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AC. I - REPÉRAGE DU MOUVEMENT
1. Espace et temps d’un observateur
• Certains objets semblent expérimentalement “rigides” (indéformables) ; ces objets peuvent alors servir dʼétalons de longueur.
◊ remarque : l'étalon de 1789 en platine iridié mesurait le 40000000e du méri- dien terrestre (précision relative 10-5) ; depuis 1983, la définition du mètre découle de la célérité de la lumière dans le vide (c = 299 792 458 m.s-1) considérée comme une valeur exacte (précision relative 10-14).
• Le temps nʼest “défini” que de manière très relative : il semble quʼon peut classer des événements dans un ordre dans lequel ils paraissent se produire.
Par ailleurs, il semble exister des phénomènes cycliques se reproduisant
“régulièrement” ; ces phénomènes peuvent alors servir dʼétalons de temps.
◊ remarque : avant 1960, la seconde était définie comme la fraction
!
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24"3600 du jour solaire moyen, mais la rotation de la Terre ralentit (à cause des frotte- ments associés aux marées) ; depuis 1967, la définition se réfère à la période dʼune raie spectrale hyperfine de 133Cs (précision relative 10-14).
2. Notion de point matériel
• On considère comme “point matériel” tout système dont lʼétude se ramène à celle dʼun point (associé ensuite à une masse, dans l'étude dynamique).
Ainsi, dans tout calcul sans rotation ni de déformation, un système complexe peut être décrit par le point matériel quʼest son centre dʼinertie.
◊ remarque : un objet en rotation, même très petit, ne peut pas être traité comme un point matériel si lʼénergie cinétique de rotation sur lui même nʼest pas négligeable (un point ne peut pas avoir de rotation sur lui même).
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3. Notations vectorielles
• Les axes des repères cartésiens portent l'indication du nom des coordonnées et du sens positif (ce ne sont pas des vecteurs).
Les vecteur unitaires sont dési- gnés par le symbole
!
u avec en indice le nom de la coordonnée.
Ces vecteurs sont plutôt repré- sentés à côté du repère, pour ne pas encombrer les schémas.
4. Vitesse et accélération
• La vitesse dʼun point M peut être définie par la dérivée vectorielle :
!
v t
( )
=!
lim
"
t #t
MM "
"
t $t =
!
dOM dt =
!
OM•.
De même en dérivant la vitesse :
!
a t
( )
=!
lim
"
t #t
v
( )
t " $v t( )
"
t $t =
!
dv t
( )
dt =
!
v• =
!
OM••.
☞
remarque : les “points de dérivation”, comme pour!
OM• et
!
OM••, sont réservés pour les dérivations par rapport à la variable temps (t).
• Dans un repère (O,
!
ux,
!
uy,
!
uz) (parfois noté en abrégé Oxyz) :
!
OM = x
!
ux + y
!
uy + z
!
uz ;
!
v = x•
!
ux + y•
!
uy + z•
!
uz ;
!
a = x••
!
ux + y••
!
uy + z••
!
uz .
☞
remarque : lors du calcul des dérivées, on considère ici comme fixes lʼorigine O et les vecteurs de la base (!
ux ,
!
uy,
!
uz ).
& exercices n° I et II.
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5. Coordonnées polaires (dans un plan) 5.1. Description générale
• En coordonnées polaires, on repère M par la norme et la direction de
!
OM. On définit
!
ur unitaire selon r croissant et de même
!
u" selon θ croissant :
!
ur =
!
ur (θ) = cos(θ)
!
ux + sin(θ)
!
uy ;
!
u" =
!
u"(θ) = -sin(θ)
!
ux + cos(θ)
!
uy.
Ainsi :
!
dur
( )
"d" =
!
u" ;
!
du"
( )
"d" = -
!
ur .
• Avec ces notations :
!
OM = r
!
ur peut sembler ne dépendre que de r, mais il dépend de θ par la direction de
!
ur (il faut deux coordonnées dans le plan).
◊ remarque : les coordonnées de
!
OM (r, 0) diffèrent de celles de M (r, θ).
• En dérivant :
!
v = r•
!
ur + r
!
ur• ;
!
ur• =
!
dur
( )
"( )
t dt =!
dur
( )
"d"
!
d"
( )
t dt = θ•
!
u" ;
Ainsi :
!
v = r•
!
ur + r θ•
!
u" ;
!
a = (r•• - rθ•2)
!
ur + (2r•θ• + rθ••)
!
u".
☞
remarque : il sʼagit de!
v et
!
a par rapport à (O,
!
ux ,
!
uy), ré-exprimés sur la base locale (
!
ur,
!
u") (sinon il nʼy aurait pas les termes en θ• et θ••).
◊ remarque : avec la vitesse angulaire algébrique ω = θ• et le vecteur rotation
!
" = ω
!
uz , on obtient :
!
ur• = θ•
!
u" =
!
" #ur et
!
u"• = -θ•
!
ur =
!
" #u$.
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5.2. Mouvement circulaire
• La géométrie du mouvement conduit ici à utiliser des coordonnées polaires.
• Pour un point M sur un cercle de rayon r :
!
OM = r
!
ur et lʼévolution dans le temps est liée à lʼorientation du vecteur
!
ur
( )
"( )
t .• On obtient la vitesse :
!
v = r θ•
!
u" (tangente au cercle) et lʼaccélération :
!
a = - rθ•2
!
ur + rθ••
!
u".
☞
remarque : la composante radiale de l'accélération est non nulle même si le mouvement est “uniforme” : le changement de direction du vecteur vitesse constitue une accélération.◊ remarque : en utilisant le vecteur rotation
!
" = ω
!
uz, on obtient :
!
v =
!
OM• =
!
" #OM (dans la mesure où OM =
!
OM = Cte) ; et de même, si
!
v = r θ• = Cte :
!
a =
!
v• =
!
" # " #
(
OM)
.& exercices n° III et IV.
6. Notion de référentiel
• On appelle “référentiel” un “objet de référence”, considéré comme fixe, par rapport auquel on étudie le mouvement d'autres objets.
Pour décrire les mouvements, on associe au référentiel un repère mathéma- tique (fixe). Le choix d'un autre repère (fixe) pour le même référentiel modifie l'expression mathématique des coordonnées, mais ne modifie pas lʼallure du mouvement constaté par lʼobservateur.
Plus même : le fait de réexprimer sur la base locale mobile (
!
ur,
!
u") la vi-
tesse et l'accélération de M par rapport à un référentiel de repère (O,
!
ux,
!
uy) ne change en rien le référentiel auquel sont associées ces grandeurs.
