.23).

Soit k.k une norme quelconque sur R^k+r+2.

Définition 1.3.3. Soit X un point d’équilibre du système (1.23).

(a) On dit que X est stable (ou localement stable) si pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que si {X_n}^+∞_n=0 est une solution du système (1.23) et X₀ ∈I^k+1×G^r+1 avec kX₀−X k< δ, alors

kXn−X k< ε, ∀n≥0.

Sinon X est dit instable.

(b) On dit que X est asymptotiquement stable (ou localement asymtotiquement stable) si

• X est stable.

• S’il existe γ >0 tel que si {X_n}^+∞_n=0 est une solution du système (1.23) et

1.3. Système d’équations aux différences non linéaires

X₀ ∈I^k+1×G^r+1 avec kX₀ −X k< γ, alors

n→+∞lim kX_n−X k= 0.

(c) On dit que X est dit globalement asymtotiquement stable si

• X est asymtotiquement stable.

• Pour chaque solution du système (1.23) on a

∀X₀ ∈I^k+1×G^r+1, lim

n→+∞kX_n−X k= 0.

Définition 1.3.4. Soit X un point d’équilibre du système (1.23) et soit F ∈C¹(I^k+1×G^r+1).

Le système linéaire associé au système (1.23) est

Y_n+1 =AY_n, n= 0,1, . . .

où A est la matrice jacobienne de la fonction F evaluée en X, c’est à dire

A=























∂f

∂u0(X) _∂u^∂f₁(X) · · · _∂u^∂f

k−1(X) _∂u^∂f

k(X) _∂v^∂f₀(X) · · · _∂v^∂f_r−1(X) _∂v^∂f_r(X)

1 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0

0 1 · · · 0 0 0 · · · 0 0

... ... . .. ... ... ... . .. ... ...

0 0 · · · 1 0 0 · · · 0 0

∂g

∂u0(X) _∂u^∂g₁(X) · · · _∂u^∂g

k−1(X) _∂u^∂g

k(X) _∂v^∂g₀(X) · · · _∂v^∂g_r−1(X) _∂v^∂g_r(X)

0 0 · · · 0 0 1 · · · 0 0

... ... . .. ... ... ... . .. ... ...

0 0 · · · 0 0 0 · · · 1 0





















 .

Théorème 1.3.1. [4] Soit X un point d’équilibre du système (1.23)

• Si toutes les valeurs propres de la matrice jacobienne A sont dans le disque ouvert|λ|<1, alors le point d’équilibre X est asymptotiquement stable.

• S’il existe une valeur propre de A de module supérieur strictement à un, alors le point d’équilibre X est instable.

CHAPITRE 2

L’étude du comportement asymptotique des solutions d’une équation aux différences

rationnelle d’ordre trois

Dans ce chapitre, on va étudier le comportement asymptotique des solutions positives de l’équation aux différences suivante

x_n+1 = A+Bx_n−1

C+Dx_nx_n−2, n= 0,1, . . . (2.1) oùA, B ∈[0,+∞[ et C, D, x₋₂, x₋₁, x₀ ∈]0,+∞[, cette équation a été étudié dans [1].

Lemme 2.0.2. L’équation (2.1) est équivalente à l’équation y_n+1= α+βyn−1

1 +y_ny_n−2, n = 0,1, . . . (2.2) où α = ^A_C

qD

C, β = ^B_C.

Démonstration. Pour tout n≥0, on a

x_n+1 = A+Bx_n−1 C+Dx_nx_n−2,

2.1. L’étude de l’équation (2.2) dans le cas où α >0 alors

xn+1 =

A

C +^B_Cx_n−1 1 +

q

D Cx_n

q

D Cx_n−2

,

donc r

D

Cx_n+1 = qD

C(_C^A+^B_Cx_n−1) 1 +

qD Cx_n

qD Cx_n−2

,

d’où r

D

Cx_n+1 =

A C

q

D C +^B_C

q

D Cx_n−1 1 +

q

D Cx_n

q

D Cx_n−2

.

Si on pose y_n= q

D

Cx_n on trouve

y_n+1 = α+βy_n−1 1 +ynyn−2

, n= 0,1, . . .

avec α = ^A_C q

D

C etβ = ^B_C.

Remarque 2.0.2. Du Lemme 2.0.2, il suffit d’étudier l’équation (2.2) à la place de l’équation (2.1).

2.1 L’étude de l’équation (2.2) dans le cas où α > 0

Dans cette section on va étudier le comportement des solutions positives de l’équation (2.2) dans le cas où α >0.

Lemme 2.1.1. On considère la fonction f :R⁺→R définie par

∀x∈R⁺, f(x) = x³+ (1−β)x−α, (2.3) avec α ∈]0,+∞[ et β ∈[0,+∞[, alors

1. Si β <1, on a deux cas

i) Si α <2(1−β)³², alorsf a un seul zéro dans ]0, √

1−β[.

ii) Si α >2(1−β)³², alors f a un seul zéro dans ]√

1−β, +∞[.

√

2.1. L’étude de l’équation (2.2) dans le cas où α >0 Démonstration. Considérons la fonction f définie par (2.3), alors

f(0) =−α, (2.4)

x→+∞lim f(x) = +∞ (2.5)

et

∀x∈R⁺, f⁰(x) = 3x²+ 1−β.

1. Soit β <1. Donc

f⁰(x)>0, ∀x∈R⁺

alors f est strictement croissante sur [0,+∞[.

D’autre part on a

f(p

1−β) =−α+ 2(1−β)³². i) Supposons maintenant que α <2(1−β)³². Alors

f(p

1−β)>0. (2.6)

En utilisant (2.4), (2.6) et le Théorème des valeurs intermédiaires on trouve que

∃!x∈]0,p

1−β[, f(x) = 0.

ii) Supposons que α >2(1−β)³², alors f(p

1−β)<0. (2.7)

En utilisant (2.5), (2.7) et le Théorème des valeurs intermédiaires on obtient que f a un seul zéro x∈]√

1−β,+∞[.

2. Soit β ≥1. Alors

f⁰(x)>0, ∀x∈¤p

β−1,+∞£

2.1. L’étude de l’équation (2.2) dans le cas où α >0 c’est à dire f est strictement croissante sur ¤√

β−1,+∞£ . On aussi

f¡p β−1¢

=−α <0. (2.8)

De (2.5), (2.8) on trouve

∃!x∈¤p

β−1,+∞£

, f(x) = 0.

Remarque 2.1.1. Il est clair que y∈]0,+∞[ est un point d’équilibre de l’équation (2.2) si et seulement si y est un zéro de la fonction f définie par (2.3).

Le resultat suivant est un conséquence directe du Lemme 2.1.1.

Corollaire 2.1.2. On a les assertions suivantes 1. Si β <1. Alors,

i) Si α <2(1−β)³², l’équation (2.2) a un seul point d’équilibre y ∈]0,√

1−β[.

ii) Si α >2(1−β)³², l’équation (2.2) a un seul point d’équilibre y∈]√

1−β,+∞[.

2. Si β ≥1, alors l’équation (2.2) a un seul point d’équilibre y∈]√

β−1,+∞[.

Lemme 2.1.3. Soit y ∈]0,+∞[ le point d’équilibre de l’équation (2.2).

L’équation linéaire associée à l’équation (2.2) en y est

z_n+1 = −y²

1 +y²z_n+ β

1 +y²z_n−1− y²

1 +y²z_n−2, n = 0,1, . . . (2.9) et l’équation caractéristique associée à cette équation est

λ³+ y²

1 +y²λ²− β

1 +y²λ+ y²

1 +y² = 0. (2.10)

Démonstration. Considérons la fonction définie par f : ]0,+∞[³ −→ ]0,+∞[

(u, v, t) 7−→ f(u, v, t) = α+βv 1 +ut .

2.1. L’étude de l’équation (2.2) dans le cas où α >0 On a

∂f

∂u(u, v, t) = −t(α+βv)

(1 +ut)² , ∂f

∂v(u, v, t) = β

1 +ut, ∂f

∂t(u, v, t) = −u(α+βv) (1 +ut)² , donc

a₀ = ∂f

∂u(y, y, y) = −y(α+βy) (1 +y²)² , mais y est un point d’équilibre de l’équation (2.2) alors

y= α+βy 1 +y , d’où

a₀ = −y² 1 +y². De la même manière on trouve

a1 = ∂f

∂v(y, y, y) = β 1 +y²,

a₂ = ∂f

∂t(y, y, y) = −y² 1 +y²,

donc l’équation linéaire associée à l’équation (2.2) est (2.9) et l’équation caractéristique associée à cette équation est (2.10).

Théorème 2.1.4. Soit y ∈]0,+∞[ le point d’équilibre de l’équation (2.2). On a 1. Si β <1, alors

a) y est localement asymptotiquement stable si α <2(1−β)³². b) y est instable si α >2(1−β)³².

2. Si β ≥1, alors y est instable.

Démonstration. Soit y∈]0,+∞[ le point d’équilibre de l’équation (2.2).

1. Supposons que β <1, alors a) Soit α <2(1−β)³². On a

X2

i=0

|a_i|= y²

1 +y² + β

1 +y² + y²

1 +y² = 2y²+β 1 +y² ,

2.1. L’étude de l’équation (2.2) dans le cas où α >0 comme α <2(1−β)³² donc y <√

1−β, d’où

2y²+β <1 +y², ce qui implique

X2

i=0

|a_i|= 2y²+β 1 +y² <1.

En appliquant le Théorème 1.2.2 on trouve que toutes les racines de l’équation (2.10) sont de module inférieurs strictement à un et le Théorème 1.2.1 donne la stabilité locale asymptotique de y dans ce cas.

b) Supposons maintenant que α >2(1−β)³². On considère la fonctiong définie par

g(λ) =λ³+ y²

1 +y²λ²− β

1 +y²λ+ y² 1 +y², donc

g(−1) = y² +β−1 1 +y² , comme

y >p 1−β, alors

2y²+β−1>0, d’où

g(−1)>0, et comme

n→−∞lim g(λ) = −∞,

donc l’équation (2.10) admet une racine λ ∈]− ∞,−1[ et d’après le Théorème 1.2.1, on trouve que y est instable.

2. de la même manière queb)on peut montrer que y est instable lorsque β ≥1.

Théorème 2.1.5. Soit{y_n}^+∞_n=−2 une solution de l’équation (2.2)ety le point d’équilibre positif de la même équation.