Création d'ondes dans un plasma à gradient de densité

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Submitted on 1 Jan 1970

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Création d’ondes dans un plasma à gradient de densité

P. Boulanger

To cite this version:

P. Boulanger. Création d’ondes dans un plasma à gradient de densité. Journal de Physique, 1970, 31

(11-12), pp.993-998. �10.1051/jphys:019700031011-12099300�. �jpa-00207013�

CRÉATION D’ONDES DANS UN PLASMA

A GRADIENT DE DENSITÉ

P. BOULANGER

Physics Department. University

^{of Colorado}

(*) (Reçu

^{le 30}

juin 1970)

Résumé. ²⁰¹⁴ La

génération

^d’ondes

électromagnétiques

transverses par ^une onde

acoustique longitudinale frappant

^un

gradient

de densité dans un

plasma,

^ainsi que la création d’ondes

longi-

tudinales _par une onde

électromagnétique,

^sont examinées dans le cas où l’échelle

caractéristique

de variation

spatiale

de la densité

électronique

^est

petite

devant les

longueurs

d’ondes des vibra- tions considérées. Le

couplage

^{entre les}

ondes,

^de part ^et d’autre du

gradient

^de

densité,

^{est calculé}

par les conditions de _passage sur le

champs électriques, magnétiques

^{de la}

pression cinétique

^de

l’onde.

Abstract. ²⁰¹⁴ The

generation

^of transverse

electromagnetic

^waves

by

^a

longitudinal

^acoustical

wave

impinging

^{on a}

plasma density gradient,

^{as well as} the creation of

longitudinal

^waves

by

^an

electromagnetic

wave, ^are examined when the characteristic

length

of the electronic

density

^varia- tion is small

compared

^{with the}

wavelengths

of the vibrations considered.

Coupling

^{between waves}

on both sides of the

density gradient

is calculated

using boundary

^{condition on the} electric, magne- tic fields and kinetic pressure of the ^wave.

Introduction. ^- Dans un

plasma, quand

^{une onde}

longitudinale (ou acoustique) frappe

^un

gradient

^de

densité,

^les

trajectoires électroniques

^{sont courbées à}

l’intérieur du

gradient

^ce

qui

^{crée un}

champ magnéti-

que

correspondant

^{à une onde}

électromagnétique

transverse à la même

fréquence.

Réciproquement quand

^{une onde} transverse arrive

sur un

gradient

^de

densité,

^{une onde}

longitudinale

est

générée.

Le

problème

^est intéressant en

astrophysique : lorsque

^{des électrons}

rapides pénétrent

^{dans la cou-}

ronne

solaire,

ils créent des ondes

longitudinales

par effet Cerenkov inverse et ces ondes

acoustiques géné-

rent à leur tour des ondes

électromagnétiques

^{dans les}

gradients

de densité

(Field [1 ]).

^En

^physique

^{du solide}

la

génération

^d’ondes

longitudinales explique

^certaines

propriétés optiques

des métaux

(absorption

^{à la}

fréquence

^de

plasmas) (Ferrell [2]).

Près d’interfaces

métalliques

^ou dans les fortes ondes de choc dans les

plasmas,

^le

gradient

^{de densité}

varie sur une

longueur caractéristique

^bien inférieure à

une

longueur

^d’onde

longitudinale

^ou transverse. Cette

longueur caractéristique

^{est souvent de} l’ordre de

grandeur

^d’une

longueur

^de

Debye.

^{Si nous désirons}

avoir une onde

longitudinale

^{non atténuée dans le}

plasma

^la

longueur

d’onde doit être

supérieure

^{à la}

longueur

^de

Debye (condition

pour que l’amortisse- ment de Landau soit

faible)

^et par

conséquent supé-

(*) ^Adresse actuelle : Centre de recherches en Physique ^des

Plasmas Lausanne, ^Suisse.

rieure à la

longueur caractéristique

^{de variation de}

densité. La

longueur

^d’onde

électromagnétique

^{à la}

même

fréquence

^{est encore}

supérieure d’après

^la

formule :

où

^{est la}

longueur

^d’onde de la vibration transverse,

ÂL

^la

longueur

^{d’onde de la vibration}

longitudinale,

C la vitesse de la

lumière

dans le vide _{et vo} la vitesse

d’agitation thermique

des électrons

(j MV2

⁼

KT).

Pour calculer l’onde transverse créée par ^une onde

longitudinale

traversant le

gradient

de densité ou

l’onde

longitudinale

^induite par ^une onde transverse

on ne

peut

^utiliser

l’approximation

W. K. B. de

l’optique géométrique

^{et nous} utiliserons des condi- tions de passage ^sur les

champs électriques

^et

magné- tiques

ainsi que ^sur le tenseur de

pression.

^{Pour une}

bibliographie complète,

voir les références Tidman

[3]

ou

Boulanger [4].

I. Formulation du

problème.

^- Nous utiliserons

l’équation

^{de Vlasov} pour décrire la

dynamique

^des

électrons :

8 et B sont les

champs auto-consistants,

^reliés par les

équations

^de

^Maxwell,

^{à la densité}

électronique

F dans

l’espace

^des

phases. L’équation

^{de Vlasov est}

linéarisée autour de la

configuration d’équilibre

^en

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019700031011-12099300

994

présence

^d’un

champ électrique

^{dû au}

gradient

^de

densité :

Le suffixe 0 dénote l’état

d’équilibre.

En

remplacement

^dans

l’équation (2)

^{et en}

supposant f « fo (approximation

^{de faible}

amplitude)

^la

partie statique

^de

l’équation

de Vlasov n’est que faiblement

perturbée

^{et la}

configuration d’équilibre

^{est donnée}

par :

En l’absence de

champ magnétique extérieur, Eo

^dérive

d’un

potentiel

^scalaire

⁰

et la solution

statique

^{est :}

Au

premier

^ordre

l’équation

donnant la

perturbation

f s’écrit :

et, si ^l’on considère des

perturbations harmoniques

de la forme

exp[- iwt], (8)

^{devient :}

Nous n’essaierons _{pas, dans} cette

étude,

de résoudre directement

l’équation

de Vlasov à l’intérieur _{du gra-} dient de

densité,

^car

l’approximation habituelle, qui

consiste à

négliger

^{les moments, de la fonction de}

distribution f _par

rapport

à la vitesse v, d’ordre

supé-

rieur à

deux,

^ne

s’applique plus.

^{Pour le montrer}

multiplions

par v"

l’équation

^de Vlasov linéarisée.

Après intégration

^dans

l’espace

^{des vitesses on obtient :}

Négliger

^{les moments}

supérieurs

^{à un certain ordre}

n’est correct que si le second ^terme de

l’équation (10)

est

petit

par

rapport

^au

premier

^{terme. Si L est l’échelle}

caractéristique

de variation

spatiale

^de la densité

électronique,

^le

rapport

^{des deux termes est de l’ordre} de

kVo/w.Â/L,

^{où k = 2}

7r/Â

^{et  est la}

longueur

^d’onde

de la

perturbation. kvolco

^est

petit

^{mais comme}

L

Â,

^{les deux} termes sont

comparables

^{et la méthode}

classique

^{des moments ne}

s’applique

^{pas à} l’intérieur de la transition.

Pour tourner cette

difficulté,

^{nous résoudrons}

l’équation

de Vlasov de

chaque

^{côté du}

gradient

^de

densité et

couplerons

les solutions _par des conditions de passage. ^Pour la réflection et la réfraction de la lumière sur l’interface

séparant

^deux

diélectriques

^les

conditions de _passage sont données _par les

équations

de Maxwell. Dans un

plasma

^{des ondes}

longitudinales

peuvent

coexister à côté des ondes transverses. Une onde

longitudinale

^{arrivant sur une variation de}

densité crée une onde

longitudinale transmise,

^une

onde

longitudinale réfléchie,

^{une onde transverse} réfléchie et une onde transverse transmise. De même

une onde transverse incidente crée en

plus

^{des ondes}

transverses transmises et

réfléchies,

^{deux ondes}

longi-

tudinales. Nous ^avons dans

chaque

^{cas deux inconnues}

et il faut deux conditions de passage ^en

plus

^{de celles}

obtenues avec les

équations

de Maxwell. Par

analogie

avec la réflection et la transmission des ondes sonores sur une variation de densité nous considérerons des conditions aux limites sur la

pression.

II. Calcul des moments dans un

plasma homogène. -

Les différents moments sont calculés en dehors du

gradient

^{de densité}

(Eo

⁼

0)

^pour des ondes

planes

de la forme

exp[ -

^{iwt +}

ik.r].

^{On a :}

En

posant

et

Z(ç)

^{étant la} transformée de Hilbert d’une gaus-

sienne,

on obtient aisément _{pour le} courant :

ce

qui donne,

pour ^une onde

longitudinale,

^{en utili-}

sant la relation de

dispersion

et pour ^une onde transverse :

Le tenseur de

pression

^{s’obtient aisément}

En

prenant

^{le vecteur d’onde k le}

long

^{de Ox on a :}

Seule une onde

longitudinale

contribue à

Pxx.

^{En utili-}

sant la relation de

dispersion,

^{et dans}

l’approximation

des

grandes longueurs

^d’onde

(amortissement

^Landau

négligé)

^{on obtient :}

avec

Cette dernière relation

peut

être obtenue si on suppose que le passage d’une onde provoque ^une

compression adiabatique

unidimensionnelle dans le

plasma.

^P

est alors

proportionnel à nb

^et y ^{= n} +

2/n

^{= 3}

(n

^{nombre de}

degrés

^de

liberté).

^{Toutefois il faut sou-}

ligner

que le ^tenseur de

pression

n’est pas

isotrope

^et

que la relation

(11)

^n’est

^valable

que dans la direction de

propagation

de l’onde. Les autres termes

diago-

naux sont :

Une onde transverse

n’apporte

^aucune contribution à la

diagonale

^{du tenseur de}

pression,

^{et en}

^revanche,

crée les termes non

diagonaux.

Dans

l’approximation

^des

grandes longueurs d’onde,

le tenseur de

pression

^{s’écrit :}

Dans le cas

général, lorsque k

^{n’est pas le}

long

^de

l’axe

Ox,

^{P se} transforme par rotation

d’après :

où R est la matrice de rotation ramenant k le

long

^de

Ox. On

pourrait,

suivant la même

méthode,

calculer le flux de chaleur et les moments d’ordre

plus

^élevé.

Les calculs

jusqu’au

^{moment du} troisième ordre ont été faits _par

Quemada [5].

III. Conditions de _passage. ^- Nous devons relier les

champs

^de

chaque

^{côté du}

gradient

^{de densité.}

Nous supposons ^ce

gradient

unidimensionnelle le

long

^de l’axe Ox. Nous ^ne considérerons que des ondes transverses de

polarisation

^{«p »,} c’est-à-dire dont le

champ magnétique

^est

perpendiculaire

^au

gradient

de densité. Ceci ^est le seul cas intéressant

car la

polarisation

^{« s » n’est pas}

couplée

^{aux ondes}

longitudinales [4].

^Le

champ électrique

^{a des} compo- santes

Ex

^et

Ez

^seulement.

a. CONTINUITÉ DU CHAMP

MAGNÉTIQUE.

^- Utili-

sant la loi

d’Ampère,

nous avons :

Pour une onde transverse on

prendra

^{la constante}

diélectrique

^{du milieu}

égale

^{à e = 1 -}

(C02/(02) .

^En

intégrant l’équation (15)

^{entre -}

L/2

^{et +}

L/2,

^{et en}

dénotant _par les indices

1,2

la valeur des

champs

pour ^{x =} +

L/2

^{on obtient :}

FIG. 1. ^- Variation de densité électronique

où

l1E[ - L/2,

⁺

L/2].

^{Comme a reste fini} pour

xE[- L/2,

⁺

L/2]

^on

peut

^{écrire :}

Avec la loi de

Faraday

^{nous avons :}

où

kT

^{est le vecteur d’onde}

correspondant

^{à l’onde}

transverse :

996

Nous

négligerons

^les

quantités

de l’ordre de

L/ÂT

^ce

qui

revient à supposer

By

^{continu à travers la varia-}

tion de densité.

Considérons maintenant

l’équation (16). Suppo-

sons une

charge J

^{sur la}

frontière,

pour

L’équation

de continuité s’écrit alors :

et avec

l’équation

^{de Poisson :}

Il s’ensuit _que

DBYIêz

^{est continu à travers le}

^gradient

de densité. En

prenant

^une

dépendance

^en

exp(ikz z)

pour toute

quantité, kz,

^la

composante tangentielle

du vecteur d’onde est continue. A

L/;" près,

^{on obtient}

ainsi les mêmes conditions _que celles donnant les

équations

de Fresnel

classiques. Toutefois, Jx - iroDx

continu à travers le

gradient

de densité ne

signifie

pas que

chaque

^{terme le}

soit,

^ce

qui

^sont les condi- tions

prisent

par Field

[1],

Fedorchenko

[6]

^et

Melnick

[7].

Prendre J et D continus revient à

négliger

l’existence de

charge superficielle

^{due aux}

ondes dans le

gradient

^{de densité ce}

qui

^{est inexact.}

L’existence de

charges superficielles

^{a été reconnue} par Kritz

[8]

^{et Tidman}

[3].

On

peut

^{montrer en} utilisant la loi de

Faraday :

que Ez

^{est continu à travers le}

gradient,

^à

L/ À près.

b. CONDITIONS DE PASSAGE POUR LA PRESSION. - Nous devons obtenir deux conditions

supplémentaires qui

seront déterminées comme en

hydrodynamique

par les conditions de passage ^sur la

pression.

^{La condi-}

tion

habituelle, pression

^normale continue à travers la

frontière,

^n’est

plus

^{valable ici à cause du}

champ électrique Eo statique qui

^{influence le mouvement des}

électrons à la frontière. Pour calculer les conditions de _passage sur

Pxx

^nous considérons

l’équation

^de

Vlasov

(8) multipliée

par - evx ^et

intégrée

^dans

l’espace

^{des vitesses.}

En

négligeant

^{les termes en}

LIÂ

^{on obtient}

après

^inté-

gration

^{sur x dans} l’intervalle

[- L/2,

⁺

L/2]

Avec

et

négligeant

^{le terme}

oBy/ oz ^qui

^{est continu à travers}

le

gradient

^de

densité,

^on

obtient ;

En utilisant

l’équation

^{de Poisson :}

on obtient

après intégration

par

partie :

Ni

étant la densité

ionique. coi 2

⁼

N; e2/mBo,

^{, nous}

avons :

et

Ex

^{étant continu à travers x =}

^0,

^{on obtient :}

Pour

négliger

^le

premier

^terme dans le membre de

droite,

^nous supposerons que les ondes

longitudinales

se

propagent

^{à travers le}

gradient

de densité sans

être

trop

^{atténuées ce}

qui implique

^la condition :

en tout

point xE[- L/2,

⁺

L/2].

^On

peut

alors utiliser

l’expression

pour les

grandes longueurs

^{d’onde :}

Pour

17E[ - L/2,

⁺

L/2]

^{on a alors :}

et le dernier terme dans le crochet

peut

^être

négligé

étant d’ordre

L/AL.

^{Il est}

important

^de

souligner

^que

cette

approximation

^n’est valable que dans la ^mesure où l’on

peut appliquer (18)

c’est-à-dire

négliger

^l’amor-

tissement de Landau en tout

point

^du

gradient

^de

densité. La variation totale de densité ne

peut

^être

trop importante,

^{au maximum}

égale

à la moitié de la densité d’un côté du

gradient.

^La condition :

n’est certainement _pas valable _pour les forts

gradients

de

densité,

^{où les} transitions

plasma-vide,

^{et les condi-}

tions de passage dans ce cas sont à déterminer. La condition

(19)

^est

équivalente

^à celle obtenue par Tidman

[3].

^Notre formalisme

permet

^{de mieux clari-} fier le domaine

d’application

^{de cette formule.}

P,,y

^et

Pxz

^{sont continus comme on}

peut

aisément le vérifier

puisque ayay

⁼

ôolôz

^{= 0.}

En

résumé, kz, E,,, By

^et

P.,y

^et

^Pxz

^{sont continus à}

travers le

gradient

^{de densité.}

Pxx

^{subit un saut donné}

par

(19).

IV. Onde

longitudinale

créée par ^une onde trans-

verse. ^- On considère une onde

électromagnétique

arrivant sur un

gradient

de densité telle _que L «

ÂT

avec une

polarisation

« p ». Le ^vecteur d’onde k est dans le

plan Oz

^{et fait un}

angle 01T

^avec

Ox.

^On

prend Ey=0.

FIG. 2. ^- Réflexion et réfraction d’une onde transverse

La continuité

de kz permet

de calculer les divers

angles

^de

propagation

des ondes vérifiant les lois de Descartes

L’application

de la formule

(13) permet

^{de déterminer} le tenseur de

pression

pour

chaque

^{onde. Les condi-}

tions de _passage s’écrivent :

Continuité de

By :

Continuité de

Ez ;

Continuité de

Pxz :

Saut de

Pxx :

Si l’on connaît le

champ électrique

^incident

E’lT,

on est ramené à ^un

système

^de

quatre équations

^à

quatre

^inconnues dont la résolution

numérique

^doit

être faite sur calculatrice. Comme ^{on a}

(rapport c/vo) d’après

les lois de Descartes les

angles 01L et e2L

^{sont très}

petits

^{et la}

propagation

^{des ondes}

longitudinales

^{induites se} fait presque suivant la normale au

plan x

^{= 0.}

Conclusion. ^- Les

équations

de passage ^entre deux milieux de densité

électronique

différente ont été établies dans le cas où la variation de densité ^a lieu

sur une distance

plus petite

^{que les}

longueurs

^d’onde

considérées. Ces

équations

^{sont valables}

lorsque

^la

variation de densité est au maximum

égale

à la moitié de la densité la

plus

^forte

(la

transition

plasma-vide

reste à

résoudre).

^Ces conditions de passage ^ont été utilisées _pour résoudre la réflection et la transmission d’une onde

électromagnétique

^{sur une variation de}

densité avec création d’ondes

longitudinales.

^{De la}

même

façon

^on

peut

calculer l’onde transverse créée par ^une onde

longitudinale

^incidente

[4].

998

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