REPRESENTATIONS LAGRANGIENNE ET EULERIENNE DE L'ACOUSTIQUE NON LINÉAIRE

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Submitted on 1 Jan 1979

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REPRESENTATIONS LAGRANGIENNE ET

EULERIENNE DE L’ACOUSTIQUE NON LINÉAIRE

B. Poiree

To cite this version:

B. Poiree. REPRESENTATIONS LAGRANGIENNE ET EULERIENNE DE L’ACOUSTIQUE NON LINÉAIRE. Journal de Physique Colloques, 1979, 40 (C8), pp.C8-48-C8-52.

�10.1051/jphyscol:1979810�. �jpa-00219515�

JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque CS, supplément au n°ll, tome 40, novembre 1979, page C8- 48

REPRESENTATIONS LAGRANGIENNE ET EULERIENNE DE L'ACOUSTIQUE NON LINÉAIRE.

B. POIREE

CETHEDEC, 26, boulevard Viotor 75996 PARIS ARMEES

Résumé. - A partir des équations de la mécanique des fluides écrites en variables de Lagrange (resp. en variables d'Euler), nous obtenons par petites perturbations, les équations du second ordre vérifiées par le champ acoustique lagrangien (resp. eulérien) dans le cas suivant : fluide parfait, initialement au repos, illimité, â caractéristiques C", en présence d'une force extérieure.

Après avoir relié champ acoustique lagrangien et champ acoustique eulérien, nous montrons l'équivalence entre les deux représentations en dehors des sources acoustiques.

Abstract. - From the equations of fluid mechanics written in Lagrange variables (resp. Euler va- riables) we get by small perturbations the second order equations for the lagrangian (resp. eule- rian) acoustic field in the following case : perfect fluid, initially at rest, unlimited, endowed with C°° characteristics, in the presence of an external force.

We etablish the correspondence between the lagrangian and eulerian acoustic fields and we deduce the equivalence between the two representations outside the acoustic sources.

1. INTRODUCTION. - Parmi les différentes descrip- tions qui existent pour représenter un écoulement de fluide, les deux plus importantes sont la des- cription lagrangienne et la description eulêrienne.

La description lagrangienne, qui permet de suivre les particules dans leur mouvement, faci- lite l'écriture des propriétés physiques des flui- des et des conditions aux limites sur les surfaces en mouvement. Elle est donc intéressante pour 1'étude de :

- l'acoustique linéaire dans les milieux non ho- mogènes en mouvement,

- l'acoustique non linéaire dans les milieux non homogènes en mouvement ou non.

Les études de l'acoustique en variables de Lagrange sont anciennes : Gai brun 1931 /l/ et Bjerknes et collaborateurs 1934 /2/ les utilisent pour décrire le champ de l'acoustique linéaire à trois dimensions spatiales dans un fluide non ho- mogène en mouvement, en présence de forces exté- rieures*. Blackstock 1962 /3/ et Zoltogorski 1977 /4/ les emploient pour résoudre le problème du pis- ton en acoustique non linéaire à une dimension.

La description eulêrienne est utilisée ac- tuellement dans la presque totalité des études acoustiques à plusieurs dimensions spatiales.

Les équations et les conditions aux limites étant différentes dans les deux représentations,

4le choix de T u n e ou l'autre peut faciliter la re- cherche de la solution suivant le problème posé.

Il est donc important de savoir si les modélisa- tions de l'acoustique en variables de Lagrange et en variables d'Euler sont identiques.

Les équations de l'acoustique, linéaire ou non, en représentation lagrangienne (resp. eulê- rienne) sont obtenues par perturbation des équa- tions de la mécanique des fluides exprimées en va- riables de Lagrange (resp. d'Euler).

Le problème est de vérifier si la transfor- mation qui fait correspondre aux équations de la mécanique des fluides exprimées en variables de Lagrange les équations exprimées en variables d'Euler, fait aussi correspondre les équations de l'acoustique, c'est-à-dire les équations obtenues par perturbations, exprimées dans chacune des re- présentations. Dans le cas favorable nous dirons que les deux représentations de l'acoustique sont équivalentes.

Bjerknes / 2 / et Blackstock /3/ écrivent les équations de l'acoustique, linéaire à trois dimen- sions et non linéaire à une dimension respective- ment, dans les deux représentations, mais ne pas- sent pas de l'une à l'autre.

Nous connaissons des cas d'équivalence entre les deux représentations

- acoustique linéaire en fluide parfait non ho-

* Nous tenons â remercier Monsieur le Professeur BOSQUET, de l'Université Libre de Bruxelles, qui nous a communiqué les références /!/ et /2/ et nous encouragea â poursuivre l'étude de

l'acoustique en variables de Lagrange.

Article published online by EDP Sciences and available at

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1979810

JOURNAL DE PHYSIQUE

mogène au repos.

(La réponse est immédiate en utilisant le for- malisme des différentielles)

-

acoustique non linéaire dans un fluide parfait homogène et au repos (Kline 1966 /5/).

Nous montrons dans ce papier, que les deux représentations de l'acoustique non linéaire au se- cond ordre dans un fluide parfait au repos, à ca- ractéristiques indéfiniment différentiables, en présence de forces extérieures, sont équivalentes.

Le problème des sources acoustiques a été abordé par Kline /5/. Dans ce cas, i l n'y a pas équivalence entre les deux représentations.

Parmi d'autres cas qui restent à étudier, citons :

-

¹ 'acoustique non 1 i néai re aux ordres > 2

-

¹ 'ANL traitée par 1 'équation de Bürgers

-

l'acoustique linéaire on non linéaire dans un fluide en mouvement

-

le dioptre en ANL.

Principales notations.

-

(8,t) les variables de Lagrange

'"" }

les variables d'Euler

(XE,t)

-+ XE(â,t) le mouvement non perturbé ou mouvement d'entratnement

-+ -+

x(a,t) le mouvement perturbé

-+

p la masse volumique, u la vitesse, p la pression

s 1 'entropie spécifique

$ = (p,~,p ,s) 1 e champ de

-

1 a mécanique des fluides

;(à

,t) (resp. :(~,t) et :(nE,t)) le champ de la mécanique des fluides exprimé en variables de Lagrange (resp. d'Euler)

-+

W~ 1 e champ dans 1 'écoulement d'entratnement

i

+

cwA = w

- GE

le champ acoustique lagrangien expr'i- mé en variables de Lagrange

E

-

5 ? 5

E W ~ = w

-

wE le champ acoustique eulérien exprimé en variables d'Euler

k(resp.

ZA)

le déplacement acoustique 1 agrangien exprimé en variables de Lagrange (resp.

d'Euler).

Conventions :

IA = (A. I J .) i ,j=1,2,3

"

= ( B k a ) k , ~ l , 2 , 3

-+ -+

(u @ v)ij = T

ui vj ^{(fi )ij =} Aji

VI$ ou

vcj;

est la valeur de VC en

a.

Hypothèses générales.

-

En variables de Lagrange nous donnerons les équations de l'acoustique non linéaire au second ordre dans un écoulement connu de fluide parfait (non dissipatif) à caractéris- tiques indéfiniment différentiables, en présence d'une force extérieure.

Pour le passage de la représentation lagran- gienne à la représentation eulérienne, nous parti- culariserons à un fluide initialement dans 1 'état de repos, supposé stable et connu, caractérisé par sa distribution de masse volumique po(X), de pres- sion statique po(;) et d'entropie spécifique s0(Z)

La force extérieure sera la seule source du mouvement non perturbé que nous considérerons, les sources de matière et d'entropie étant négligées.

La prise en compte de la force extérieure dans l'équation du mouvement, dans le cas où la pression est non constante, est nécessaire pour montrer, en acoustique linéaire, l'équiva- lence des deux représentations. Enfin, nous suppo- serons que nous sommes en dehors des sources acous- tiques.

Nous ne donnons dans ce texte que les résul- tats, les calculs étant trop longs.

II. LES EQUATIONS DE L'ACOUSTIQUE EN VARIABLES DE LAGRANGE.

-

Nous reprenons les hypothèses de /6/

en ajoutant une force spécifique extérieure

Fi fi)

^{= F~} (à,t) qui ne dépend que du point

il

en lequel se trouve la particule

à

telle que : +

x = ;(a,t).

De_plus, nous supposerons que la force exté- rieure

FE

dans le mouvement d'entraînement est identique à ce1 le qui s'exerce dans le mouvement

B. POIREE

p e r t u r b é au même p o i n t . S o i t

a l o r s :

* -+

FtE($,t) = F(b,t).

Les équations de l ' a c o u s t i q u e en v a r i a b l e s de Lagrange deviennent /6/ :

+ L

où l e s grandeurs _UA

,

PA ^{e t} $ sont d é f i n i e s par

Nous a l l o n s maintenant e x p l i c i t e r ces équa- t i o n s dans l e cas où l e mouvement non p e r t u r b é e s t

+ -+

l e repos pour l e q u e l a E xE e t

Nous supposons que l a p a r t i c u l e a s ' é c a r t e -t

peu de sa p o s i t i o n de repos e t que l e champ p e r t u r - bé e s t v o i s i n du champ non perturbé, de t e l l e s o r t e que 1 'o n puisse u t i l i s e r l e formalisme des dévelop- pements asymptotiques de puissances de E e t é c r i r e :

+ x =

a +

^E P A 1 ) ( i , t ) + ^{€ EA2)($,t)} +

...

1

( t ) = o ( , t ) + { l ( , t ) + d 2 ) ( â , t ) + . . )

;A') + ^E i i 2 ) = a$')/at

+

^E a t A 2 ) / a t

Nous obtenons :

En r e p o r t a n t l e s équations (11.4) à (11.7) dans (11.2) e t (11.1) e t en i d e n t i f i a n t à 1 ' o r d r e E

e t a l ' o r d r e E~

,

nous obtenons :

11.1.

-

Les équations de 1 'acoustique l i n é a i r e , en v a r i a b l e s de Lagrange :

L ' é q u a t i o n (11.8.2) e s t i d e n t i q u e à l ' é q u a - t i o n 50 de Galbrun /1/ p. 66.

JOURNAL DE PHYSIQUE

11.2.

-

Les équations de 1 'acoustique non l i n é a i r e , en v a r i a b l e s de Lagrange :

III. LES EQUATIONS DE L'ACOUSTIQUE, EN VARIABLES D'EULER, DANS UN FLUIDE INITIALEMENT AU REPOS.

11.9

.

E E E

ZA(;,t)

^{= WA t} + ^E G(2) w (x,t) ⁺

+...

E E

$A1) e t $ 1 e t v é r i f i e n t : ' apLA(2) a:f)

-

_{a t} + P o a a a ²

^-

^{L ( l )} PA

^2-

a t ^{(- PA} p, ) -

111.2 ¹ L ( l ) a5 (1)

%Ai Aa

- P O T

T c

= O

1

acA(2) - a p o a

T F

^{I V .} PASSAGE DE LA REPRESENTATION LAGRANGIENNE A LA

L ( 1 ) REPRESENTATION EULERIENNE :

a p A ( l ) a5L1) a b i l ) 36%

A -

^{-+ -+}

' 7

^aaj

T F

1 v . l x = a + ^E

(9.t)

+ c2

i f )

^(d,t)

+...

Le passage Lagrange-Euler pour l e s équations de l ' a c o u s t i q u e l i n é a i r e se f a i t en u t i l i s a n t l e s équations ( I V . l ) à (IV.4) é c r i t e s au premier o r d r e e t l ' é q u a t i o n v é r i f i é e par l e mouvement non p e r t u r - bé (11.3). Le passage Lagrange-Euler pour l e s équa- t i o n s de l ' a c o u s t i q u e non l i n é a i r e se f a i t en u t i - l i s a n t l e s équations ( I V . l ) à (IV.4) é c r i t e s au second ordre, l ' é q u a t i o n (11.3) e t l e s équations de l ' a c o u s t i q u e l i n é a i r e en r e p r é s e n t a t i o n eulé- r i e n n e (111.1).

V. CONCLUSION.

-

Les r e p r é s e n t a t i o n s lagrangienne e t e u l é r i e n n e de l ' a c o u s t i q u e non l i n é a i r e dans un f l u i d e p a r f a i t au repos, à c a r a c t é r i s t i q u e s i n - d é f i n i m e n t d i f f é r e n t i a b l e s , en présence de f o r c e e x t é r i e u r e , sont équivalentes en dehors des sour- ces acoustiques.

B. POIREE

BIBLIOGRAPHIE

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-

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Texte de l ' I n s t i t u t des Télécommunications e t d'Acoustique. U n i v e r s i t é Technique de Wroclaw, POLOGNE, 1977.