ÉCOULEMENT PERMANENT DANS LES CANAUX CONVERGENTS ET DIVERGENTS

M A H S - A V I U L 195-1 L A H O U I L L E B L A N C H E 1 7 9

COMMENTAIRE®

ET DISCUSSIONS

COMMENTS AND DISCUSSIONS

Ecoulement permanent

dans les canaux convergents et divergents'"

Steady f l o w in contracted

and expanded rectangular channels'*'

D a n s l'un des récents numéros de la Houille Blanche a paru un article fort intéressant de M M . E N G E U . ' N D et M U N C H - P E T E K S K N concernant les ondes du g e n r e « de M A C H » dans les canaux.

L e s ondes dans les canaux e l , d'une façon gé- nérale, les ondes de surface libre, ont un inté-

(*) La Houille lllanehe, n" 4, 1953; p . 404 ( E n g l i s l i t e x t ) ; ] ) . 175 ( F r e n c h t e x O .

( " ) N o u s a v o n s eu l'occasion de d i s c u t e r l o n g u e m e n t de ces p r o b l è m e s avec A I . B I E S E I . . i n g é n i e u r a u L a b o r a - toire D a u p h i n o i s d ' H y d r a u l i q u e , q u i n o u s a f a i t p a r t de p l u s i e u r s r e m a r q u e s p a r t i c u l i è r e m e n t i n t é r e s s a n t e s .

rôt considérable en h y d r a u l i q u e ; c'est p o u r q u o i nous c r o y o n s d e v o i r vous faire p a r i de q u e l q u e s - unes des r e m a r q u e s que nous suggère ( " ) l'arti- cle en question. Ces r e m a r q u e s peuvent se classer de la façon suivante :

1. M é t h o d e é l é m e n t a i r e de calcul des angles des ondes de M A C H de faible a m p l i t u d e ; 2. R e m a r q u e s diverses à propos des ondes de

M A C H ;

'A. Etude de l'ensemble des perturbations de fai- ble a m p l i t u d e dans un canal ('ondes de

M A C H et b o u l e ) .

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1954031

1 8 0 L A H O U I L L E B L A N C H E M A H S - A V I U L 1954

I. — C A L C U L D E S A N G L E S E T D E S O N D E S D E M A C H P A R U N E M É T H O D E É L É M E N T A I R E

Considérons un bassin très g r a n d d e p r o f o n - deur u n i f o r m e , dans l e q u e l coule de l'eau, à la vitesse u^m, p a r a l l è l e m e n t à l ' a x e Ox. E n plus, une houle r é g u l i è r e se p r o p a g e dans ce bassin. L e s lignes des crêtes de houle f o r m e n t un a n g l e 6 avec l'axe O x . Si la célérité de cette h o u l e par r a p - p o r t à l'eau ( * ) est u^{O T}s i n 6 , les crêtes d e la houle s e m b l e n t i m m o b i l e s : en effet, elles se d é - placent en glissant sur e l l e s - m ê m e s : figure 1.

gure 3. O n a B C = L : l o n g u e u r d ' o n d e ; D E = b/n; n entier, b, l a r g e u r du canal.

B ^

lignes de crêtes

F i e . :t

FlG. 1

A B est la vitesse r e l a t i v e d e A ; B D la vitesse d ' e n t r a î n e m e n t ; A D est d o n c la vitesse absolue.

Superposons à cette h o u l e une autre de m ê m e célérité ( d o n c de m ê m e l o n g u e u r d ' o n d e ) , m a i s dont les l i g n e s de crête sont s y m é t r i q u e s des p r e m i è r e s par r a p p o r t à Ox : on obtient une boule gauffrée i m m o b i l e (fig. 2 ) .

F I G . 2

D ' o ù :

A D — E D ctg 0 = - _ e l g e

e l :

A D = A C BC 1

sin 0

E n égalant les deux v a l e u r s de A D , on o b - tient :

. = 2

±

I

n

Cette r e l a t i o n donne avec : c — u^m sin 0 et :

2 % L L e s lignes A A ' et B B ' sont des l i g n e s d e sy-

m é t r i e d e la figure. Sur ces droites, les orbites des houles sont égales et en phase : la vitesse d e l'eau y est p a r a l l è l e à O x . O n peut donc placer

« des tôles » v e r t i c a l e s dans le bassin passant par A A ' et B B ' sans p e r t u r b e r l ' é c o u l e m e n t ( p r i n - cipe de m é t a l l i s a t i o n bien connu en é l e c t r i c i t é ) . On constitue ainsi m i canal dans lequel il existe des ondes d e M A C H . L a l a r g e u r D d e ce canal est liée à la l o n g u e u r d ' o n d e L et à l ' a n g l e 6 : fi-

( * ) R a p p e l o n s q u e la h o u l e , c o m m e t o u t e s les o n d e s , se p r o p a g e à c é l é r i t é d o n n é e p a r r a p p o r t a u m i l i e u d a n s l e q u e l e l l e s p r e n n e n t n a i s s a n c e et n o n p a r r a p p o r t à un s y s t è m e d ' a x e s fixes.

( f o r m u l e bien connue de la célérité de la h o u l e ) .

V b cos 0 J b cos 0

Si on fait n = 2, on obtient la f o r m u l e ( 7 ) p a g e 467 de l'article cité. n q u e l c o n q u e d o n n e la f o r m u l e annoncée p a r les auteurs en h a u t d e la p a g e 468. L e s notations sont les m ê m e s dans les deux études.

On peut f a c i l e m e n t d é m o n t r e r que, p o u r cha- que valeur de n > 0, i l existe un et un seul a n g l e

de M A C H .

M A R S - A V R I L 195-1 L A H O U I L L E B L A N C H E 181

On pose à cet effet :

sinO Y ; AMm L . . . ^ x b cos 0

L e s v a l e u r s de X et Y sont données p a r l'inter- section d e :

v „ 1 th n X

et :

X²

Ces deux courbes sont s y m é t r i q u e s par rap- port à l'axe O Y . P o u r X > 0, la p r e m i è r e d é - croît toujours, la seconde croît toujours. D e plus, Y , > Y2 pour X = 0, et Y , < Y2 pour X = =o.

Il n ' y a d o n c qu'une racine Y . O r , Y , est tou- jours positif et Y² toujours i n f é r i e u r à 1, donc il existe un angle 0 et un seul ( c o m p r i s entre 0 et T./2) q u i satisfait l'équation p r o p o s é e . O n peut r e m a r q u e r q u e n = 0 peut d o n n e r u n e onde pos- sible. Dans ce c a s , 6 = r./2. Mais cette onde n'existe q u e si F ^ 1 ; c o m m e on v o i t aisément :

«m

= y

Si « , „ ^ \ / ( / y,„ (c'est-à-dire F ^ 1 ) , il existe u n e longueur d'onde L (et u n e seule) satisfaisant l'équation.

N o u s d é m o n t r e r o n s au p a r a g r a p h e I I I q u e les ondes ainsi trouvées sont les seules qui puissent exister.

I L — R E M A R Q U E S D I V E R S E S A P R O P O S D E S O N D E S D E M A C H

1. L E R E S S A U T .

Dans la théorie classique, l e ressaut est une onde d e M A C H spéciale correspondant à F = l . E l l e est liée à l'onde obtenue pour n = 0. E n réalité, o n sait q u e l e ressaut n e peut pas être obtenu avec les équations linéarisées: p a r con- tre, o n peut calculer de cette façon les ondula- tions q u i peuvent a c c o m p a g n e r l e ressaut ( v o i r l'article d e M . R . L E M O I N E dans la Houille Blan- che, n" 2-1948, p . 1 8 3 ) .

berges inclinées ( i i g . 4 ) , alors q u e si leur angle dépendait d e la hauteur locale, elles d e v r a i e n t être courbes. N é a n m o i n s dans certains cas la théorie classique donne bien des résultats con- f o r m e s à l'expérience. U n e étude a p p r o f o n d i e se- rait nécessaire pour t r a n c h e r ce litige.

3. — R A I D E U R D E S O N D E S D E M A C H .

Considérons un écoulement tel q u e celui r e - présenté sur la figure 5.

2. — - C A N A L D E C A R A C T É R I S T I Q U E S V A R I A H I . E S .

D ' a p r è s ce qui précède, il semblerait, à pre- m i è r e v u e , q u e la direction des ondes de M A C H

ne d é p e n d e , en p r e m i è r e a p p r o x i m a t i o n , q u e d e la h a u t e u r d e l'eau et de la vitesse en chaque point. C ' e s t d'ailleurs ce qu'on admet dans la t h é o r i e classique. O r , en étudiant les houles dans les canaux à fond incliné, on s'aperçoit q u e

Dans un é c o u l e m e n t gazeux on sait qu'il n'existe qu'un seul angle d'onde de choc, et q u e cette onde est effectivement très raide. P a r con- tre, d'après ce qu'on vient de v o i r , il existe en h y -

FIG. 4

Coupe d'un canal à ondes de Mach rectilignes

paroi

le p r o b l è m e esl bien plus c o m p l i q u é . E n effet ( v o i r p a r e x e m p l e dans le livre de H . L A M R : Hy- dronynamics, édition d e 1945, p . 448 et suivan- tes) : les ondes de M A C H déduites de la houle sont p a r f a i t e m e n t rectilignes, m ê m e clans un canal à

ondes de choc — correspondant au» différentes valeurs de

F i e . 6

182 L A H O U I L L E B L A N C H E M A R S - A V R I L 1954

d r u i d i q u e un g r a n d n o m b r e d'ondes de choc ayant des angles différents. O n doit donc s'at- tendre à un é c o u l e m e n t du g e n r e de celui re- présenté sur la figure 6. I l est très p r o b a b l e que l'onde de choc est m o i n s r a i d e et en q u e l - que sorte étalée. C ' e s t d'ailleurs ce q u ' o n o b - serve. L a théorie exacte serait très c o m p l i q u é e .

4. — S I G N I F I C A T I O N E T G R A N D E U R R E L A T I V E , D E S D I F F É R E N T E S O N D E S .

C o m m e on le v e r r a plus en détail au para- g r a p h e I I I , les différentes ondes p r o v i e n n e n t des

perturbations i m p o s é e s aux deux e x t r é m i t é s du canal. D a n s les sections e x t r ê m e s , la s o m m e des ondes doit être égale à ces p e r t u r b a t i o n s . Or, p o u r chaque o n d e de M A C H , la v a r i a t i o n de

» , v ou <I> ( c o m p o s a n t e s de vitesses et p o t e n - tiel) suivant Ou dépend de l ' o r d r e de l ' o n d e ; elle est du g e n r e cos (2 ~ n y/b). Si la v a r i a t i o n de la perturbation est r e l a t i v e m e n t lente suivant Oy, les h a r m o n i q u e s d ' o r d r e élevé ont des a m p l i -

tudes très petites cl seules les ondes d ' o r d r e très bas sont i m p o r t a n t e s . C'est b i e n ce q u e semblent i n d i q u e r les essais relatifs aux figures 3^B et 8^A de l'article cité plus haut. D a n s la t h é o r i e clas- sique, il existe aussi des ondes d ' o r d r e différent.

[ o n a :

M 7c 7! u F k 7Î x \

<î> = s c o s — c o s — - 4 -

fc=o b \ b V I - F ' /

à c o m p a r e r au résultat du p a r a g r a p h e 3 ] , m a i s

leur a n g l e de M A C H est le m ê m e ; leur distinction a donc m o i n s d ' i m p o r t a n c e .

5. R É G I M E T O R R E N T I E L E T R É G I M E F L U V I A L .

On v e r r a au p a r a g r a p h e I I I que la célérité des ondes o b l i q u e s dans un canal est plus g r a n d e que celle des ondes à crêtes p e r p e n d i c u l a i r e s à l ' a x e ; les p r e m i è r e s p e u v e n t donc r e m o n t e r dans un é c o u l e m e n t m ê m e t o r r e n t i e l . L ' é c o u l e m e n t t o r r e n t i e l n'est d o n c pas un é c o u l e m e n t dans l e - q u e l aucune o n d e ne peut r e m o n t e r le courant, m a i s seulement dans lequel aucune o n d e à crête p e r p e n d i c u l a i r e à l ' a x e du canal ne peut r e m o n - ter le courant. E n fait, cette r e m a r q u e n'a q u ' u n e p o r t é e p r a t i q u e très l i m i t é e .

(i. — V A G U E S D E P E N T E .

On sait que la t h é o r i e des ondes de faible am- p l i t u d e en canal de faible p r o f o n d e u r rend c o m p t e de l'instabilité des é c o u l e m e n t s pour les- quels U > kc (k d é p e n d de la v a r i a t i o n du frot- t e m e n t en f o n c t i o n de la h a u t e u r ) . Il apparaît, dans ce cas, des ondes q u ' o n a p p e l l e des « va- gues de pente » . Ces ondes ne sont d'ailleurs possibles qu'en canal r e c t i l i g n e , et bien c a l i b r é . Dans le cas contraire, elles sont r a p i d e m e n t dé- truites p a r des ondes « de t r a v e r s » dans le canal. Ces ondes ayant une célérité plus g r a n d e (me l e s ondes o r d i n a i r e s ne satisfont pas à U > kc.

I I I . — É T U D E D E L ' E N S E M B L E D E S P E R T U R B A T I O N S D E F A I B L E A M P L I T U D E P O U V A N T E X I S T E R D A N S U N C A N A L P R I S M A T I Q U E

1. — C A S D E S O N D E S D E M A C H Q U A N D L A V I T E S S E E S T P A R T O U T C O N S T A N T E D A N S L E C A N A L .

C o n s i d é r o n s l e c a n a l t r a p é z o ï d a l d e la figure 7.

Si l e fluide est p a r f a i t et l ' é c o u l e m e n t i r r o t a t i o n -

3<I>

3 / !

V = gnul <p

V " 3 a ;2 3 ; / - 1 3 z -

— 0 sur l e s p a r o i s et au f o n d . E n p l u s , il

Fie,. 7

e x i s t e u n e c o n d i t i o n à la s u r f a c e l i b r e q u ' o n d é d u i t f a c i l e m e n t d e la r e l a t i o n d e P O I S S O N :

3 <I> 3 2 $

« - f

nel, l e s p e r t u r b a t i o n s d e f a i b l e a m p l i t u d e satisfont aux é q u a t i o n s s u i v a n t e s ( v o i r p a r e x e m p l e L A M B , LOC. CIT., p . 363 et s u i v a n t e s ) :

C e l l e - c i est v a l a b l e q u a n d l'eau est au r e p o s et les p e r t u r b a t i o n s en m o u v e m e n t . Si o n fait un c h a n g e m e n t d ' a x e s X' = X — \T, on o b t i e n t f a c i l e -

M A R S - A V R I L 1954 L A H O U I L L E B L A N C H E

ment la condition pour les perturbations fixes dans un écoulement de vitesse V :

g 1 ± = V2 ^ 3 r

On peut facilement résoudre le problème par la méthode des produits de fonctions orthogonales.

On pose :

D'où :

q>(x;y;z) = A ( y ) .B ( x ; r )

A²B

B = X X, 32 92 \

3 y - 3 z2 y

On sait (voir par exemple le traité classique de

H I L B E R T : Problème der Mathemalischen Physik, tome I , page 310 et suivantes), qu'il suffit dans le cas présent de considérer X réel.

On obtient alors :

ou e X > 0

X < 0 A = cos

V

La condition = fl sur les parois exige X ^ 0.

3/i

Posons :

X = — y.2

d'où :

A — cos u. ;/ et y. /; = A- z (k : entier) Donc :

A = cos '—

b

* = S C,. cos A l L i L B ( . T ; r)

a., b = - ^ i l î : b

o- On pose de même :

B = D ( x ) . E ( r ) d'où :

E " D " A"-' T:- \

v > 0 E . cv ' ' ou c "V"

La condition de fond 0 exige : v < 0 E ch \ / 7 ( ; + H )

v = 0 E = cos \ / v (z + H ) v = 0 E = 1

La condition de surface libre devient :

„ Ut d + V ^ E D " = 0

J dz

ou :

Etudions d'abord le cas v > 0. On en déduit

\ / v tli V~I H

„ _ . . . _ _

V-'

\-/G étant positif, il faut que v > A- « / / > . Quand v

\ / 7 tli \ A v H

croit de A- n/f> à -X. l-i -•_> décroît régulière- ment de oo à 0 (sauf pour A == 0 ) , comme on le voit en calculant la dérivée. Pour chaque valeur de À- 0 ) , il n'y a donc, qu'une racine de v, nous l'appellerons a-'. Pour A- ^ 0, il se produit la singu- larité trouvée précédemment, a existe ou n'existe pas selon que F =g 1 (cf. § I ) .

D'où, pour :

xth a H

y

E := ch a ( : 4 - H)

I) cos ( y / r - .T + ?

Ces expressions fournissent une première partie du potentiel <I> :

0 0 A' s H

-, -s.-- 2 C,. cos — •' ch %(: + 1 1 )

v ^ 0 fournil une autre partie du potentiel.

On pose :

d'où :

L A H O U I L L E B L A N C H E M A R S - A V R I L 1951

Cette équation a bien une infinité simple et dé- nombrabte de racines pour chaque valeur de À-, comme on s'y attendait : en effet, si (î est grand, il y a une racine voisine de chaque nombre :

p = ( 2 n + l ) s/2 (n entier).

D'où la deuxième partie de <I> : k r.

C'j. cos S F eos ? (r + H )

0 k

I

Evidemment :

C \ V '

<I> = ' ! > ! + $ o

&2

x + 9

On démontre facilement qu'en général <l>2 repré- sente une perturbation, s'éteignant comme e-Px à partir de chaque extrémité (si le canal a une lon- gueur / ; <I>.> se décompose en deux parties, l'une multipliée par t-Px et l'autre par e - P V - ® ) , le terme e+Px est donc bien un terme décroissant vers l'in- térieur du canal).

On voit que les diverses ondes de <I>, servent à

« ajuster » les perturbations transversales, comme il a été dit, alors que les perturbations de <1>L, ser- vent à « ajuster » les perturbations verticales (cel- les-ci ont donc un effet qui « s'éteint » très vite dans le canal).

Calculons la plus petite valeur de fi, qui donne la perturbation la moins amortie. On trouve (k = 0;

3 = 0 s'intègre dans <1>, et non <P„) :

2. — C A S D E S O N D E S D E M A C H Q U A N D L A R É P A R T I T I O N D E S V I T E S S E S N ' E S T P A S U N I F O R M E .

Nous conserverons les mêmes notations que ri- dessus. Les équations de départ sont dans ce cas :

V^A rot V + grad ^{I I}

2 ^y~ +ffz ) = 0

i J

div V = 0

Admettons qu'il existe dans le canal un écoule-

— » —>

ment V voisin d'un autre écoulement U connu et

donné par U = [ U ( r ) ; 0; 0 |. Posons V = U + v et

— »

considérons v = (u; v; w) comme une quantité très

—>

petite par rapport à U. Les équations linéarisées sont alors :

U ^du_

du dx

+

U

U _3y

311 1

~és p dx

du 1 dp

~dx p vu

dlV 1 dp

dx v dz

+

En posant p/ç, — f 'v et en éliminant du/dx, on obtient :

Vi> = f'y + <p (y; z)

Uiv = + + ( y ; r )

TT 3 " TT dW S U ..„

— U U + w — /

9i/ 3r 3z ^x-

o et '\i étant des fonctions arbitraires (l'intégration.

Ces fonctions ne contenant pas x peuvent être né- gligées si on fait abstraction des perturbations s'étei- gnant suivant O x .

avec : U " = ( P U En éliminant v et / , on trouve :

U "

A u> = w

, ! U

On peut écrire :

U ==U„ + 1 1 , . - + \).,z*+ ...

Si on veut tenir compte de plus de trois termes, les calculs deviennent délicats; nous nous limite- rons ici aux calculs faciles.

On en déduit :

As w = a w En posant :

w = A (.r; y ) B ( r )

et en négligeant toujours les perturbations secondaires, on obtient :

A0 A = 1 A

u> = S sh \ / À2 + a (z + H ) . A

eh + a (r + I I ) U'

u V'P~+ô

M A R S - A V R I L 195-1 L A H O U I L L E B L A N C H E 185

On pose : 3 A^X

3tf

= B (x) . C (y) D'où :

,. k * ii C = s i n

b

B = sin ( X y / À * k*j^

f>2 + 9

La condition de surface libre est :

<7iti = U'2 = — H ~ L 4- DX \ ?>Y

div

On en déduit les valeurs propres de X : + <i t h \ / X - + u I I

A-2 •

t:~

Les angles de M A C H sont toujours donnés par cos 6 =

bl

Appelons 6, l'angle de M A C H calculé avec a (/

et 82, l'angle de M A C H compte tenu de la répartition non uniforme des vitesses. On en déduit :

tg G2 = y / tgî 6X

A--' ^

En pratique, « est négatif, soit n — — c, donc :

y k<- •K-

c'est-à-dire 0² > 0^L.

Les ondes ne peuvent donc jamais être plus in- clinées qu'une certaine valeur :

02 > arc tg b \/c kz "

La courbure moyenne des répartitions des vites- ses est telle que c est de l'ordre de :

1 1 . 1 1

3 H* U 30 H 2

selon la rugosité des canaux (en écoulement tur- bulent).

3. - C A S I > K L A U O I L I : .

Un calcul analogue à celui du paragraphe 1 donne :

$ = <I>, + <I>² -f <J>^;i A 7t ;/

•f, -

'1'.,

ï; c^;. cos A- 7t2'

ch v (r + U ) cos L X

y - -

A - - A - H 1

a

±1.1

™ A" ~ i/

v C " , cos — - - - £ F ^s cos B (r /-=o b i

+ H ) ch X y / . -Al j i - + 4

f A-

ou

2 T.

v th v I I = ( <o : pulsation =-=

' 9

S tg 3 H = — -

A"j est défini par :

—

_'

I V . — C O N C L U S I O N S P R A T I Q U E S D E L ' É T U D E T H É O R I Q U E

L — F O R M A T I O N D E S P E R T U R B A T I O N S D U G E N R E

« O N D E D E M A C H » .

Il est clair q u e l'on peut injecter de l'eau dans un canal de façon à ne pas p r o d u i r e d'onde de

M A C H : il suffit de bien choisir la distribution des vitesses à l'entrée (fig. 8 ) .

E n général, l'eau n'entre pas de cette façon dans le canal ( e x e m p l e fig. 9 ) .

180 L A H O U I L L E B L A N C H E M A R S - A V R I L 1954

Dans la section d ' e n l r é e , la surface l i b r e est courbe el la vitesse v a r i e d'un p o i n t à un autre.

L e calcul m o n t r e q u e si certaines différences se

B

F I G . 8

F I G . Ï)

compensent, d'autres d e m e u r e n t . En p a r t i c u l i e r les différences dans le sens v e r t i c a l disparaissent r a p i d e m e n t . L ' é c o u l e m e n t , et p a r conséquent la surface libre, tend v e r s une f o r m e l i m i t e . Cette d i s p a r i t i o n n'est p r a t i q u e m e n t f o n c t i o n q u e de la l a r g e u r de l ' é c o u l e m e n t . E n p r a t i q u e ce g e n r e de p e r t u r b a t i o n s ne peut pas se calculer. E n effet, le calcul a d m e t une r é p a r t i t i o n des vitesses pres- que u n i f o r m e , ce qui n'est j u s t e m e n t pas réalisé dans la z o n e où ces p e r t u r b a t i o n s ne sont pas encore éteintes.

L e s différences dans le sens h o r i z o n t a l don- nent lieu à des p e r t u r b a t i o n s q u i ne s'éteignent pas (en l i q u i d e parfait"), ces p e r t u r b a t i o n s sont les vraies « ondes de M A C H » .

E n lluide parfait, ces ondes dépendent en p r i n c i p e des deux e x t r é m i t é s du canal. 11 faut effectivement ajuster deux constantes : a m p l i - tude el phase p o u r chaque onde. E n p r a t i q u e , quand le canal est assez l o n g et assez rugueux, les ondes s'éteignent le l o n g de son axe, et il se f o r m e deux f a m i l l e s i n d é p e n d a n t e s de perturba- tions à chaque e x t r é m i t é du canal, chacune ne dépendant é v i d e m m e n t que des conditions dans son v o i s i n a g e .

L e u r extinction est beaucoup m o i n s r a p i d e que celle des ondes considérées plus haut qui s'étei- gnent m ê m e en fluide p a r f a i t .

2. — I N F L U E N C E D E L A R É P A R T I T I O N D E S V I T E S S E S D A N S U N E S E C T I O N .

D a n s la théorie classique ( s h a l l o w w a t e r I h e o r y ) on ne peut pas f a c i l e m e n t t e n i r c o m p t e de c e l l e influence. L e calcul plus c o m p l e t m o n - tre q u ' e l l e i n t e r v i e n t r e l a t i v e m e n t beaucoup.

Une v a r i a t i o n l i n é a i r e des vitesses est sans in- fluence, par c o n t r e les d é r i v é e s supérieures, c'esl- à-dirc les détails de plus en plus poussés de la r é p a r t i t i o n , i n t e r v i e n n e n t :

E x e m p l e : P o u r F = 4 ; b = 3 y , „ ; on a : p o u r l ' o n d e p r i n c i p a l e :

0 ! # 8 °

Si la rugosité est m o y e n n e , on a, par e x e m p l e :

_ J

C~ ~ 9 H - D'où :

0 , , # 2 1 "

3. — H O U L E .

On voit a p p a r a î t r e ici un p h é n o m è n e très cu- rieux du point de vue m a t h é m a t i q u e ( m a i s p h y - siquement é v i d e n t (cf. g 1 ) : seules un certain n o m b r e de p e r t u r b a t i o n s du g e n r e :

cos (k iu y/b) ch v (z + H ) / (x)

se conservent le l o n g du canal, les autres s'amor- tissent. L e s p r e m i è r e s c o m p r e n n e n t la houle or- d i n a i r e k — 0 et une houle « croisée » : la houle de J E F F R E Y S . L e n o m b r e k^ est le plus grand n o m b r e qui vérifie l ' i n é g a l i t é :

L élant la l o n g u e u r d'onde de la houle à crête p e r p e n d i c u l a i r e aux parois du canal ayant la pul- sation (O.

Si :

aucune houle de J E F F R E Y S n'est possible (seul k = 0, valeur donnant la houle o r d i n a i r e , satis- fait alors à :

k % 2 7î «

~T~ L ' '

Ceci est une r e m a r q u e très i m p o r t a n t e . E n effet, on a d m e t souvent en p h y s i q u e q u ' u n sys- t è m e est « à une d i m e n s i o n spatiale » si les l o n - gueurs transversales sont « petites » d e v a n t la longueur d'onde. D a n s ce cas, « petites » s i g n i - fie donc plus petite q u e L / 2 (ou plutôt L / 3 p o u r que les perturbations dues aux e x t r é m i t é s s'étei- gnent assez v i l e ) . Si on excite un s y s t è m e long, par e x e m p l e un canal à houle contenant des obs-

M A R S - A V R I L 1954 L A H O U I L L E B L A N C H E 187

lactés ( i i g . 1 0 ) , on o b l i e n l en IS soil une houle r é g u l i è r e , si :

soil de « l'optique géométrique. » si A'j est i m - mense ( l i g . 1 3 ) .

Fio. 10

m y i

Ml

F i e . 13

b < - i - (ligure 2 ) ,

soit une houle r é g u l i è r e plus 1 ; 2 ; . . . À', hou- les de J E F F R E Y S (figure 11) si :

(A-, - f 1 "<7 b > A',

soit une figure de diffraction (au sens de l'opti- que p h y s i q u e ) si A-, est très grand (ligure 1 2 ) ;

FIG. 12

L a c o n d i t i o n b < L / 2 est la raison p o u r la- q u e l l e les g u i d e a u x des batteurs à houle d o i v e n t a v o i r un é c a r t e m e n l plus petit q u e L / 2 .

Si b = {k L / 2 ) , il y a une résonance trans- versale. E l l e est p a r t i c u l i è r e m e n t spectaculaire en canal c o n v e r g e n t si la largeur du canal passe par la v a l e u r k L / 2 (en g é n é r a l k — 1 ) . R e m a r - quons enfin q u e les houles de J E F F R E Y S ont une célérité plus g r a n d e que. les houles o r d i n a i r e s .

Il y a donc très p r o b a b l e m e n t des ondes du genre « à I r o n t raide » allant plus v i l e q u e \/g M dans un canal. E x p é r i m e n t a l e m e n t on vérifie d'ailleurs que dans un canal à houle l'eau bouge un peu, bien avant que l'onde à célérité V < / H émise par la m i s e en m a r c h e du batteur ait at- teint le p o i n t c o r r e s p o n d a n t (en l'ail, cela pour- rait être dû à d'autres p h é n o m è n e s que ceux étu- diés i c i ) .

O n p o u r r a i t encore faire bien d'autres r e m a r - ques à ce sujet, en p a r t i c u l i e r é v a l u e r les para- sites dus à un batteur dont les sections h o r i z o n - tales ne sont pas p a r f a i t e m e n t des droites per- pendiculaires à l'axe du c a n a l ; ou étudier les batteurs « serpents » .

R . M E Y E R ,

Ingénieur au Laboratoire Dauphinois d ' H y d r a u l i q u e ( N'ey r p i c - G r c n o b l e ) ( * ) .

Avant de publier ces longs commentaires de M . M K Y K R , nous en avions fait part aux auteurs de l'article original : M M . E N G F . U N D el M E N C H - P E T E R S E N . Ces derniers nous ont alors adressé en quel- ques lignes des remarques que nous nous faisons un plaisir de reproduire ci-après.

It bas been a pleasure fur us to read the m a n y i n t e r e s l i n g c o m m e n t s given by M r . M E Y E R

in a letler of N o v e m b e r 3, and w e should like to add the f o l l o w i n g r e m a r k s .

In A e r o d y n a m i c s it seems c o m m o n to m a k e a distinction b e t w e e n " M a c h - w a v c s " and " s h o c k - w a v e s " . T h e M a c h - w a v e s m a y in principlc be accounted for by the linearized équations, because the loss of head is negligible, w h i l e the c o m p u l a t i o n of the shock-waves is g e n c r a l l y far m o r e c o m p l i c a t e d as they are characlerized by a considérable increasc of entrophy.

C ) M a n u s c r i t reçu en n o v e m b r e l'.l,^r>3 ( N . D . L . R . ) .

C'est avec plaisir que nous avons pris connais- sance de tous les intéressants c o m m e n t a i r e s contenus dans la lettre de M . M E Y E R du 3 no- v e m b r e dernier, el nous a i m e r i o n s y ajouter les quelques r e m a r q u e s suivantes.

En a é r o d y n a m i q u e , on fait c o u r a m m e n t la dis- tinction entre les « ondes de Mach » et les « on- des de c h o c » . L e s « o n d e s de M a c h » peuvent, en principe, être traitées par des équations li- néarisées, car la perle de charge est n é g l i g e a b l e ; par contre, les calculs concernant les « ondes de choc » sont généralement beaucoup plus c o m p l i -

188 L A H O U I L L E B L A N C H E M A R S - A V R I L 1954

lu H y d r a u l i c s the c o n d i t i o n s are q u i t e similar.

It w o u l d c e r t a i n i y be c o r r e c t to niake a distinc- tion betvveen w a v e s o f small a m p l i t u d e and real

" s h o c k - w a v e s " w h i c h are n o t h i n g but o b l i q u e h y d r a u l i c j u m p s . H o w e v e r , such a distinction does not seem to be c o n v e n t i o n a l . T h e transi- tion b e t w e e n the t w o vvave-forms is quite g r a - duai.

Considering the faet that the t h e o r y of steady flow i n an infinitely l o n g channel w i t h infini- tésimal perturbations (the t h e o r y d e v e l o p e d in our p a p e r ) is in godd a g r e e m e n t w i t h the ex- p e r i m e n t s , w e must c o n c l u d e that in thèse e x - p e r i m e n t s the w a v e s are not real " ' s h o c k - w a v e s " , since t h e y can be accounted for vvithoul c o n s i d e r i n g t h e loss o f h e a d .

T h i s is r e m a r k a b l e because the w a v e fronts are r e l a t i v e l y sharp, and the a m p l i t u d e s rela- t i v e l y great ( c o m p a r e fig. 8 ) , so that it w o u l d be natural in the first instance to talk about

" sliock fronts " .

P e r h a p s the insufficiency of the traditional shock-w-ave c o n s i d é r a t i o n s are m o s t s t r i k i n g l y d e m o n s t r a t e d b y our fig. 9. It is usually sup- posed that the w a v e s are crossing the channel b e i n g rellected f r o m the w a l l s .

In fig. 9 and 1 0 it vvill be seen that a w a v e m a y disappear at the w a l l , a n c w w a v e f r o n t b e i n g f o r m e d a little d o w n s t r e a i n at the opposite w a l l .

qués, car elles sont caractérisées par une consi- d é r a b l e a u g m e n t a t i o n de I' <? e n t r o p i e >.

E n h y d r a u l i q u e , il en vu tout à fait de m ê m e . Il serait c e r t a i n e m e n t c o r r e c t de d i s t i n g u e r les ondes de p e t i t e a m p l i t u d e et les v é r i t a b l e s « on- des de choc » q u i ne sont autres que des res- sauts o b l i q u e s . Cependant, une telle distinction ne parait pas c o u r a m m e n t a d m i s e . L a transition entre ces deux types d'ondes est très g r a d u e l l e . C o m p t e tenu de ce que la t h é o r i e de l ' é c o u l e - ment p e r m a n e n t dans un canal i n f i n i m e n t long, siège de p e r t u r b a t i o n s très petites (c'est la t h é o - rie que nous d é v e l o p p o n s dans n o t r e a r t i c l e ) est en b o n a c c o r d a v e c les résultats e x p é r i m e n t a u x , nous d e v o n s c o n c l u r e q u e , dans ces essais, les ondes ne sont pas de v é r i t a b l e s « ondes de choc » , puisqu'elles p e u v e n t être traitées sans te- nir c o m p t e de la perte de c h a r g e .

Ceci est r e m a r q u a b l e , car les fronts d'ondes sont r e l a t i v e m e n t raides, et les a m p l i t u d e s relati- v e m e n t g r a n d e s ( n o t r e figure 8 ) , si bien q u ' i l se- rait n o r m a l , dans le p r e m i e r e x e m p l e , de p a r l e r de « fronts de c h o c » .

P e u t - ê t r e l'insuffisance des d é v e l o p p e m e n t s classiques sur les « ondes de choc » apparais- sent-il plus c l a i r e m e n t dans n o t r e figure 9. On suppose, g é n é r a l e m e n t , q u e les ondes traversent le canal après réfiection sur les p a r o i s .

Sur les figures 9 et 1 0 , on v e r r a qu'une onde peut s'éteindre c o n t r e la p a r o i , un nouveau front d'ondes prenant naissance sur la p a r o i opposée, un peu à l'aval.

F r a n k E N G E L I ' N D .