Topologie de Zariski, lemme de Nakayama (TD10)
FIMFA Algèbre 2 (Tony Ly), Mai 2012
Exercice 1
a) Soit f : A → B un morphisme d'anneaux. Montrer que l'image inverse par f induit une application continue f] : SpecB→SpecA.
b) Soit I un idéal de l'anneau A et soit p : A → A/I la projection canonique. Montrer que p]: SpecA/I→SpecA induit un isomorphisme deSpecA/I sur le ferméV(I) deSpecA. c) Montrer queSpecAredest canoniquement homéomorphe à SpecA.
Exercice 2
SoitX un sous-ensemble compact de Rn. On note C(X,R) l'anneau des fonctions continues surX à valeurs dansR.
a) Montrer que les ensemblesUf ={x∈X | f(x)6= 0} pourf ∈C(X,R) forment une base de la topologie de X.
On noteSpecMaxC(X,R)le sous-ensemble deSpecC(X,R)constitué des points fermés. On rappelle quex7→Mx={f ∈C(X,R) |f(x) = 0}induit une bijection ensembliste
ϕ:X −→∼ SpecMaxC(X,R).
b) Munir SpecMaxC(X,R) d'une topologie faisant deϕun homéomorphisme.
c) La comparer avec la topologie de Zariski.
Exercice 3
Soient k un corps et n ≥ 1 un entier. La topologie de Zariski sur kn est la topologie induite par la topologie de Zariski de Spec(k[x1, . . . , xn]) via l'inclusion canonique kn ⊆ Spec(k[x1, . . . , xn]). Supposons k inni. Montrer que la topologie de Zariski sur k2 n'est pas la topologie produit sur k×koù kest muni de la topologie de Zariski.
Exercice 4
Soit Γ ={(n,2n,3n) |n ≥1}, que l'on verra, selon les cas, comme un sous-ensemble de Q3 ou de F3p pour ppremier.
a) Montrer queΓ est Zariski dense dans C3.
Soientp un nombre premier etFp une clôture algébrique de Fp. b) Montrer queΓ est fermé pour la topologie de Zariski dansF3p. c) Déterminer explicitement Γdans F32 etF33.
Exercice 5
a) Montrer que tout sous-espace de Cn connexe pour la topologie standard est aussi connexe pour la topologie de Zariski.
b) Exhiber un contre-exemple à la réciproque.
c) Exhiber l'exemple d'un espace Zariski connexe mais non irréductible.
Exercice 6
Parmi les sous-variétés suivantes de C2, déterminer lesquelles sont irréductibles, et préciser leurs
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composantes irréductibles :
V(Y2−X), V(XY), V(X2+Y2), V(Y2−X3−X).
Exercice 7
SoientA un anneau commutatif local etM un A-module de type ni.
a) En utilisant le lemme de Nakayama, montrer que les familles génératrices minimales de M ont même cardinal.
b) Rappeler un contre-exemple d'une telle armation pour unZ-module.
Exercice 8
Soientkun corps et Al'anneau local k[x, x1/2, x1/3, . . .]/(x), d'idéal maximal M.
a) Montrer que l'idéalM et leA-module Mfournissent un contre-exemple à l'énoncé du lemme de Nakayama dans lequel on elèverait l'hypothèse de nitude.
On va maintenant donner deux cas pour lesquels on a un lemme de Nakayama sans hypothèse de nitude.
SoientR un anneau commutatif unitaire,I un idéal et M unR-module vériantIM =M. b) Supposons I nilpotent, c'est-à-direIn= 0pour un certain n≥1. Montrer que M est nul.
SupposonsR gradué, c'est-à-direR= L
n≥0
Rn avecRaRb ⊆Ra+b pour tousa, b≥0, etI ⊆Rm pour un certainm >0. On suppose aussi queM est gradué, c'est-à-direM = L
n∈Z
Mn avecRaMb ⊆Ma+b
pour tousa∈N, b∈Z.
c) Supposons Mn= 0 dès quen≤n0 pour un certainn0 ∈Z. Montrer que M est nul.
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