RECHERCHES CONCERNANT L'ÉCOULEMENT PERMANENT ALIMENTANT UN PUITS GRAVITAIRE

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Recherches

concernant l'écoulement permanent alimentant un puits gravitaire*

P A R HOWÀBD P. HALL

E n g l i s h t e x t , p . S

Se reporter au texte anglais p . 8, pour les illustrations et la bibliographie

Etude au moyen d'essai sur modèle réduit à grande échelle de l'écoulement au voisinage immédiat d'un puits gravitaire atteignant la couche imperméable et présentation des résul- tats obtenus. Examen particulier de l'allure de l'écoulement dans la région où la pente de la surface libre devient si prononcée que les hypo- thèses de Dupuit ne sont plus valables.

Conception et réalisation du modèle, description des essais et des mesures, résultats obtenus.

La méthode de relaxation : modifications ap- portées par YANG à la méthode de SOUTHWELL;

application à différents cas essayés, comparai- son des résultats obtenus avec les résultats expérimentaux. Correspondance satisfaisante dans la mesure où Von tient compte des effets capillaires.

Importance des effets capillaires au voisinage de la paroi du puits.

Présentation d'un ensemble de formules empi- riques permettant de tracer la surface libre dans un plan radial d'un puits donné.

Conclusions : validité de la méthode de relaxa- tion modifiée par YANG pour étudier l'alimen- tation d'un puits gravitaire ; difficulté de la solution qui exige un contrôle soigneux des conditions aux limites près de la surface libre;

déformation de Vécoulement au voisinage de son intersection avec la paroi du puits (par suite des effets capillaires) ; possibilité de tenir compte de ces effets capillaires dans la méthode de relaxation en choisissant judicieusement les conditions aux limites.

I. — I N T R O D U C T I O N

A ) Définitions

L'alimentation d'un puits par une n a p p e peut schématiquement être assimilée à l'écoulement à trois dimensions, autour d'un axe de symétrie, d'un fluide h o m o g è n e en milieu poreux.

Si la c o u c h e inférieure sur laquelle s'écoule la nappe n'est p a s surmontée d'une c o u c h e i m p e r m é a - ble, l'eau de la n a p p e est en contact avec l'air, et il existe dans l'écoulement une surface imaginaire en tous les points de laquelle la pression corres- p o n d à la pression atmosphérique. Si l'on néglige les p h é n o m è n e s capillaires, cette surface imaginaire constitue la limite supérieure d e l'écoule- ment, c'est-à-dire le « n i v e a u de la n a p p e » , ou « l a surface l i b r e » . Dans de telles conditions, le mou- vement des particules liquides d é p e n d d e la pesan- teur aussi b i e n que de la charge h y d r a u l i q u e ; on a à faire à c e que l'on appelle « un écoulement à surface l i b r e » . Un puits gravitaire est un puits ali- menté dans de telles conditions.

(*) D'après u n e t h è s e soumise p a r l'auteur, en d é c e m - b r e 1 9 5 0 , à l a « F a c u l t y o f A r t s a n d Sciences of H a r v a r d U n i v e r s i t y » .

On verra que m ê m e a p r è s l'établissement d'un régime permanent, l'intersection d e la surface libre et d e la p a r o i d'un puits gravitaire est située au- dessus du niveau d e l'eau à l'intérieur du puits. L a surface cylindrique d é c o u p é e sur la p a r o i du puits par c e s deux niveaux est a p p e l é e : surface de suintement.

B ) L e s buts d e l'étude

Très r é c e m m e n t e n c o r e , les m é t h o d e s de calcul les plus exactes, p o u r l'écoulement p e r m a n e n t autour d'un puits gravitaire, voyaient leur validité limitée aux zones dans lesquelles la pente d e la sur- f a c e l i b r e était assez faible (moins d e 1 5 % envi- ron) pour justifier l ' a d o p t i o n , à la b a s e de calcul,

(*) N.d.T. — L ' e x p r e s s i o n « puits g r a v i t a i r e » n'est p a s employée c o u r a m m e n t ; m a i s elle nous p a r a î t c o n s t i t u e r un n é o l o g i s m e d ' a u t a n t plus i n t é r e s s a n t qu'elle se r a p - p r o c h e b e a u c o u p de l'expression c o n s a c r é e a n g l a i s e :

« g r a v i t y well » .

E n g é n é r a l , en f r a n ç a i s , on p a r l e p l u t ô t de « puits o r d i - n a i r e » ou de « p u i t s à s u r f a c e l i b r e » .

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1955023

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des h y p o t h è s e s fondamentales de D U P U I T [ 2 ] ( * ) .

Grâce à la mise an point de la m é t h o d e de relaxa- tion d e Southwell [ 4 , 5 ] , et à l'adaptation qui en a été faite au cas qui nous intéresse, en particulier dans les études de S. T . Y A N G [ 7 ] , il semble possible maintenant de se livrer à un calcul théorique p r é c i s de ce type d'écoulement.

Les travaux qui sont présentés dans cet article avaient pour objet de c h e r c h e r à préciser les carac- téristiques de l'écoulement permanent au voisinage

d'un puits gravitaire en s'appuyant sur des essais sur m o d è l e réduit à échelle relativement grande; on

se proposait ensuite d'établir une c o r r e s p o n d a n c e satisfaisante entre les résultats obtenus à la suite des essais, d'une part, et ceux fournis par le calcul théorique, d'autre part. Une telle c o r r e s p o n d a n c e avait le double avantage :

— de prouver que certaines des difficultés les plus gênantes des premiers m o d è l e s à sable peuvent être surmontées;

— de mettre en é v i d e n c e la possibilité d'exploiter la m é t h o d e de relaxation sans se heurter à des calculs inextricables et interminables.

IL — L E M O D È L E

A ) L a c o n c e p t i o n du m o d è l e

1. D I S P O S I T I O N S G É N É R A L E S . — L e m o d è l e devait représenter, sur un secteur de 15°, la zone d'alimen- tation d'un puits gravitaire occupant toute la hau- teur de la nappe. L e s c h é m a de la figure 1 donne les dimensions principales. L e s p a r o i s latérales, PTWS et QUVR, représentent des sections verticales radiales passant par l'axe, MN, du puits; la section PQRS, face aval du m o d è l e , représente une partie de la p a r o i du puits; la section TUVW, face amont du m o d è l e , représente une fraction de surface verticale cylindrique entourant le puits à une certaine distance de¹ celui-ci; la surface SRVW représente un substratum horizontal i m p e r m é a b l e . Ainsi la distance MT ( = MU = NW = NV) c o r r e s p o n d au rayon R de la zone au-delà de laquelle la pente de la ligne d'eau est nulle, o u négligeable. L a distance MP ( = MQ = NS = NR) correspond au rayon du puits r⁰.

2. L E S D I M E N S I O N S D U M O D È L E . — Il était souhaitable de choisir de grandes dimensions afin de faciliter les observations dans le voisinage du puits et de réduire l'influence des p h é n o m è n e s capillaires.

Il était également souhaitable de p r e n d r e pour 0 une petite valeur (fig. 1 ) afin que soit justifiée l'adoption de surfaces planes pour représenter plus simplement les surfaces cylindriques constituant les sections amont et aval du m o d è l e . D'autre part, la section aval devait avoir une largeur suffisante (PQ ou SR de la fig. 1 ) pour que les tolérances d'usinage normales n'introduisent pas d'irrégulari- tés trop sensibles; enfin le rapport R / r⁰ devait être suffisamment élevé pour que la section verticale d'entrée constitue une approximation valable de la surface équipotentielle située à une distance corres- pondante d'un puits d e c e type.

L a valeur 8 fut fixée à 1 5 ° , et le rapport R / r⁰ à 1 6 (**). L e rayon du puits était r⁰ = 4 , 8 p o u c e s (=f=12,2 c m ) , et la distance entre l'axe du puits et

(*) Les chiffres e n t r e [ ] r e n v o i e n t à la b i b l i o g r a p h i e en fin du t e x t e a n g l a i s .

(**) S u i v a n t les r é s u l t a t s obtenus p a r BABBITT et GALD- WELL [ 1 ] , les s u r f a c e s équipotentielles sont des c y l i n d r e s à peu près v e r t i c a u x à une d i s t a n c e c o m p r i s e entre 15 e t 20 fois le r a y o n du p u i t s .

la section amont était R = 7 6 , 8 p o u c e s (4= 1 9 5 c m ) . Dans ces conditions la largeur de la section aval s'élevait à 1 , 2 6 p o u c e ( 3 2 m m ) , et celle de la sec- tion amont à 2 0 , 0 5 p o u c e s ( 5 1 2 m m ) .

3. M I L I E U X P O R E U X . — C'est du sable type d'Ottawa (*) qui fut choisi c o m m e conciliant au mieux le souci d ' é c o n o m i e et l'obligation de disposer des p r o p r i é t é s physiques voulues, L a très grande régularité de la granulométrie et la f o r m e p r e s q u e sphérique des grains réduisaient l'importance des erreurs pouvant provenir d'un manque d'homogé- néité et d'une stratification.

4. G R A D I E N T H Y D R A U L I Q U E E T D É B I T . — La for- mule de D U P U I T - T H I E M permit d'estimer la valeur moyenne du gradient hydraulique au niveau de la section aval. En supposant à cet effet que h⁰ = 0 et que Z⁰ - ( 0 , 5 ) X (H) = 2 ft ( + 6 0 c m ) , on fixe à environ 3 , 5 la valeur m o y e n n e du gradient sur la section aval. Des essais effectues sur du sable d'Ottawa afin d e p r é c i s e r le d o m a i n e de validité de la loi de D A R C Y montrèrent que la relation entre la vitesse et le gradient hydraulique cessait d'être linéaire pour une valeur du gradient voisine d e 3.

L e sable essayé avait le m ê m e module des v i d e s que celui disposé dans le m o d è l e . En appliquant la for- mule de D U P U I T - T H I E M avec k 0,4 c m / s , le débit maximum à prévoir fut fixé à 2 5 0 c m³/ s .

5. D É T A I L S . — L a figure 2 représente le m o d è l e en perspective. Afin de la rendre plus claire, un seul piézomètre a été représenté, et on a éliminé tous les détails concernant les dispositifs de circu- lation d'eau.

Les parois latérales étaient transparentes afin de faciliter les conditions régnant au niveau de la surface libre; la « l u c i t e » (plexiglass) fut c h o i s i e de p r é f é r e n c e au verre en raison de ses facilités de manipulation et d'usinage.

Afin d'éviter que les parois en lucite prennent sous la charge une flèche excessive, elles s'appuyent sur quelques armatures en acier prévues à cet effet. Ces armatures étaient fixées à la plaque d e base du m o d è l e d'une part, d'autre part elles étaient liées l'une à l'autre par-dessus le m o d è l e .

L e châssis-support fut constitué d'une tôle d'acier de 1 / 4 d e p o u c e d'épaisseur (6,35 m m ) ,

(*) O t t a w a est ici une petite ville de l ' E t a t d'IMnois

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fixée à deux gros fers à larges ailes, c e qui fut jugé suffisant pour éviter d e s déformations excessives.

Au niveau d e s sections amont et aval l e s p a r o i s furent réalisées en matière plastique plutôt qu'en métal, afin d'atténuer l e s risques d'électrolyse ou de rouille.

A l'extrémité aval i l était souhaitable d e disposer un gros tube vertical afin d'augmenter l a rigidité d e la charpente d u m o d è l e e n un point o ù l e s d é f o r m a - tions risquaient d'être l e s plus gênantes. A l'extré- mité amont il était suffisant d e disposer une gout- tière verticale e n tôle mince à p e u p r è s semi- cylindrique. Il convenait dans c e c a s d'adopter une section plus grande afin d e permettre d'alimenter le m o d è l e avec l e débit m a x i m u m nécessaire tout en évitant l'apparition d'une turbulence au niveau de la section d'entrée.

Il convenait également d'adopter pour l'alimentation du m o d è l e un système e n circuit fermé afin d e limiter l e volume d'air susceptible d e s'introduire pendant le déroulement d e s essais. Ce système comportait u n e conduite d e retour joignant la conduite verticale aval à une p o m p e centrifuge, puis à un débitmètre après lequel l'eau était réin- troduite dans l a cuve d'alimentation p a r l'intermé-

diaire d'un tube p o r e u x destiné à atténuer l e s effets d e l a turbulence.

L e s joints et l e s étanchéités se présentaient c o m m e devant être l a source du plus grand n o m b r e d'ennuis : l e s joints en c a o u t c h o u c furent choisis c o m m e constituant la plus satisfaisante d e s étan- chéités.

B ) R é a l i s a t i o n du m o d è l e — P r é p a r a t i o n des essais.

L e s figures 4 à 9 donnent d e s détails d e réalisa- tion du m o d è l e . L e m o d è l e était d ' a b o r d rempli d'eau c h a u d e ; et c e c i pour l a raison suivante :

L ' e a u du m o d è l e était maintenue relativement c h a u d e jusqu'à c e q u e l e s essais soient sur l e point de c o m m e n c e r ; d e cette f a ç o n , une fois c o m m e n c é e la p h a s e d e refroidissement, l'eau se trouvait non saturée en air dissous lorsqu'elle atteignait l a tem- pérature extérieure. Ainsi, au fur et à mesure du déroulement des essais, l'eau avait t e n d a n c e à absor- b e r d e l'air, plutôt q u ' à en dégager en risquant de c r é e r d e s p o c h e s d'air.

L e m o d è l e une fois r e m p l i d'eau, l e sable était mouillé à saturation p a r très faibles quantités et mis en p l a c e sous l'eau.

III. — L E S E S S A I S

A ) M o d a l i t é s d'exploitation

1. B U T D E S E S S A I S . — L e but principal des essais sur m o d è l e était la détermination d u réseau correspondant à l'écoulement permanent dans l e c a s d e l'alimentation d'un puits gravitaire — c e c i à l'in- térieur d e l a zone représentée sur l e m o d è l e . On se proposait p a r ailleurs :

— D'étudier l a validité d e l a loi d e D A R C Y pour le calcul d u débit;

— De déterminer l'influence d'une frange capillaire sur l e débit, d'une part, sur la forme du réseau, d'autre part;

— D'étudier quelles répercussions pourraient avoir le degré et l'uniformité d e la saturation du sable.

2 . C O E F F I C I E N T S C A R A C T É R I S T I Q U E S . — L e réseau dé- p e n d d e 4 variables indépendants : R, r⁰, H, et h⁰ (fig. 1 ) . Ainsi, un p r o b l è m e donné peut être défini par les valeurs d e 3 coefficients indépendants quel- conques, a p p e l é s coefficients caractéristiques, et con- tenant c e s variables.

Dans l e c a s qui nous o c c u p e , l e s variables avaient été groupées suivant l e s rapports R / r⁰, H / r^ô et A⁰/H. L a valeur d u p r e m i e r d e c e s rapports fut uniformément fixée à 1 6 pour tous les essais. L a valeur d u s e c o n d , H / r⁰, était maintenue à une va- leur constante voisine d e 1 0 , e n fixant l e niveau dans l e tuyau vertical d'entrée. On donnait au troi- sième, A⁰/H, pour l e s différents essais, d e s valeurs différentes prises dans une série d e valeurs; o n réglait convenablement à cet effet l e niveau d'eau

dans le tube vertical d e restitution. Toute l a gamme des valeurs possibles, entre 0 et 1, a été e x p l o r é e au cours d e s essais.

3. P R O G R A M M E D E S E S S A I S . — Il y a eu quatre séries d'essais. L a série A c o m p o r t a 8 essais, l e sable ayant été préalablement m i s e n p l a c e , c o m m e l'in- dique l e p a r a g r a p h e II B . 2 . H étant maintenu à 4 8 , 0 p o u c e s ( 1 2 2 c m ) , h⁰ fut réduit d e 4 2 , 0 p o u c e s ( 1 0 7 cm) au p r e m i e r essai jusqu'à zéro au dernier, par fractions successives d e chacune 6 p o u c e s

( 1 5 , 2 c m ) .

Après a c h è v e m e n t d e l a série A, l e m o d è l e fut vidé, puis r e m p l i à nouveau d'eau sans e n retirer le sable. L a série B c o m p o r t a trois essais réalisés au cours d u remplissage. H étant toujours maintenu à la valeur d e 4 8 , 0 p o u c e s ( 1 2 2 c m ) , o n d o n n a à h⁰ les valeurs successives 0 , 1 2 , 0 et 2 4 , 0 p o u c e s ( 3 0 , 2 et 6 0 , 4 c m ) .

L a série C reprit l e s m ê m e s essais d e l a série B , mais dans l'ordre inverse, a p r è s remplissage c o m - plet d u m o d è l e .

L a série D fut une répétition d e l a série C, la p r e m i è r e e a u ayant "été r e m p l a c é e p a r une e a u dont on avait réduit l a tension superficielle p a r un traitement c h i m i q u e convenable.

B ) M e s u r e s

1. M I S E E N T A B L E . — L e tableau I résume les mesures importantes faites au cours d e s essais, à l'exception d e s lectures au p i é z o m è t r e . On y a ad- joint une colonne donnant les valeurs d e l a hauteur

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z⁰ du point d'intersection de la surface libre et de la surface du puits, b i e n que c e s valeurs résultent du diagramme des lectures piézométriques plutôt que de l'observation directe.

2. L I G N E S D E C O U R A N T . — L e s figures 1 0 et 1 1 sont des vues p h o t o g r a p h i q u e s des lignes de courant c o l o r é e s , prises pendant Fessai 8 de la série A.

Quelques-unes d e c e s lignes sont également représen- tées sur la figure 1 5 (*). L e s lignes de courant colo- rées, o b s e r v é e s pendant Fessai A 6, sont données sur l a figure 1 4 . L e s figures 1 0 , 1 1 , 1 4 et 1 5 mon- trent distinctement une zone d'inflexion sur ces lignes, qui sont toutes légèrement concaves vers le haut, au voisinage de la section aval. A noter que la ligne d e courant supérieure d e l'essai A-8 (fig. 1 5 ) , qui passe b i e n en dedans de la frange capillaire, présente un c o u d e brusque p r è s de la section aval et passe sous la surface libre.

L e tableau II contient les valeurs mesurées qui ont servi à la détermination des vitesses relatives des lignes d e courant. L e plus souvent les mesures de temps sont exactes à environ un d i x i è m e de mi- nute p r è s ; mais le degré d'exactitude diminue vers l'extrémité aval où les b a n d e s colorées sont plus diffuses et deviennent par conséquent plus difficiles à détecter alors que la vitesse augmente.

3 . L E C T U R E S A U P I É Z O M È T R E . — Elles formaient la majeure partie des mesures. Sur les figures 1 2 à 1 5 toutes les valeurs sont m a r q u é e s à l'endroit d e la p a r o i en lucite où elles ont été relevées. L e s surfaces libres ont été tracées d'après les lectures pié- zométriques; la limite supérieure d e la frange capillaire a été déduite des observations directes.

C ) R é s u l t a t s des essais

1. G É N É R A L I T É S . — L e degré d e saturation le plus élevé c o r r e s p o n d à la série A. Ce fut le seul cas où l'eau fut introduite dans le m o d è l e avant l e sable, qui était disposé sous l'eau après avoir été saturé, par petites quantités, dans le vide. Ni le n o m b r e des p o c h e s d'air, ni leur répartition n'ont introduit de grosses erreurs jusqu'au dernier essai de la série A.

Dans le cas d e la série B, puis, progressivement de moins en moins au cours des séries C et D, la difficulté majeure provenait de la distribution non uniforme des p o c h e s d'air. Cette difficulté a été, pour une large part, surmontée dans les séries C et D; mais les chiffres relevés dans la série B indiquent le p e u de valeur d e s résultats, qui prouvent uni- quement que m ê m e avec un grand m o d è l e et dans un milieu p o r e u x d'un grain aussi gros que le sable- type d'Ottawa, on ne saurait obtenir une p e r m é a - bilité réelle sensiblement uniforme en introduisant directement Feau dans la masse d e sable, sans autres précautions.

Les essais de la série A se sont déroulés d a n s des conditions à p e u près idéales. On a d o n c pris dans cette série les résultats des essais 2 , 4 et 5 c o m m e base de c o m p a r a i s o n avec les résultats de l'analyse

(*) L e q u a d r i l l a g e des figures 12, 16, 22, 25 et 27 r e p r é - sente le r é s e a u à m a i l l e s c a r r é e s de 2 pouces (50,8 m m ) qui é t a i t t r a c é sur les p a r o i s l a t é r a l e s du m o d è l e .

théorique; et c'est sur les résultats d e l'ensemble d e la série A que s'appuient toutes les considéra- tions qui suivent. La c o m p a r a i s o n des résultats des séries B , C et D à ceux donnés par l a série A, m o n - tre l'importance relative d e s facteurs tels que le degré de saturation, l'action capillaire, l'uniformité réelle du sable.

2. R É S E A U X D ' É C O U L E M E N T . — L e s figures 1 2 à 1 4

montrent les réseaux correspondant aux essais 2 , 4 et 6 de la série A, tels qu'ils ont été déduits d e l'observation. Une famille de c o u r b e s équipoten- tieîles, partageant la zone de l'écoulement en dix b a n d e s présentant la m ê m e chute de potentiel, a été tracée, après interpolation des lectures p i é z o - métriques. Dans le 3* essai, ces intervalles c o r r e s - pondent à des hauteurs d'eau r e s p e c t i v e s de 1,2, 2,4 et 3 , 6 p o u c e s ( 3 , 6,1 et 9,2 c m ) . Dans c h a q u e cas on déterminait la surface libre en r e c h e r c h a n t les points d'intersection des lignes équipotentielles avec les niveaux correspondants des p i é z o m è t r e s , puis en faisant passer une c o u r b e par cette série de points. L e s lignes de courant de la figure 1 4 ont été tracées d'après le c h e m i n suivi par des traînées de colorant bleu injecté en c e s points.

L a figure 1 5 renseigne sur l'essai 8, d e la série A, c o m m e les figures 1 2 à 1 4 renseignaient sur les essais 2 , 4 et 6. En passant de l'essai 7 à l'essai 8, les lectures au p i é z o m è t r e sont d e m e u r é e s invaria- bles pendant plus d'une journée. Après deux jours, une s e c o n d e série de lectures piézométriques pour l'essai 8 accusait une augmentation générale. L e s augmentations les plus fortes étaient notées à l'angle inférieur de l'extrémité aval : elles devaient manifestement être attribuées à la formation d e p o c h e s d'air dans cette région. Ce p h é n o m è n e était tout à fait local et ne fut observé nulle part ailleurs.

Il n'en résultait aucune modification a p p r é c i a b l e d e la position de la surface libre, c e qui prouve que la perturbation n'était pas suffisante pour entraîner une déformation grave de l'ensemble de l'écoule- ment.

L e fait que les p i é z o m è t r e s n'ont pas enregistré de changement immédiat a p p r é c i a b l e au moment où l'essai 7 s'achevait et où c o m m e n ç a i t l'essai 8 a été le p r e m i e r i n d i c e d'un dégagement d'air a p p r é c i a b l e . Si des conditions i d é a l e s avaient été réalisées, on aurait du assister à une réduction générale d e s lectures des p i é z o m è t r e s , réduction allant en s'accen- tuant depuis des valeurs négligeables, p r è s de la section d'entrée, jusqu'à plusieurs p o u c e s au point d'intersection de la plaque d e base et d e la section de sortie. Toutefois c o m m e les p o c h e s d'air c o m - mençaient déjà à c r é e r une forte résistance à l'écoulement, surtout au point où l'écart à p r é v o i r était le plus grand, on peut conclure qu'à la baisse générale des hauteurs piézométriques s'opposait un effet d'obstruction causé par c e s p o c h e s d'air.

L e s figures 1 0 et 1 1 apportent d'autres i n d i c e s d e l'influence des variations locales d e la perméabilité réelle. L a vue de la figure 1 0 a été p r i s e plusieurs heures après le début d e l'essai 8. L a figure 1 1 qui c o m p r e n d trois nouvelles lignes de courant, a été obtenue un jour plus tard, a p r è s injection de colorant bleu par les huits points d e départ, à l ' e x c e p - tion du point supérieur. En comparant la figure 1 0 à la figure 1 1 , on voit d'abord que les trois d e r n i è r e s

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4 0 L A H O U I L L E B L A N C H E J A N V I E R - F É V R I E R 1 9 5 5

lignes ne c o n c o r d e n t pas avec les c i n q p r e m i è r e s ; on constate ensuite que c e s dernières ont elles- m ê m e s dévié, plus ou moins, depuis la veille.

On a constaté que les lignes de courant, qui avaient été attirées dans la frange capillaire, finis- sent par retourner à la région située sous la surface libre avant d'atteindre la section de sortie. L e s deux lignes supérieures de la figure 10 ont été r e p r o - duites sur la figure 15 pour rendre c e fait visible.

Notons que la surface libre ne forme pas ligne de courant quand il existe une c o u c h e capillaire.

Ainsi, les lignes équipotentielles des figures 12 à 15 ne coupent pas nécessairement la surface libre sous un angle droit. L'écart, d'ordinaire faible, d e - vient très apparent aux environs de la section de sortie.

3. V I T E S S E S . — La p r é c i s i o n des mesures r e p r o - duites au tableau II suffit tout au plus à donner des renseignements qualitatifs sur les vitesses. Ainsi, le temps que mettait le colorant b l e u pour atteindre la section de sortie, en partant du point d'injection était minimum pour la ligne de courant la plus p r o c h e de la b a s e et m a x i m u m pour les lignes les plus éloignées.

En comparant la vitesse à laquelle le colorant avançait dans la frange capillaire avec celle de sa progression à travers l a région en dessous d e la surface libre, on arrivait à estimer la part qui reve- nait à l a frange capillaire dans le débit total.

4. L ' É C O U L E M E N T D A N S L A F R A N G E C A P I L L A I R E . —

En considérant le tableau II, on note entre les deux lignes d e courant supérieures un écart anormal des durées de parcours depuis les j)oints d'injection jusqu'à la section de sortie. Celle de c e s deux lignes qui part du point 1 (voir! tableau II) est b i e n à l'in- térieur de la frange capillaire, tandis que l'autre, partant du point 2, est très voisine de la surface libre. Comme le point 2 se trouvait à 2 p o u c e s (5,1 cm) en dessous du niveau dans le tube vertical d'alimentation, on admet que le volume d'eau passant dans la frange capillaire équivalait à celui qui traversait la partie supérieure, haute de deux p o u c e s (5,1 c m ) , de la section (Feutrée. Si l'on admet que les vitesses étaient uniformes à l'entrée, on voit que le débit à travers la frange capillaire représente environ 4 % du débit total. De plus, la c o n c o r d a n c e d e s variations du débit total, tout au long de la série A, avec les indications de l'équa- tion de D U P U I T - T H I E M , indiquait que les effets de la frange capillaire restaient à p e u p r è s les m ê m e s , quelle que soit la perte de charge.

On en déduisit que l'accroissement du débit, dû à la p r é s e n c e d'une frange capillaire, était sensiblement équivalent au rapport entre la demi-épais- seur de cette c o u c h e et la charge totale à l'entrée;

on avait autrement dit :

Q 2 H (D

ou :

(A Q)^c — est l'accroissement d e débit dû à la pré- sence d e la c o u c h e capillaire;

h^c — l'épaisseur m o y e n n e de la c o u c h e capillaire;

H = la profondeur de l'eau à l'entrée;

Q = le débit tel qu'il résulte de l'équation de

D U P U I T - T H I E M ,

5. C O E F F I C I E N T D E P E R M É A B I L I T É . — D'autres étu- des [6, 1 ] , avaient montré que le coefficient de p e r m é a b i l i t é effectif r é e l m o y e n peut être déterminé a v e c assez de p r é c i s i o n à partir d e l'équation de

D U P U I T - T H I E M . On peut écrire celle-ci : Q l o g^c ( R / r⁰)

(1^{— A - )} (2)

où k^T est le coefficient effectif m o y e n d e p e r m é a - bilité à T° C, et X = V^ï^ï -

Toutefois, le m o d è l e ne* représente que la 24^e partie environ de la zone entourant le puits; les débits observés devraient être corrigés d e l'effet d e l a frange capillaire et le coefficient de p e r m é a b i l i t é ramené à la valeur correspondant à 20° C. L ' é q u a - tion (2) devient ainsi :

2 4 Q^T( 1 — V 2 H)

%m ( 1 — X²)

où Q^T est la valeur du débit sur le m o d è l e à la température de T° C.

et u.^T, ix^{2 0} les coefficients de viscosité de l'eau à T°

et à 20° C.

L e tableau III contient les valeurs obtenues par la résolution de l'équation (3) pour les sept premiers essais d e la série « A » . L a valeur m o y e n n e d e k²⁰ qui en résulte est 11 % plus faible qu'une autre valeur tirée d'une série d'essais directs dans des conditions similaires. Il s'ensuit que le degré de saturation obtenu avec le m o d è l e d e la série A était inférieur à celui qui résultait d e s essais d e perméabilité effectués directement, sur une é c h e l l e bien plus petite.

L a b o n n e c o n c o r d a n c e entre les valeurs du ta- b l e a u III montre que les dégagements d'air n'avaient pas grande influence sur l'homogénéité réelle du sable pendant les sept p r e m i e r s essais de la série A.

De la rapidité avec laquelle les dégagements d'air introduisaient des erreurs au cours de l'essai, on peut déduire que le m a n q u e d'uniformité d e l'écoulement dépendait b e a u c o u p plus d e l'entraîne- ment éventuel d e l'air dans la conduite de retour que de la durée pendant laquelle l'eau était e x p o - sée à l'action d e l'air. D'après les valeurs conte- nues au tableau III on voit que le contact p e r m a - nent de l'eau avec l'air, à l'intérieur des deux tubes verticaux et à l'intérieur du sable, n'a p a s c r é é d e troubles sensibles "pendant les quatre semaines qu'ont duré les essais; mais quand le niveau d e l'eau a été réduit à zéro dans le tube vertical aval, par conséquent quand la conduite de retour (fig. 3) a cessé de débiter à plein, les p o c h e s d'air se sont d é v e l o p p é e s c o n s i d é r a b l e m e n t en deux jours.

L a grande diversité des conditions accompagnant les essais d e s séries A, B, C et D apparaît dans les valeurs que p r e n d le coefficient effectif d e per- méabilité m o y e n , porté sur le tableau III. Dans la série B, pendant laquelle on n'a pas c h e r c h é à

(6)

réduire les dégagements d'air, la valeur de ce coef- ficient m o y e n est t o m b é e de 2 2 % en m o y e n n e en dessous de la valeur notée pendant la série A. Pour les séries C et D, on avait veillé à réduire les déga- gements d'air autant qu'il était p o s s i b l e sans recou- rir à d e s d é c h a r g e s et à d e s r e c h a r g e s successives du sable du m o d è l e . On obtenait ainsi des degrés de saturation jugés équivalents pour les deux séries et on pouvait s'attendre à des conditions de per- méabilité c o m p a r a b l e s . L e s valeurs du coefficient de perméabilité o b s e r v é e s ainsi ne diffèrent respective- ment que de 1 et 3 % de celle de la série A.

On peut donc en déduire que le remplacement régulier de l'eau dans le m o d è l e par de l'eau plus c h a u d e introduite graduellement pendant une lon- gue p é r i o d e de temps, sous un écoulement cons- tant, convient effectivement lorsqu'il s'agit de limiter suffisamment les dégagements d'air pour prévenir de fortes variations du coefficient de per- méabilité réel.

6. L E S S U R F A C E S L I B R E S . — L ' e x a m e n des surfaces libres dans les huit essais de la série A, montre l'influence décroissante des abaissements successifs de 6 p o u c e s (5,2 cm) du niveau aval.

L e s valeurs p o r t é e s sur le tableau I pour la série B montrent que les surfaces libres attei- gnaient, pour cette série, un niveau supérieur à celui de la série A; l'influence de la frange capillaire était pourtant m o i n d r e puisque sa profondeur représentait un élément actif plutôt que passif. L a divergence peut être expliquée par la non-unifor- mité des conditions d'écoulement. L e s lectures au

piézomètre et le débit variaient au cours des essais. On pouvait observer constamment, sur toute la longueur des p a r o i s latérales, un accroissement des dégagements d'air en direction d e la surface libre. On s e trouvait ramené au cas d'un milieu poreux non h o m o g è n e , mais c o m m e il n'était p a s possible de mesurer exactement l'étendue et la nature de ce manque d'homogénéité, on n'a pas c h e r c h é à éplucher les valeurs fournies par la série B .

Les surfaces libres appartenant à la série D ont été moins atteintes par cette action capillaire. Or, non seulement l'eau avait subi un traitement chi- mique réduisant sa tension superficielle à environ 4 0 % de sa valeur ordinaire, mais, en plus, le degré de saturation au sein de la frange capillaire était indiscutablement m o i n d r e que dans la majeure par-

tie de la masse de sable.

7. C O M P A R A I S O N D E S R É S U L T A T S O B T E N U S A V E C L ' É Q U A T I O N D E D U P U I T - T H I E M . — La figure 1 6 four- nit une c o m p a r a i s o n entre trois c o u r b e s diffé- rentes pour chacun des trois essais du groupe A.

Les trois courbes en traits mixtes ont été construi- tes d'après l'équation d e D U P U I T - T H I E M pour les essais 2 , 4 et 6 ; l e s trois courbes en traits inter- rompus représentent la hauteur piézométrique lue sur le fond du m o d è l e ; les c o u r b e s en trait plein sont les surfaces libres déduites des observations.

On voit que la c o u r b e D U P U I T - T H I E M e x p r i m e assez exactement la variation de la hauteur p i é z o m é - trique le long de la b a s e i m p e r m é a b l e . L'écart le plus fort se présente pour l'essai 6 et atteint 1 2 %.

IV. — C O M P A R A I S O N D E S R É S U L T A T S E X P É R I M E N T A U X

E T D E S R É S U L T A T S T H É O R I Q U E S D O N N É S P A R L A M É T H O D E D E R E L A X A T I O N

A ) L a m é t h o d e d e r e l a x a t i o n

1. G É N É R A L I T É S . — L a m é t h o d e d e relaxation est une m é t h o d e d'approximations successives. Elle a été imaginée par R. V. S O U T H W E L L en Angleterre, puis fit l'objet de plusieurs d é v e l o p p e m e n t s d e la part de son auteur et d'un groupe de ses collabo- rateurs, qui l'appliquèrent à différents p r o b l è m e s techniques et physiques. Pour une étude détaillée de cette m é t h o d e , on consultera les ouvrages de

S O U T H W E L L [ 4 - 5 ] .

Dans l'application de la m é t h o d e à la résolution du type d e p r o b l è m e s considéré ici, on a donné la p r é f é r e n c e à une d e ses variantes, laquelle sera décrite succinctement dans c e qui suit.

2. A P P L I C A T I O N D E L A M É T H O D E A L ' A L I M E N T A T I O N D ' U N P U I T S G R A V I T A I R E . — S. T.^{Y A N G} [ 7 ] a appli- qué la m é t h o d e de relaxation au cas particulier d'un écoulement à trois dimensions, à symétrie axiale, dont un exemple-type est le p r o b l è m e de l'alimentation d'un puits gravitaire situé dans une c o u c h e p e r m é a b l e et s'enfonçant jusqu'au soubasse- ment i m p e r m é a b l e . C'est cette variante de la mé- t h o d e de S O U T H W E L L qui a été appliquée tout au long d e la partie théorique de notre étude. Nous

allons indiquer ci-après brièvement les différences essentielles entre les m é t h o d e s de^{Y A N G} et d e

S O U T H W E L L .

1. Y A N G adopte la hauteur piézométrique plutôt que

la hauteur manométrique (contrairement à

S O U T H W E L L ) c o m m e fonction potentielle dont les valeurs aux différents sommets du réseau constituent l'objet immédiat de la r e c h e r c h e par la m é t h o d e de relaxation.

2. Dans les p r o b l è m e s où les conditions aux limites sont inconnues au départ ( c o m m e par e x e m - ple la surface libre dans le cas présent),

S O U T H W E L L fait exactement c o ï n c i d e r la grille de relaxation avec un tracé estimé d e la limite inconnue, en se servant d' « étoiles irrégulières » (*) aux n œ u d s p r o c h e s d e cette limite; Y A N G , lui, se livre à une estimation a p p r o c h é e de la surface libre à l'aide d'une grille dont les mailles et les brins sont in- tacts. Ainsi, pour un réseau à mailles c a r r é e s

(*) On entend p a r « étoile i r r é g u l i è r e » un g r o u p e de b r i n s , n ' a y a n t pas t o u s la m ê m e l o n g u e u r , et liés à un nœud voisin d'une l i m i t e i r r é g u l i è r e . L e s b r i n s de l o n - g u e u r a n o r m a l e sont ceux qui r e l i e n t le n œ u d à la l i m i t e .

(7)

(fig. 1 7 à 1 9 ) la limite supérieure est une ligne brisée f o r m é e d'une succession irrégulière de côtés de maille, verticaux et horizontaux, qui suivent le tracé de la surface libre. L e s parties horizontales de la limite supérieure du réseau sont représentées en traits interrompus pour indiquer qu'ils sont c o n s i d é r é s c o m m e des demi-brins. Un demi-brin est celui qui se substitue à la moitié de la tran- c h e correspondant au d é c o u p a g e normal de la surface potentielle, lorsque la tranche r e m - p l a c é e est située d'un côté seulement du demi-brin. Des demi-brins sont d o n c c o r r e c - tement disposés le long d e la plaque de base, où on les retrouve dans toutes les solu- tions obtenues par la relaxation (fig. 1 7 à 1 9 ) , par contre, à la partie supérieure du réseau on doit les c o n s i d é r e r c o m m e une simple approximation de la surface équipotentielle r e m p l a c é e .

Ayant apporté les modifications ci-dessus à la façon de p o s e r son p r o b l è m e de puits gravitaire,

Y A N G applique la technique de relaxation imaginée

par S O U T H W E L L sans y toucher davantage.

3. D I S C U S S I O N . — Là modification d e Y A N G à la m é t h o d e de relaxation a été utilisée à la résolution des p r o b l è m e s qui constituent l'objet de nos re- c h e r c h e s .

A titre d ' e x e r c i c e préparatoire, nous avons entre- pris des calculs préliminaires distincts c o r r e s p o n - dant au cas de l'essai 8 dans la série A. Dans un cas notre p r e m i è r e estimation plaçait la surface libre trop b a s , dans un autre cas, elle la situait trop haut. L a mise en œuvre de la m é t h o d e d e relaxation a montré que les deux solutions différaient. En effet, la surface l i b r e correspondant à l'évaluation initiale la plus forte atteignait la section d e sortie à un niveau d e 1 0 % plus élevé au-dessus de la base i m p e r m é a b l e que suivant l'autre évaluation. Ayant tracé les lignes de courant et les équipotentielles d'après les valeurs nodales. finales, nous avons cons- taté que les intersections n'étaient pas à angle droit dans le cas d e l'estimation initiale l a plus faible.

Comme les intersections obtenues dans l'autre cas satisfaisaient b i e n à la condition d'orthogonalité, c'est la solution correspondant à l'estimation la plus forte qui a été jugée plus exacte.

Ce qui est significatif c'est que la m é t h o d e soi- gneusement a p p l i q u é e en partant de deux valeurs initiales différentes, n'a pas conduit à d e s solutions identiques, b i e n que dans l e s deux cas l a conver- gence ait été rapide dès le début. L a difficulté rési- derait d o n c dans le m o d e d'approximation consis- tant à utiliser des demi-brins tout le long d e la limite, initialement inconnue, du réseau. Du moment que la surface libre n'est p a s horizontale, les demi- brins horizontaux introduisent une erreur d e plus en plus grave à mesure que la pente d e la ligne qu'ils reproduisent s'accentue; autrement dit, Ter- reur augmente dans le sens où il faudrait que la précision aille en croissant, non en diminuant.

4 . C O N C L U S I O N S . — L ' e m p l o i de la modification d e^{Y A N G} dans l'application d e la m é t h o d e S O U T H -

W E L L élimine dans une certaine mesure le c a r a c t è r e automatique des c o r r e c t i o n s successives; il s'ensuit qu'en vérifiant l'exactitude d'une solution il faut non seulement veiller à c e que les f o r c e s rési- duelles se réduisent à d e s quantités négligeables, mais aussi revoir les conditions aux limites. Il est apparu que l'angle f o r m é à l'intersection d e s lignes équipotentielles et d e l a surface l i b r e constituait le critérium décisif d e la justesse d'une solution.

B ) C a l c u l d e c a s d'essais c a r a c t é r i s t i q u e s .

1, P R É S E N T A T I O N . — L e s figures 1 7 à 1 9 r e p r é s e n - tent la solution par v o i e d e relaxation, respective- ment dans le cas des essais 2 , 4 et 6 d e la série A.

L e réseau constitue l'image d'une section radiale du m o d è l e du puits dont l'axe est à gauche. Sur cet axe sont p o r t é e s des hauteurs mesurées au- dessus d e la base du m o d è l e ; en dessous du réseau on trouve l ' é c h e l l e des distances radiales, en p o u - ces, à partir de l'axe du puits. Sur c h a q u e figure sont portés les niveaux d e l'eau à l'entrée et à la sortie. L a surface libre et les neuf lignes é q u i p o - tentielles qui partagent l'écoulement en dix intervalles équivalents, sont tracées en gros trait continu.

L a ligne supérieure de la frange capillaire est représentée par un gros trait interrompu. L e s brins du réseau de relaxation figurent en traits plus fins : continus pour les brins entiers, interrompus poul- ies demi-brins. L e s hauteurs p i é z o m é t r i q u e s correspondant aux différentes lignes équipotentielles sont marquées en p o u c e s d'eau, gros caractères, à côté de c h a q u e ligne; les valeurs n o d a l e s finales de la hauteur piézométrique sont p o r t é e s en petits carac- tères au-dessus et à gauche d e s n œ u d s du réseau.

Pour toutes" les valeurs nodales, l'unité d e mesure adoptée est le d i x i è m e de p o u c e d'eau, c e qui est la limite de p r é c i s i o n qu'on peut atteindre dans les lectures piézométriques. Pour faciliter les calculs, nous avons pris c o m m e longueur du côté de l a plus grande maille c a r r é e du r é s e a u le r a y o n m ê m e du puits; dans le c a d r e de la m é t h o d e d e relaxation, nous avons adopté, c o m m e unité d e distance radiale, la demi-longueur du côté du plus petit carré du réseau figurant dans l a solution (*).

2. C O N D I T I O N S A U X L I M I T E S . — L a figure 2 0 est un croquis schématique d'une section radiale sem- blable à celles qui sont r e p r é s e n t é e s sur les figures

1 7 à 1 9 .

La ligne CDE représente l a section d'entrée, la ligne BAHGF l a section d e sortie. L a ligne BC correspond à la base du m o d è l e . L e p l a n d'eau à l'en- trée est indiqué en D à une hauteur H au-dessus de la b a s e ; à la sortie, le plan se trouve en A, à une hauteur h⁰ au-dessus de la base. L a ligne DNG représente la surface l i b r e ; l a ligne E P F est la limite supérieure d e la surface d e suintement. L e s axes c o o r d o n n é s , r (distance radiale) et z (hauteur), correspondent respectivement à l a b a s e et à l'axe du puits; la cote du point d'intersection de la surface l i b r e et de la section de sortie est désignée par z⁰.

(*) L e s d i s t a n c e s r a d i a l e s n ' i n t e r v i e n n e n t que d a n s l ' é l i m i n a t i o n des v a l e u r s r é s i d u e l l e s .

(8)

Les conditions aux limites dans le cas présent, et la forme sous laquelle elles ont servi à l'étude des essais 2, 4 et 6 de la série A, peuvent être expri- m é e s de la façon suivante :

(1) De A à B :

<p = h⁰, où 9 est la hauteur piézométrique; ceci exprime que la courbe AB est la dernière ligne équi- potentielle dans le sens de l'écoulement.

(2) De B à C :

dy/dz = 0; c e c i e x p r i m e que la courbe BC est une ligne de courant et que toutes les lignes équi- potentielles doivent la couper à angle droit.

(3) De C à D :

9 = H, autrement dit la courbe CD est la pre- mière ligne équipotentielle dans le sens de Fécou- Jement.

(i) De D en G (par E, P et F) :

9^{= z} — h^c et dyfdn = 0, où h^G désigne la remon- tée capillaire et n la direction normale à la courbe limite en c h a q u e point.

L a p r e m i è r e de ces conditions résulte de ce que la surface libre DNG doit satisfaire à la relation 9 = z; il s'ensuit que la hauteur piézométrique en tin point de la limite supérieure de la frange capillaire devra être inférieure à la cote de ce point, de la valeur correspondant à la tension capillaire de l'eau. L a s e c o n d e condition résulte de ce que in courbe DEPFG est une ligne de courant.

(5) De G à A :

Le point G étant sur la surface libre, la hauteur piézométrique est égale à la cote z⁰ et la pression de l'eau est nulle en ce point. Toutefois, sur une certaine hauteur en dessous du point G, aucun écou- lement ne se manifestera à l'extérieur du sable car la tension superficielle du fluide crée une contrepression s'opposant à la tendance du fluide à suin- ter à travers la paroi. Quant la pression de l'eau a suffisamment augmenté pour surmonter cette contrepression (par e x e m p l e au point H), de l'eau suintera de la masse d e sable à ce niveau.

L a figure donne un s c h é m a de la distribution d e s pressions de Feau le long de la surface verticale FGHAB. L e point F, où la ligne de courant marque un angle droit, constitue un « angle mort ». En cet endroit, la dépression capillaire est maximum, puis elle diminue vers le bas, devient une pression en un certain point G et finalement atteint une valeur (par e x e m p l e ~h^maœ)y suffisante pour surmonter la résistance à l'écoulement latéral que c r é e la tension superficielle au niveau de la surface du sable. La variation de la pression du fluide le long de FGH est moins r a p i d e que celle qui correspond à la distribution hydrostatique, car une partie du potentiel total intervient pour maintenir l'écoulement le long d e la ligne de courant FGH. La distance FGH est donc moindre que la somme (h^t. -f h^max) et h^max est b i e n m o i n d r e que h^c.

L a partie restante de la limite (ligne HA) constitue la surface de sortie. Comme cependant la pression du fluide en H est supérieure à zéro, la simple relation 9 = z, ne s'applique pas à la totalité de la distance HA. Il semble logique d'admettre que l'ex- cédent de pression se dissipe sur une petite distance en dessous du point H, et que la majeure partie de

la ligne HA satisfait à la relation en question.

On peut d o n c résumer de la façon suivante les conditions aux limites entre G et A :

Entre G et .H : dy/dr = 0,

car la majeure partie de la ligne est une ligne de courant.

De H en A : 9 = z + h' a v e c h^maa} $5 A⁷ ^ 0, ce qui veut dire que HA n'est ni une ligne d e c o u - rant ni une ligne équipotentielle. On ne saurait non plus la définir c o m m e une surface libre, sauf dans la portion qui ne subit pas l'excédent de pression dont le maximum est atteint au point H.

3. M É T H O D E A D O P T É E . — Nous avons utilise pour les trois solutions c o n s i d é r é e s les valeurs numé- riques s u i v a n t e s : 7i^e = 3,6 p o u c e s ( 9 , 2 c m ) ;

àmaJS — 1,0 p o u c e (2,54 cm)

L a hauteur h^c de la remontée capillaire a été dé- terminée en mesurant, sur les figures 12 à 14, Ja projection sur une verticale de la portion d'une ligne équipotentielle, c o m p r i s e entre la limite supérieure de la frange capillaire et la surface libre.

La valeur de h^max a été choisie d'après certaines e x p é r i e n c e s auxiliaires réalisées sur des m o d è l e s bi-dimensionnels à petite échelle, constitués de sable disposé entre deux panneaux en bois écartés d'un pouce (2,54 c m ) .

Au point de départ de la m é t h o d e de relaxation il fallait placer de façon arbitraire le point H; on s'est d'ailleurs appuyé sur cette m é t h o d e pour juger du c h o i x du point H ainsi que de la valeur de

0 1 1 ne pouvait en effet obtenir la p r é c i s i o n

voulue, dans l'une et dans l'autre de ces détermina- tions, que par des tâtonnements,

4. D I S C U S S I O N . — Dans la discussion qui va sui- vre, la figure 20 sera identifiée aux figures 17 à 19;

les points, les distances et les charges marqués sur la figure 20 seront d o n c utilisés pour désigner sur les figures 17 à 19 les éléments correspondants, sans être identifiés autrement.

Ce qu'il y a de plus saillant dans les solutions obtenues par la m é t h o d e de relaxation, dans Je cas des essais 2, 4 et 6 de la série A, est la disposition du réseau d'écoulement à la partie supérieure de îa section aval. Bien que la ligne DEPFGIT soit une ligne de courant, on notera que sa pente devient nulle aux a b o r d s du point F et qu'en c e point elle tourne de 90°. Le point F est d o n c un « angle mort ».

Sur les ligures 17 à 19 la contre-pression s e m b l e déformer la surface libre à p e u p r è s c o m m e elle le fait pour la ligne de courant limite. A noter c e p e n - dant qu'avec les conditions aux limites a d o p t é e s ici, la surface libre n'est pas une ligne d e courant, c o m m e elle ne l'est p a s non plus sur le m o d è l e .

L a figure 21 représente deux réseaux d'écoule- ment déterminés p a r la m é t h o d e de relaxation pour un cas correspondant à Fessai 4 de la série A.

Les courbes en traits pleins correspondent au ré- seau d e la figure 18, les courbes en tirets montrent l'allure du réseau quand on néglige les effets de la frange capillaire et d e la contrepression. On peut

(9)

voir que la distorsion due à la frange capillaire et à la contrepression ne se fait sentir que sur une zone relativement petite de la partie supérieure du réseau près de la section de sortie.

Dans ce groupe de solutions, h^r et h^maas avaienl des valeurs relativement faibles, en raison d e la grosse granulométrie du sable. Ces valeurs seraient plus grandes avec des matériaux plus fins, qui sont aussi les plus fréquents.

Pour situer le point H (fig. 2 0 ) dans une solution particulière, on devra p r o c é d e r par tâtonnements.

Après avoir choisi le point et lui avoir assigné la valeur a p p r o p r i é e d e la hauteur piézométrique (ç = z + Umax)9 on pourrait trouver la solution par la m é t h o d e de relaxation, et la vérifier ensuite par observation directe des valeurs relatives de GH et HA, mais la disposition du m o d è l e s'y opposait. On devait donc, dans l'étude des essais 2, 4 et 6 de la série A, c o m m e n c e r par situer H d'après les résul- tats de certains essais c o m p l é m e n t a i r e s et régler ensuite sa position d'après le déroulement de la mé- thode de relaxation.

C ) C o m p a r a i s o n des r é s u l t a t s e x p é r i m e n t a u x a v e c les solutions fournies p a r la m é t h o d e d e r e l a x a t i o n .

1. P R É S E N T A T I O N D E L A Q U E S T I O N . — Sur les

figures 2 2 - 2 4 , les solutions obtenues par la m é t h o d e de relaxation dans les cas 2, 4 et 6 de la série A sont superposées aux tracés des essais. La limite supérieure de la frange capillaire n'est pas c o m - prise dans la comparaison, car la c o r r e s p o n d a n c e entre l ' e x p é r i e n c e et la t h é o r i e dans le cas de cette ligne suit toujours de très p r è s la c o r r e s p o n d a n c e obtenue pour la surface libre.

L ' é c a r t entre les différentes lignes équipoten- tielles théoriques et les c o u r b e s expérimentales correspondantes est exprimé en % du potentiel théo- rique, et noté aux extrémités supérieure et infé- rieure des courbes expérimentales. Presque toujours c e s valeurs représentent l'écart maximum entre l ' e x p é r i e n c e et la théorie pour la ligne équi- potentielle c o n s i d é r é e .

2. S U R F A C E S L I B R E S . — Dans les trois cas considé- rés on observe une c o n c o r d a n c e très serrée entre surface libre théorique et expérimentale. Dans chaque cas, l'écart le plus grand se produit au point d'intersection de la surface libre et de la p a r o i du puits. En cet endroit, la courbe théorique s'incurve assez brusquement et revient à une pente sensiblement horizontale, tandis que la c o u r b e e x p é r i m e n - tale n'a pas c e coude final. On pourrait expliquer cette différence en partie par le fait que, précisé- ment sur les deux derniers p o u c e s ( 5 c m ) , où se trouve le c o u d e , les lectures piézométriques ont été rares. Aux tracés expérimentaux de la surface libre on pourrait adjoindre, en bout, un petit fragment de c o u r b e inverse ne contredisant pas les lectures

p i é z o m é t r i q u e s ; c e p r o c é d é ne saurait cependant être justifié par c e s seules considérations expé- rimentales.

3. L I G N E S É Q U I P O T E N T I E L L E S . — L e s figures 2 2 - 2 4

montrent que les écarts maximums entre équipoten- tielles o b s e r v é e s et théoriques correspondantes, se produisent dans les trois ou quatre dernières ban- des du réseau précédant la p a r o i du puits; l'écart le plus grand ayant lieu entre les d e u x i è m e et qua- trième b a n d e s .

L e dégagement d'air constituant la principale cause des écarts entre réseaux o b s e r v é s et réseaux théoriques, on pourrait s'attendre à c e que les écarts soient surtout grands là où la pression du fluide est la plus basse, ou là où le gradient est le plus fort.

Or, les pressions les plus basses se présentaient le long de la surface libre et de la p a r o i du puits, alors que les gradients les plus élevés se trou- vaient à l'intersection de la surface de suintement et du plan d'eau dans le puits. Il est donc évident que les régions de pression minimum et de gradient maximum ne coïncident pas entièrement avec les régions où sont relevés les plus grands écarts entre réseau expérimental et réseau t h é o r i q u e ; et on en déduit que c'est la façon d'évaluer les écarts en % qui peut, dans une certaine mesure, être une cause d'erreurs. Par e x e m p l e , si au lieu de rapporter à zéro les écarts entre hauteurs p i é z o m é t r i q u e s expé- rimentales et t h é o r i q u e s , on les rapportait à h⁽⁾ⁱ valeur minimum dans c h a q u e cas, le pourcentage d'écart m a x i m u m se trouverait d é p l a c é vers la section aval. Et si les écarts en % étaient calculés par c o m p a r a i s o n des gradients o b s e r v é s aux gradients théoriques, la déviation dans le m ê m e sens serait bien plus marquée. Néanmoins, les écarts déduits de la c o m p a r a i s o n des gradients ne pourraient être pris en considération qu'avec b e a u c o u p de pru- d e n c e du fait que les équipotentielles e x p é r i m e n - tales sont, dans tous les cas, des lignes continues, tracées en suivant, d'aussi près que p o s s i b l e , une série de points résultant d e l'interpolation des lectures piézométriques.

4. H A U T E U R P I É Z O M É T R I Q U E S U R L E F O N D . — - L a

figure 2 5 met en regard les c o u r b e s de la hauteur p i é z o m é t r i q u e sur le fond obtenues par îa m é t h o d e de relaxation et celles qui se déduisent des mesures.

Sur c h a q u e paire d e c o u r b e s est marqué l'écart en % entre c o u r b e théorique et c o u r b e expérimentale.

Ces valeurs ont été r e l e v é e s aux points où l'écart est m a x i m u m .

On r e m a r q u e sur cette figure que la relation entre les hauteurs p i é z o m é t r i q u e s o b s e r v é e s et t h é o r i q u e s caractérise l'allure générale de l'ensemble du réseau.

Les écarts entre valeurs o b s e r v é e s et t h é o r i q u e s vont en augmentant d'un essai à l'autre; leur maxi- mum est voisin de 5 %.

En comparant la figure 1 7 à la figure 2 5 on s'aperçoit que les c o u r b e s des hauteurs p i é z o m é - triques obtenues p a r la m é t h o d e d e relaxation concordent m i e u x avec les observations que la courbe de D U P U I T - T H I E M .

(10)

V . — R É S U M É E T C O N C L U S I O N ( * )

A ) L a m é t h o d e d e r e l a x a t i o n

Parmi les essais sur m o d è l e qui ont fait partie de la présente r e c h e r c h e , trois cas caractéristiques ont été choisis et soumis à la m é t h o d e de relaxation.

Nos analyses diffèrent des analyses antérieures c o n s a c r é e s à des p r o b l è m e s semblables en c e sens que l'effet de la tension superficielle du fluide sur le réseau d'écoulement fut pris en c o m p t e d'une manière que nous estimons qualitativement exacte si, quantitativement, elle est seulement a p p r o c h é e . Il est à supposer qu'à cette tension superficielle sont dues deux particularités importantes du réseau : la frange capillaire d'une part, et, d'autre part, par suite de la contre-pression s'opposant à l'écoulement

vers l'extérieur, l'absence de débit constatée à la section de sortie, sur une certaine hauteur en dessous de la surface libre. Ces deux effets ont pu être évalués d'après les observations faites pendant les essais sur le m o d è l e et d'après quelques essais complémentaires.

L a c o n c o r d a n c e constatée entre les résultats des essais et ceux de l a m é t h o d e de relaxation est assez bonne. En se basant sur ce groupe de comparai- sons, on peut affirmer que l'écart maximum à pré- voir entre les hauteurs piézométriques réelles et les hauteurs calculées serait d'environ 6 %, dans tous les p r o b l è m e s concernant l'alimentation d'un puits gravitaire.

L a m é t h o d e de relaxation peut donc être considé- rée c o m m e un p r o c é d é analytique sûr, chaque fois o ù l'on a à déterminer le réseau entourant un puits gravitaire. De plus, cette étude de l'alimentation d'un puits a mis en é v i d e n c e la souplesse d e cette m é t h o d e d'analyse dans le maniement des conditions aux limites qui rendent si difficiles l'application des m é t h o d e s classiques.

B ) S u r f a c e libre

1. G É N É R A L I T É S . — L a conception* théorique tradi- tionnelle de la surface libre est celle d'une ligne de courant délimitant de façon b i e n m a r q u é e la partie mouillée et la partie non mouillée d'un milieu p o r e u x où se produit un écoulement gravitaire.

L'analyse par la m é t h o d e de relaxation et, d'autre part, les observations effectuées pendant notre campagne d'essais lui enlèvent une partie de son caractère. Ce n'est ni une ligne de démarcation, ni

(*) Dans ce r é s u m é de nos t r a v a u x , nous a v o n s com- p l è t e m e n t é c a r t é t o u t e c o m p a r a i s o n de nos r é s u l t a t s a v e c c e u x obtenus p a r BABBITT et CÀLDWELL, p a r MUSKAT, p a r YANG et p a r d'autres dont les p u b l i c a t i o n s sont a n t é - r i e u r e s à 1 9 5 1 . Cependant, puisque les r é f é r e n c e s à ces divers c h e r c h e u r s sont données, il est p e u t - ê t r e bon, afin d'être complet, d ' a j o u t e r que de n o m b r e u s e s r e c h e r c h e s publiées plus r é c e m m e n t se r a p p o r t e n t au m ê m e p r o - b l è m e . Deux en p a r t i c u l i e r se r a p p r o c h e n t b e a u c o u p de la p r é s e n t e étude à la fois p a r l e u r o b j e t et l e u r i m p o r - t a n c e : ce sont celles de BOULTON [8] et de HANSEN [ 9 ] .

une ligne d e courant; c'est simplement une ligne particulière d'égale pression. Elle n'en est p a s moins une ligne d'égale pression importante, p a r c e que c'est en s'y rapportant qu'on arrive à mieux définir la limite supérieure de la frange capillaire et aussi p a r c e que cette c o n c e p t i o n d e la surface libre, limite supérieure d e l'écoulement, peut être a d o p - tée dans la pratique courante.

L'aspect de la surface libre vers la p a r o i du puits nous est apparu quelque p e u différent, dans le détail, de ce qu'on se représentait habituellement.

Ce n'est pas une ligne de courant, et à cause d e son

« angle mort », elle n ' a b o r d e pas la p a r o i du puits en incurvant sa tangente c o m m e dans le cas où le fluide filtrant n'aurait pas d e tension superficielle.

Elle ne c o u p e pas non plus à angle droit les lignes équipotentielles.

L'étude de la question a également montré que la tension superficielle détermine un relèvement d e la surface libre sur tout son parcours d'une quantité dont le maximum a lieu à la p a r o i d u puits.

2. E Q U A T I O N S E M P I R I Q U E S . — Du moment qu'il est possible d'obtenir une bonne c o n c o r d a n c e entre ré- sultats théoriques et expérimentaux, il serait utile de p r é c i s e r les équations permettant de situer et d e dessiner la surface libre à partir des rapports carac- téristiques a p p r o p r i é s . Nous nous p r o p o s o n s d o n c d'établir des équations e m p i r i q u e s d'après les résul- tats de nos r e c h e r c h e s .

L a p r e m i è r e équation e x p r i m e la hauteur d e la surface de suintement. R a p p o r t é e , c o m m e d'ordinaire, à une surface cylindrique, elle s'écrira :

(*o — ko\⁼ [ 1 — ( V H P . 4 ]

\ H — h) [ 1 + < V 5 0 ) l o g , ( R / r⁰) ] [1 -f 5 / ( H / r⁰) ]

( 4 )

les symboles indiquent les distances m a r q u é e s sur la figure 2 0 .

D'après la forme du s e c o n d m e m b r e de l'équa- tion ( 4 ) on voit que le plus important des trois rap- ports caractéristiques est h⁰/Û; vient ensuite H / r⁰ et finalement R / r⁰.

L a figure 2 6 est un abaque servant à la résolution de l'équation ( 4 ) . ( R / r⁰) étant le rapport dont les variations se répercutent le moins sur (z⁰ — 7i⁰)/(H — 7i⁰), sa valeur a été fixée à 5 0 0 pour toutes les

courbes. On pourra se servir de cette figure pour déterminer la valeur que p r e n d le rapport (z⁰ — h⁰)/(B. —> h⁰) pour toutes les c o m b i n a i s o n <

possibles des rapports caractéristiques, si l'un d'entre eux est R / r⁰ = 5 0 0 . Pour des valeurs de R / r⁰ autres que 5 0 0 , un coefficient de c o r r e c t i o n (d'ordi- naire insignifiant), peut se déduire facilement de ta forme d e l'équation ( 4 ) .

Mais cette équation ne définit que l'extrémité de la surface l i b r e ; aussi, pour e x p r i m e r l ' e n s e m b l e de son tracé, on utilisera l'équation :

J p j L = 2,5 ' - l l T . ' ; . 1,6 (LZ^Y (5)