DM MATHEMATIQUES BTS2-GO -89 2008-2009 La fonction échelon unité ( notée U (t) ) définie pour tout tsur par : ( ) 0 , 0
( ) 1, 0
t si t
t si t
U U
On se propose de déterminer la fonction f de la variable réelle t, qui vérifie f(0 ) f '(0 ) 0 et qui est solution de l’équation différentielle ( ) :E f t''( ) f t( )e t( ), où te t( ), est une fonction définie par le graphique suivant ;
2 3
-
2
0
x y
1°. Préciser l’expression de e( )t pour tout tdans chacun des intervalles suivants : ] ;0[ ; [0; [ ; [ ; 2 [ et [2 ; [
2°. Montrer que pour tout réel t, e( )t peut s’écrire sous la forme : e( )t tU ( ) 2(t t ) (U t ) (t 2 ) (U t 2 )
3°. Déterminer la transformée de Laplace de la fonction : t e t( )
a. En appliquant la transformée de Laplace aux deux membres de l’équation différentielle ( )E , Déterminer la transformée de Laplace de la fonction t f t( ).
b. Déterminer les constantes réelles a b c et d, , telles que : 2 12 2 2
( 1) 1
a b cp d
p p p p p
.
En déduire 2 12 ( 1) p p
L
où L désigne la transformation réciproque ( L’original )de la transformation de Laplace .c. Déduire des questions précédentes une expression de la fonction t f t( ). 4°.
a. Préciser l’expression de f t( ) pour tout tdans chacun des intervalles suivants : ] ;0[ ; [0; [ ; [ ; 2 [ et [2 ; [
b. Etudier les variations de la fonction f pour tout tsur [ 0 ; 4 ] .
Déterminer les solutions de l’équation f t( ) 0 où tappartient à [ 0 ; 4 ] . c. Représentation graphique de la fonction f pour tout tsur [ 0 ; 4 ] .
Choisir 1 cm pour unité sur l’axe des ordonnées et 3 cm pour sur l’axe des abscisses .
Pour construire sans étude supplémentaire, la représentation graphique demandée, utiliser le tableau suivant qui donne des valeurs approchées de f t( ).
t
3
2
2
3
4
3
3
2
5
3
( )
f t 0,18 0,57 1,23 4,69 4,57 3,64
Solution Dm N°1 1. D’après la définition, le graphique de la fonction te t( )est
( ) 0 0
( ) [0; [
( ) 2 [ ; 2 [
( ) 0 2
e t si t e t t si t e t t si t e t si t
Retrouvons les résultats précédents en donnant les valeurs de tU ( )t ,2(t ) (U t )et (t 2 ) (U t 2 )dans un tableau de valeurs puis en faisant leur somme .
t 0 2
( )
tU t 0 0 t t 2 t
2(t ) (t )
U 0 0 0 0 2(t ) 2 2(t )
(t 2 ) (U t 2 ) 0 0 0 0 0 0 t 2
Somme e( )t 0 0 t t 2 0 0
La représentation graphique de f , l’échelon unité
permet de définir « en une ligne » une fonction « définie par morceaux ».
2°.La fonction e est une combinaison linéaire de trois fonctions .
e( )t tU ( ) 2(t t ) (U t ) (t 2 ) (U t 2 )
2 3
2
-
0
x y
( )
( ) 2( ) ( ) ( 2 ) ( 2 )
( ( )) 2 ( 1) ( )) ( 2 ) ( 2 ))
= ( (
e t t t t t t t
t t t t t t
L L
L L L
U U U
U U U .
On connaît la transformée de Laplace de tU ( )t est 12 (t ( ))t
p
L U , et grâce au théorème de retard,
2 3
-
2
0
x y
On obtient : (( ) ( )) e p2
t t
p
L U et
2
( 2 ) ( 2 )) 2
( e p
t t
p
L U , grâce à la linéarité deL ,
On obtient la transforméeEde e : E p( )=L
e t( )U ( )t
p12 2ep p2 e p22p p12
1 2 e p e 2p
.3°.Cherchons la solution causale f ( nulle pour t0)de l’équation différentielle ( ) :E f t''( ) f t( )e t( ) Avec les conditions initiales données . on note F p( )=L
f t( )U ( )t
.L’image de la dérivée seconde est L
f t"( )U ( )t
p F p2 ( )pf '(0 ) f(0 ) .Grâce à la linéarité de la transformation de Laplace L ,on obtient donc :
2 ( ) '(0 ) (0 ) ( ) ( )
p F p pf f F p E p , soit (p21) ( )F p E p( ) ou encore 2
( ) ( )
1 F p E p
p
Soit F p( ) pE p2( )1 p p2( 121)
1 2 e p e 2p
.b. Décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle . 2 12 ( 1) p p :
2 2 2 3 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( )
( 1) 1 ( 1) ( 1)
a b cp d a p bp p cp d p b c p a d p bp a
p p p p p p p p p
Pour toutpnon nul, l’identification des coefficients du polynôme réduit de la variablepnous donne :
00 1; 1; 0
10
b ca d a d a b c
ba
.d’où le résultat : 2 12 12 21
( 1) 1
p p p p .
2 2
2 2
2 2
1 1
1
( ) 1 1 2 1 2
( 1)
p p p p
p p
F p e e e e
p p
12 21 12 21 12 21 2
1 1 1
( ) 2 p p
p p p p p p
F p e e
.
Utilisons la linéarité de la transformation réciproque de Laplace et le formulaire : 12
( ) t t p
L U et 21
sin ( )
1 t t
p
L U puis en appliquant le théorème de retard
On a : 12
( ) ( )
e p t t
p
L U ; 12 2
( 2 ) ( 2 )
e p t t
p
L U
21
sin( ) ( )
1
e p t t
p
L U ; 21 2
sin( 2 ) ( 2 )
1
e p t t
p
L U .
( ) =
( )
(t) sint (t) 2 ( ) (t ) sin( ) (t )( 2 ) (t 2 ) sin( 2 ) (t 2 )
f t F p t t t
t t
L U U U U
U U
Soit ( ) =
( )
sint (t) 2 ( ) sin( ) ( )( 2 ) sin( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
f t F p t t t t
t t t t
L U U
U U .
4.a. Pour t ] ;0[ on a : U ( )t U (t ) U (t 2 ) 0, donc f t( ) 0 .
Pour t[0; [ on a : U ( ) 1t etU (t ) U (t ) 0, donc f t( ) t sint. Pour t [ ;2 [ on a : U ( ) 1t etU (t ) 1 etU (t 2 ) 0, donc
f t( ) t sint2 (
t ) sin(t )
2 t 3sint.puisque sin(t ) sin( t) sint Pour t [2 ; [ on a : U ( ) 1t etU (t ) 1 etU (t 2 ) 1, doncf t( ) t sint2 (
t ) sin(t )
(t 2 ) sin(t 2 )
4sint, puisque sin(t 2 ) sint.t 0 2 4
( )
f t 0 tsint 2 t 3sint 4sint
'( )
f t 0 1 cost 1 3cost 4cost
t 0 2 5 2
3 7 2
4
'( )
f t 0 + 2 + 0 4 0 + 0 '( )
f t 4
0 4 0 Dans le tableau est le réel de l’intervalle [ ;2 ] solution de 1 3coset f( ) , tel que f( ) 2 3sin.
Les solutions de f t( ) 0 pour t[ 0 ; 4 ] sont
0 ; 2 ;3 ; 4
. t3
2
2
3
4
3
3
2
5
3
11 6
7
3
8
3
17
6
10 3
( )
f t 0,18 0,57 1, 23 4,69 4,57 3,64 2 3, 46 3, 46 2 3, 46
y=f(t)
2/3 4/3 5/3 2 7/3 8/3 3 10/311/3 4 -/3
-2/3
2 3 4 5
-1 -2 -3 -4
0 /3 1
x y
