OPÉRATEURS DIFFÉRENTIELS, SCHÉMA DES ARCS ET SINGULARITÉS
JULIEN SEBAG
Soit X une variété algébrique. On peut associer à cette donnée l’espace des germes de courbes (formelles) tracées aux points de X. L’objet géométrique ainsi obtenu, appeléschéma des arcsdeX, ainsi que ses avatars, constituent depuis une vingtaine d’années un sujet d’étude important à l’origine de nombreux travaux mar- quants dans différentes directions de la géométrie algébrique en un sens très large (géométrie birationnelle, géométrie arithmétique, singularités,. . . ). Ces travaux font par ailleurs appel, pour leur étude, à diverses sources d’inspiration issues de la géométrie, l’algèbre ou la logique ; le schéma des arcs permet d’en faire une sorte de synthèse.
Le sujet de thèse que nous proposons s’inscrit dans une voie récente qui con- necte la théorie des opérateurs différentiels et l’étude des singularités des variétés algébriques au travers de la structure schématique du schéma des arcs. L’idée générale de la thèse sera de mieux comprendre cette connexion en résolvant deux ou trois questions précises. Idéalement, le travail de la thèse devrait permettre de traduire les caractéristiques de la structure schématique du schéma des arcs de la variétéX en termes de celles des singularités deX, en interprétant ce problème par le biais des opérateurs différentiels. Les résultats ainsi espérés seront totalement nouveaux sur le fond et les méthodes.
Idéalement, nous souhaiterions encadrer la candidate ou le candidat pendant un stage de M2 qui sera l’occasion de comprendre les outils de base mis en jeu.
Une bonne connaissance des fondamentaux de la géométrie algébrique (EGA I) est recommandée ; des compétences en programmation sous SAGE pourraient être utiles.
Institut de recherche mathématique de Rennes, UMR 6625 du CNRS, Université de Rennes 1, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes cedex (France)
Email address:julien.sebag@univ-rennes1.fr
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