LPV/Hinf control design of on-board energy management systems for electric vehicles

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Submitted on 3 Dec 2015

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LPV/Hinf control design of on-board energy

management systems for electric vehicles

Waleed Nwesaty

To cite this version:

Waleed Nwesaty. LPV/Hinf control design of on-board energy management systems for electric vehi-cles. Automatic. Université Grenoble Alpes, 2015. English. �NNT : 2015GREAT087�. �tel-01237735�

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✹ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❙✉❜♠✐tt❡❞ ❥♦✉r♥❛❧✿

P♦✇❡r s♦✉r❝❡s ❝♦♦r❞✐♥❛t✐♦♥ t❤r♦✉❣❤ ♠✉❧t✐✲✈❛r✐❛❜❧❡ LP V/H∞ ❝♦♥tr♦❧ ✇✐t❤ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ t♦

♠✉❧t✐✲s♦✉r❝❡ ❡❧❡❝tr✐❝ ✈❡❤✐❝❧❡s ✭❲✳ ◆✇❡s❛t②✱ ❆✳■✳ ❇r❛t❝✉✱ ❛♥❞ ❖✳ ❙❡♥❛♠❡✮✱ s✉❜♠✐tt❡❞ ♦♥ ♠❛r❝❤ 2nd _{t♦ ■❊❚ ❝♦♥tr♦❧ t❤❡♦r② ✫ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ✭✐♥ r❡✈✐❡✇ st❛❣❡✮✳}

❈❤❛♣t❡r ✶

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✻ ❈❤❛♣t❡r ✶✳ ❇❛❝❦❣r♦✉♥❞ ♦♥ ❝♦♥tr♦❧ t❤❡♦r② ❛♥❞ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥

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✶✳✷ ▲✐♥❡❛r ▼❛tr✐① ■♥❡q✉❛❧✐t② ✭▲▼■✮

❙♦♠❡ ✐ss✉❡s r❡❧❛t❡❞ t♦ ▲▼■s ❛r❡ ❧✐st❡❞ ❤❡r❡ ❜❡❧♦✇✱ ❢♦r ❢✉rt❤❡r ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛❜♦✉t ▲▼■s ❛♥❞ t❤❡✐r ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ✐♥ ❝♦♥tr♦❧ s②st❡♠ ♣❧❡❛s❡ r❡❢❡r t♦ ❬✶✸❪✳

✶✳✷✳ ▲✐♥❡❛r ▼❛tr✐① ■♥❡q✉❛❧✐t② ✭▲▼■✮ ✼ ✶✳✷✳✶ ▲▼■ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ❚❤❡ ▲▼■ ✐s ❛♥ ❡✣❝✐❡♥t t♦♦❧ ❢♦r ♠❛♥② ❝♦♥✈❡① ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s ✐♥ t❤❡ ✜❡❧❞ ♦❢ ❛✉t♦♠❛t✐❝ ❝♦♥tr♦❧✳ ❆♥ ▲▼■ ✐s ❛♥ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ ❬✾❪✿ F (x) := F0+ x1F1· · · + xnFn< 0. ✭✶✳✸✮ ✇❤❡r❡ x = (x1, . . . xn) ✐s ❛ ✈❡❝t♦r ♦❢ n r❡❛❧ ♥✉♠❜❡rs✱ {Fi : 0 ≤ i ≤ n} ✐s ❛ r❡❛❧ s②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐① FT i = Fi✳ ❚❤✐s ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ uTF (x)u < 0 ❢♦r ❛❧❧ r❡❛❧ ✈❡❝t♦r u ❞✐✛❡r❡♥t ❢r♦♠ ③❡r♦✳ ✶✳✷✳✷ ▲▼■ & s✉❜▲▼■ ❆ ✜♥✐t❡ s❡t ♦❢ ▲▼■s✿ F1(x) < 0, . . . , Fn(x) < 0. ✭✶✳✹✮ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ▲▼■✿ F (x) :=      F1(x) 0 . . . 0 0 F2(x) . . . 0 ✳✳✳ ✳✳✳ ✳✳✳ 0 0 . . . Fn(x)      < 0. ✭✶✳✺✮ F (x)✐♥ ❧❛st ❡q✉❛t✐♦♥ ✐s s②♠♠❡tr✐❝✳ ❚❤❡ s✉❜▲▼■s ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ✭✶✳✹✮ ❝❛♥ ❜❡ ❣r♦✉♣❡❞ ✐♥ ♦♥❡ ▲▼■ ❛s ✐♥ ✭✶✳✺✮✱ ✇❤❡r❡ ❜♦t❤ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥s ❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t❛❦✐♥❣ ✐♥t♦ ❝♦♥s✐❞❡r❛t✐♦♥ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ♦❢ F (x) ❛r❡ t❤❡ ✉♥✐♦♥ ♦❢ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ♦❢ t❤❡ s❡t {Fi(x) : 1 ≤ i ≤ n}✳ ✶✳✷✳✸ ▲▼■ ❛❞✈❛♥t❛❣❡s ❚✇♦ ♠❛❥♦r ♣r♦❜❧❡♠s ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❜② ✉s✐♥❣ ▲▼■✿ • ❋❡❛s✐❜✐❧✐t② ♣r♦❜❧❡♠✿ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛♥ ❡❧❡♠❡♥t x t❤❛t s❛t✐s✜❡s F (x) < 0 ♠❛❦❡s t❤❡ ▲▼■ ❢❡❛s✐❜❧❡✱ ♦t❤❡r✇✐s❡ t❤❡ ▲▼■ ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ✐♥❢❡❛s✐❜❧❡✳ ❆ ✈❡r② ✐♠♣♦rt❛♥t ❡①❛♠♣❧❡ ♦❢ s✉❝❤ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s r❡❧❛t❡❞ t♦ ▲②❛♣✉♥♦✈ st❛❜✐❧✐t②✳ ❆❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ▲②❛♣✉♥♦✈✱ t❤❡ ❧✐♥❡❛r s②st❡♠ ˙x = A · x, x(t0) = x0, x ∈ Rn, A ∈ Rn×n. ✭✶✳✻✮ ✐s st❛❜❧❡ ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ s②♠♠❡tr✐❝ ♠❛tr✐① P > 0✿ AT_{P + P A < 0✳} ❚❤✐s ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❢❡❛s✐❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ▲▼■✿ −P 0 0 AT_{P + P A}  < 0. ✭✶✳✼✮

✽ ❈❤❛♣t❡r ✶✳ ❇❛❝❦❣r♦✉♥❞ ♦♥ ❝♦♥tr♦❧ t❤❡♦r② ❛♥❞ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ • ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠✿ ❧❡t ✉s ❞❡✜♥❡ t❤❡ s❡t X = {x|F (x) < 0}✱ ❛♥❞ t❤❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ❢✉♥❝✲ t✐♦♥ f : X → R✳ ❚❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ x t❤❛t s❛t✐s✜❡s Vopt = inf x∈X f (x) ✭✶✳✽✮ ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛♥ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✇✐t❤ ❛♥ ▲▼■ ❝♦♥str❛✐♥t✳ ❆ ❣♦♦❞ ❡①❛♠♣❧❡ ♦❢ s✉❝❤ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s t❤❡ H∞ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ✉♥❞❡r ▲▼■ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❛s ✐t ✇✐❧❧ ❜❡ ❡①♣❧❛✐♥❡❞ ❧❛t❡r✳ ✶✳✷✳✹ ❙♦♠❡ ✉s❡❢✉❧ t♦♦❧s r❡❧❛t❡❞ t♦ ▲▼■ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥ ❚❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♠❡t❤♦❞s ❛r❡ ✉s❡❢✉❧ t♦ ❝♦♥✈❡rt ❛ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✭❢♦r st❛❜✐❧✐t② ♦r ❝♦♥tr♦❧❧❡r ❞❡s✐❣♥✮ ✐♥t♦ ❛ ❝♦♥✈❡① ❧✐♥❡❛r ♦♥❡✳ • ❙❝❤✉r✬s ❧❡♠♠❛✿ t❤❡ ▲▼■  Q(x) S(x) S(x)T _R(x)  < 0 ✭✶✳✾✮ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦  Q(x) < 0 R(x) − S(x)T_Q(x)−1_{S(x) < 0,} ✭✶✳✶✵✮ ❛♥❞ t♦  R(x) < 0 Q(x) − S(x)TR(x)−1S(x) < 0. ✭✶✳✶✶✮ ❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ❛♥❞ t❤✐r❞ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✭✶✳✶✵✮ ❛♥❞ ✭✶✳✶✶✮ ❛r❡ ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r ❝♦♥str❛✐♥ts ✐♥ x✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡ ✜rst ▲▼■ ✭✶✳✾✮ ✐s ❧✐♥❡❛r✳ ❚❤✉s✱ ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ r❡❢♦r♠✉❧❛t❡ ❡✐t❤❡r ♦❢ t❤❡ ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r ♠❛tr✐① ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✭◆▲▼■s✮ ✭✶✳✶✵✮ ♦r ✭✶✳✶✶✮ ✐♥t♦ ❛ ❧✐♥❡❛r ♦♥❡ ✐♥ t❤❡ ❢♦r♠ ✭✶✳✾✮✳ ❇❡s✐❞❡s✱ ◆▲▼■s ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ ✭✶✳✶✵✮ ❛♥❞ ✭✶✳✶✶✮ ❞❡✜♥❡ ❝♦♥✈❡① ❝♦♥str❛✐♥ts ♦♥ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ x ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ t❤❛t t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ s❡t ♦❢ t❤❡s❡ ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ✐s ❝♦♥✈❡①✳ • Pr♦❥❡❝t✐♦♥ ❧❡♠♠❛✿ ❢♦r ❛r❜✐tr❛r② ♠❛tr✐❝❡s A, B ❛♥❞ s②♠♠❡tr✐❝ P ✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ▲▼■ ATXB + BTXTA + P < 0 ❤❛s ❛ s♦❧✉t✐♦♥ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ Ax = 0 or Bx = 0 ⇒ xTP x < 0 or x = 0. ✇❤✐❝❤ ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ AT_⊥P A⊥< 0 and B⊥TP B⊥ < 0. ✇❤❡r❡ A⊥ ❛♥❞ B⊥ ❛r❡ ❛r❜✐tr❛r② ♠❛tr✐❝❡s ✇❤♦s❡ ❝♦❧✉♠♥s ❢♦r♠ ❛ ❜❛s✐s ♦❢ ker(A) ❛♥❞ ker(B) r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✳ ❆s ✐t ✐s ♠❡♥t✐♦♥❡❞ ❜❡❢♦r❡✱ t❤❡ ✐ss✉❡s r❡❧❛t❡❞ t♦ ▲▼■s ❛r❡ q✉✐t❡ ❝♦♠♠♦♥✳ ❋♦r ❢✉rt❤❡r ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛ ❞❡t❛✐❧❡❞ s✉r✈❡② ♦♥ ▲▼■ t❤❡♦r② ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ✐♥ ❬✾✱ ✶✵❪✳

✶✳✸✳ ❙✐❣♥❛❧ ❛♥❞ s②st❡♠ ♥♦r♠s ✾

✶✳✸ ❙✐❣♥❛❧ ❛♥❞ s②st❡♠ ♥♦r♠s

✶✳✸✳✶ ▲❚■ s②st❡♠ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ▲✐♥❡❛r t✐♠❡ ✐♥✈❛r✐❛♥t ✭▲❚■✮ s②st❡♠ ✐s r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❣❡♥❡r❛❧❧② ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❞②♥❛♠✐❝ ❞✐✛❡r✲ ❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭st❛t❡ s♣❛❝❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✮✿ X LT I :  ˙x = Ax(t) + Bω(t) z = Cx(t) + Dω(t) , ✭✶✳✶✷✮ ✇❤❡r❡ x(t) ∈ Rn _{✐s t❤❡ st❛t❡ ✈❡❝t♦r✱ ω(t) ∈ R}r _{✐s t❤❡ ✐♥♣✉t ✈❡❝t♦r✱ z(t) ∈ R}q _{✐s t❤❡ ♦✉t♣✉t} ✈❡❝t♦r✳ A ∈ Rn×n_{✱ B ∈ R}n×r_{✱ C ∈ R}q×n _{❛♥❞ D ∈ R}q×r _{❛r❡ t❤❡ s②st❡♠ ♠❛tr✐❝❡s✳} ✶✳✸✳✷ ❱❡❝t♦r ♥♦r♠s ●✐✈❡♥ ❛ ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡ X ♦❢ n ❞✐♠❡♥s✐♦♥s✱ t❤❡ ♣✲♥♦r♠ ♦❢ ✈❡❝t♦r x ∈ X ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s✿ kxk_p = n X i=1 |xi|p !1_p , ∀p ∈ [1, +∞]. ✭✶✳✶✸✮ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❝❛s❡ ♦❢ p ∈ {1, 2, ∞}✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ✇❡❧❧ ❦♥♦✇♥ ✈❡❝t♦r ♥♦r♠s ❝❛♥ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞✿ p = 1 → kxk₁ = n X i=1 |xi| p = 2 → kxk₂= n X i=1 |xi|2 !1₂ p = ∞ → kxk_∞= max 1≤i≤n|xi| ✶✳✸✳✸ ❙✐❣♥❛❧ ♥♦r♠s ❆ss✉♠✐♥❣ x(t) ✐s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡① s♣❛❝❡ ✇❤❡r❡ x(t) ∈ C✱ t❤❡ s✐❣♥❛❧ ♥♦r♠s ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿ • ❚❤❡ ✶✲♥♦r♠ ♦❢ x(t) ✐s✿ kx(t)k₁= +∞ Z 0 |x(t)| dt

✶✵ ❈❤❛♣t❡r ✶✳ ❇❛❝❦❣r♦✉♥❞ ♦♥ ❝♦♥tr♦❧ t❤❡♦r② ❛♥❞ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ • ❚❤❡ ✷✲♥♦r♠ ♦❢ x(t) ✐s✿ kx(t)k₂ = v u u u t +∞ Z 0 x∗_{(t)x(t) dt} ✇❤❡r❡ x∗_{(t) ✐s t❤❡ ❝♦♥❥✉❣❛t❡ ♦❢ t❤❡ s✐❣♥❛❧ x(t)✳ ❚❤✐s ✐s ❛♥ ✐♠♣♦rt❛♥t ♥♦r♠ s✐♥❝❡ ✐t} ✐♥❞✐❝❛t❡s t❤❡ s✐❣♥❛❧ ♣♦✇❡r✳ • ❚❤❡ ∞✲♥♦r♠ ♦❢ x(t) ✐s✿ kx(t)k_∞= sup t |x(t)| ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧② ✐♥ ▲❛♣❧❛❝❡ s♣❛❝❡✱ kXk_∞= sup Re(s)>0 kX(s)k = sup ω kX(jω)k ✶✳✸✳✹ H∞/H2 s②st❡♠ ♥♦r♠s • H2 ♥♦r♠✿ t❤❡ H2♥♦r♠ ♦❢ ❛ str✐❝t❧② ♣r♦♣❡r ▲❚■ s②st❡♠ ✭✶✳✶✷✮ ✭✇✐t❤ ♠❛tr✐① D = 0✮ ❢r♦♠ ✐♥♣✉t ω(t) t♦ ♦✉t♣✉t z(t) ✐s t❤❡ ❡♥❡r❣② ♦❢ t❤❡ ✐♠♣✉❧s❡ ✐♥♣✉t ✭g(t) = z(t) ω(t) : ω(t) = δ(t) ✇❤❡r❡ δ(t) ✐s t❤❡ ❉✐r❛❝ s✐❣♥❛❧✮ ❞❡✜♥❡❞ ❛s✿ kG(ωj)k₂= v u u u t +∞ Z −∞ g∗_{(t)g(t)dt =} v u u u t 1 2π +∞ Z −∞ T r[G∗_{(jω)G(jω)]dω ✭✶✳✶✹✮} ❚❤❡ H2 ✐s ✜♥✐t❡ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ t❤❡ s②st❡♠ ✐s str✐❝t❧② ♣r♦♣❡r ❛♥❞ st❛❜❧❡✱ ✐✳❡✳✱ G(s) ∈ RH2✳ ✕ ❚❤✐s ♥♦r♠ ❢♦r ❙■❙❖ s②st❡♠s r❡♣r❡s❡♥ts t❤❡ ❛r❡❛ ❧♦❝❛t❡❞ ❜❡❧♦✇ t❤❡ ❇♦❞❡ ❞✐❛❣r❛♠✳ ✕ ❋♦r ▼■▼❖ s②st❡♠s✱ t❤✐s ♥♦r♠ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ✐♠♣✉❧s❡✲t♦✲❡♥❡r❣② ❣❛✐♥ ♦❢ t❤❡ ♦✉t♣✉t z(t)✳ ✕ ❚❤❡ H2 ♥♦r♠ ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ❡✐t❤❡r ❛♥❛❧②t✐❝❛❧❧② ✭✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❝♦♥tr♦❧❧❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ ♦❜s❡r✈❛❜✐❧✐t② ❣r❛♠♠✐❛♥s✮✱ ♦r ♥✉♠❡r✐❝❛❧❧② ✉s✐♥❣ ▲▼■s✳ • H∞ ♥♦r♠✿ t❤❡ H∞ ♥♦r♠ ♦❢ ❛ ♣r♦♣❡r ▲❚■ s②st❡♠ ✭✶✳✶✷✮ ❢r♦♠ ✐♥♣✉t ω(t) t♦ ♦✉t♣✉t z(t)✱ ✐s t❤❡ ❡♥❡r❣②✲t♦✲❡♥❡r❣② ❣❛✐♥ ✇❤✐❝❤ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s✿ kG(ωj)k_∞= sup ω∈R ¯ σ(G(jω)) = sup ω(t)6=0 kzk₂ kωk₂ ✭✶✳✶✺✮ ✇❤❡r❡ ¯σ ✐s t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ s✐♥❣✉❧❛r ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐① G(jω)✳ ✕ ❚❤❡ H∞ ❢♦r ❙■❙❖ ✭r❡s♣ ▼■▼❖✮ s②st❡♠s ✐s t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ♣❡❛❦ ♦❢ t❤❡ ❇♦❞❡ ♣❧♦t ✭r❡s♣ ♦❢ t❤❡ s✐♥❣✉❧❛r ✈❛❧✉❡ ♣❧♦t ✈❡rs✉s t❤❡ ❢r❡q✉❡♥❝② r❛♥❣❡✮✱ ✇❤✐❝❤ r❡♣r❡s❡♥ts t❤❡ ❧❛r❣❡st ❣❛✐♥ ♦r ❛♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✐♥♣✉t s✐❣♥❛❧✳ ✕ ❉✐✛❡r❡♥t ❢r♦♠ H2✱ H∞✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ♦♥❧② t❤r♦✉❣❤ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ s♦❧✉t✐♦♥ ✭▲▼■ r❡s♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✮✳

✶✳✹✳ LP V/H∞ ❝♦♥tr♦❧ ✶✶

✶✳✹ LP V/H

∞

❝♦♥tr♦❧

▲✐♥❡❛r P❛r❛♠❡t❡r ❱❛r②✐♥❣ ✭▲P❱✮ ✐s ❛ ♣♦✇❡r❢✉❧ t♦♦❧ ✉s❡❞ ✐♥ ♠♦❞❡❧✐♥❣ ❛♥❞ ❝♦♥tr♦❧ ♦❢ ❛ ❧❛r❣❡ ❝❧❛ss ♦❢ s②st❡♠s✳ ❱❡♥♥ ❞✐❛❣r❛♠ ❛♣♣❡❛r✐♥❣ ✐♥ ❋✐❣✳✶✳✶ ❬✶✹❪ s❤♦✇s t❤❡ ✐♠♣♦rt❛♥❝❡ ♦❢ ▲P❱ s②st❡♠s ❛s ❛ ❜r✐❞❣❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ♥♦♥✲❧✐♥❡❛r ❛♥❞ ✇❡❧❧ ❦♥♦✇♥ ▲❚■ s②st❡♠s✳ ❚❤❡ t❤❡♦r② ♦❢ ▲P❱ s②st❡♠s ♦✛❡rs ❣r❡❛t ❛❞✈❛♥t❛❣❡s ✐♥ t❡r♠ ♦❢ r♦❜✉st st❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ ♣❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❣❛✐♥✲ s❝❤❡❞✉❧❡❞ ❝♦♥tr♦❧ ✭✐♥t❡r♣♦❧❛t✐♦♥ ♦❢ ▲❚■ ❝♦♥tr♦❧❧❡rs✮✳ ▲P❱ s②st❡♠s ❛r❡ ♠♦r❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡ ❢♦r r❡❛❧ s②st❡♠s t❛❦✐♥❣ ✐♥t♦ ❝♦♥s✐❞❡r❛t✐♦♥ ♠♦r❡ ❞②♥❛♠✐❝s ❛♥❞ ♠♦r❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦♥ s❝❤❡❞✉❧✐♥❣ ♣❛r❛♠❡t❡rs ✭✐✳❡✳ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡rs ❜♦✉♥❞s ❛♥❞ r❛t❡ ❜♦✉♥❞s ✐❢ ❡①✐st✮ ❬✶✺❪✳ ❇❡s✐❞❡s✱ ▲P❱ ❝♦♥tr♦❧❧❡r s②♥t❤❡s✐s r❡s✉❧ts ❛r❡ ❛✉t♦♠❛t✐❝❛❧❧② ❣❛✐♥✲s❝❤❡❞✉❧❡❞ ✇✐t❤♦✉t ❛♥② ♥❡❡❞ ❢♦r ❡①tr❛ ♠❡t❤♦❞s ❛s ✐♥ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ♠❡t❤♦❞♦❧♦❣② ❬✶✻❪✳ ✶✳✹✳✶ ▲P❱ s②st❡♠ ❆♥ ▲P❱ s②st❡♠ ❝❛♥ ❜❡ ❢♦r♠✉❧❛t❡❞ ❜② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ st❛t❡✲s♣❛❝❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✿ X LP V :  ˙x(t) = A(ρ)x(t) + B(ρ)ω(t) z(t) = C(ρ)x(t) + D(ρ)ω(t) , ✭✶✳✶✻✮ ✇❤❡r❡ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐❝❡s A(ρ)✱ B(ρ)✱ C(ρ)✱ ♦r D(ρ) ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r ✈❡❝t♦r ρ = [ρ1, . . . , ρN]T ∈ RN✳ ❙②st❡♠s ✐♥ ✶✳✶✻ ❛r❡ t❤❡♥ ❝❧❛ss✐✜❡❞ ✐♥t♦ ❢♦✉r ❞✐✛❡r❡♥t t②♣❡s ❬✶✵❪✿ • ✐❢ ρ(.) = ρ = ct ✐s ❛ ❝♦♥st❛♥t ✈❛❧✉❡✱ t❤❡♥ t❤❡ s②st❡♠ ✶✳✶✻ ✐s ❛ ▲✐♥❡❛r ❚✐♠❡ ■♥✈❛r✐❛♥t ✭▲❚■✮ s②st❡♠❀ • ✐❢ ρ(.) = ρ(t)✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ t✐♠❡ ❞❡♣❡♥❞❡❞ ✐s ❡①♣❧✐❝✐t✱ t❤❡♥ t❤❡ s②st❡♠ ✶✳✶✻ ✐s ❛ ▲✐♥❡❛r ❚✐♠❡ ❱❛r✐❛♥t ✭▲❚❱✮ s②st❡♠❀ • ✐❢ ρ(.) = θ(t) ✇✐t❤ θ(t) ❜❡✐♥❣ ❛♥ ❡①t❡r♥❛❧ ♣❛r❛♠❡t❡r✱ t❤❡♥ t❤❡ s②st❡♠ ✶✳✶✻ ✐s ❛♥ ▲P❱ s②st❡♠❀ • ✐❢ ρ(.) = ρ(x(t)) ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ st❛t❡ ✈❡❝t♦r✱ t❤❡♥ t❤❡ s②st❡♠ ✶✳✶✻ ✐s ❛ q✉❛s✐✲▲✐♥❡❛r P❛r❛♠❡t❡r ❱❛r②✐♥❣ ✭q▲P❱✮ s②st❡♠✳ ❆♥ ✐♠♣♦rt❛♥t r❡♠❛r❦✿ ■♥ ❝♦♥tr♦❧ ❞❡s✐❣♥ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r ✈❡❝t♦r (ρ(t) ∈ RN_{) ✐s ❛ss✉♠❡❞ t♦ ❜❡ ♠❡❛s✉r❡❞ ✭♦r ❡st✐✲} ♠❛t❡❞✮ ❛♥❞ ❜♦✉♥❞❡❞ ✭ρ ∈ P✮ ❢♦r ❛❧❧ t✐♠❡ ✐♥st❛♥❝❡s✳ ρ(t) ✐s ❞❡♥♦t❡❞ ❛s ρ ✐♥ t❤❡ s❡q✉❡❧ ❢♦r s❛❦❡ ♦❢ s✐♠♣❧✐❝✐t②✳ ■♥❞❡❡❞✱ s②st❡♠ ✐♥ ✶✳✶✻ ❝❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜②✿ S(ρ) =A(ρ) B(ρ) C(ρ) D(ρ)  ✭✶✳✶✼✮ ❇❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ♠❛tr✐❝❡s ♦♥ t❤❡ s❝❤❡❞✉❧✐♥❣ ♣❛r❛♠❡t❡rs✱ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ✐♥ t❤❡ s❡q✉❡❧ t✇♦ t②♣❡s ♦❢ ▲P❱ s②st❡♠s✿ ❛✣♥❡ ❛♥❞ ♣♦❧②t♦♣✐❝ s②st❡♠s✳

✶✷ ❈❤❛♣t❡r ✶✳ ❇❛❝❦❣r♦✉♥❞ ♦♥ ❝♦♥tr♦❧ t❤❡♦r② ❛♥❞ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ • ❆✣♥❡ s②st❡♠s✿ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ ❛❧❧ ♠❛tr✐❝❡s A✱ B✱ C✱ ❛♥❞ D ❛r❡ ❛✣♥❡ r❡❣❛r❞✐♥❣ t❤❡ ♣❛r❛♠❡t❡r ✈❡❝t♦r ρ✿ A(ρ) = A0+PNi=1ρiAi B(ρ) = B0+PN_i=1ρiBi C(ρ) = C0+PN_i=1ρiCi D(ρ) = D0+PN_i=1ρiDi , ✭✶✳✶✽✮ ✇❤❡r❡ ρi ✐s t❤❡ ith ❡❧❡♠❡♥t ♦❢ ρ✳ Ai✱ Bi✱ Ci✱ Di ❛r❡ ❝♦♥st❛♥ts ♠❛tr✐❝❡s ∀ 0 ≤ i ≤ N✳ • P♦❧②t♦♣✐❝ s②st❡♠s✿ t❤✐s ✐s ❛ s♣❡❝✐❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ ❛✣♥❡ s②st❡♠s ✇❤❡r❡ t❤❡ ♠❛tr✐❝❡s ❛r❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜②✿ A(ρ) =PN i=1ρiAi B(ρ) =PN i=1ρiBi C(ρ) =PN i=1ρiCi D(ρ) =PN i=1ρiDi ✭✶✳✶✾✮ ✇✐t❤ PN i=1ρi = 1 ❛♥❞ ρi≥ 0✳ ❚❤❡ ♣♦❧②t♦♣✐❝ s②st❡♠s ❛r❡ ♦❢ ❛ ❣r❡❛t ✐♥t❡r❡st ✐♥ ❝♦♥tr♦❧❧❡r ❞❡s✐❣♥ ❛♥❞ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥✳ ❆s✱ ✐♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ t❤❡ ▲P❱ s②st❡♠ ✐s ❛ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ♦❢ ❛ ✜♥✐t❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ▲❚■ s②st❡♠s✱ ✐t ❛❧❧♦✇s t♦ s♦❧✈❡ ❛ ✜♥✐t❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ▲▼■ ♣r♦❜❧❡♠s ✭❬✶✼✱ ✶✽✱ ✶✾❪✮ t♦ ✜♥❞ ❛ ❣❧♦❜❛❧ ▲P❱ ❝♦♥tr♦❧❧❡r ✭✇❤✐❝❤ ✐s ❛❧s♦ ❛ ❝♦♥✈❡① ❤✉❧❧ ♦❢ ❛ ✜♥✐t❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❧♦❝❛❧ ▲❚■ ❝♦♥tr♦❧❧❡rs✮✳ ❋✐❣✉r❡ ✶✳✶✿ ❘❡❧❛t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t ❝❧❛ss❡s ♦❢ s②st❡♠s✳ ❘❡♠❛r❦✿ ◆♦t❡ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐st ♦t❤❡r r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s ♦❢ ▲P❱ s②st❡♠s ❛s ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ s②st❡♠s ✭❬✷✵❪✮ ❛♥❞ ▲❋❚ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✭❬✷✶❪✮✳