III − Notations O et o de Landau pour les fonctions
1) Fonction domin´ ee par une autre
D´efinition 11 (Fonction domin´ee par une autre, notation O)
Soient I un intervalle non vide de R, a un point de I ou une extr´emit´e de I, f: I → Rune fonction, g:I→Rune fonction ne s’annulant pas surI\ {a}.
On dit quef est domin´ee parg au voisinage de a, et on notef(x) =
x→aO(g(x)), s’il existe une fonction β:I→R telle que :
(1) β est localement born´ee ena; (2) f =βg.
Th´eor`eme 22 (Caract´erisation d’un O via un quotient)
Soient I un intervalle non vide de R, a un point de I ou une extr´emit´e de I, f: I → Rune fonction, g:I→Rune fonction ne s’annulant pas surI\ {a}.
L’assertion f(x) =
x→aO(g(x))est ´equivalente `a : (A) la fonction f
g, d´efinie sur I\ {a}, est localement born´ee ena; (B) f(a) = 0, sig est d´efinie et nulle ena.
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Preuve du th´eor`eme 22✍
Exemple 22 1. Justifier que :sin(x) =
x→+∞O(1)
et interpr´eter plus g´en´eralement ce que signifie ˆetre domin´ee par 1 pour une fonction.
2. Montrer que :
x2+ 2x =
x→0O(x).
2) Fonction n´ egligeable devant une autre
D´efinition 12 (Fonction n´egligeable devant une autre, notation o)
Soient I un intervalle non vide de R, a un point de I ou une extr´emit´e de I, f: I → Rune fonction, g:I→Rune fonction ne s’annulant pas surI\ {a}.
On dit que f est n´egligeable devant g au voisinage de a, et on note f(x) =
x→a o(g(x)), s’il existe une fonction ε: I→R telle que :
(1) ε(x)x→a→ 0; (2) f =εg.
Th´eor`eme 23 (Caract´erisation d’un o via un quotient)
Soient I un intervalle non vide de R, a un point de I ou une extr´emit´e de I, f: I → Rune fonction, g:I→Rune fonction ne s’annulant pas surI\ {a}.
L’assertion f(x) =
x→ao(g(x))est ´equivalente `a : (A) f(x)
g(x) x→a→ 0;
(B) f(a) = 0, sig est d´efinie et nulle ena.
Preuve du th´eor`eme 23 : Analogue `a celle du th´eor`eme 22.
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Exemple 23 1. Montrer que :sin(x) =
x→+∞o(x).
2. Montrer que :
x2 =
x→+∞o(x5) et x5 =
x→0o(x2) et proposer une g´en´eralisation de ces deux r´esultats.
3. Justifier que :
ln(x) =
x→0+o Å1
x ã
.
Th´eor`eme 24 (Op´erations sur les n´egligeables)
SoientI un intervalle non vide de Retaun point de I ou une extr´emit´e deI.
1. Simplification par un constante non nulle
Soientf:I→Rune fonction,g:I→Rune fonction ne s’annulant pas surI\ {a},λ∈R∗. Alors :
(a) λf(x) =
x→ao(g(x)) ⇒ f(x) =
x→ao(g(x)) (b) f(x) =
x→ao(λg(x)) ⇒ f(x) =
x→ao(g(x))
2. N´egligeabilit´e et multiplication par une fonction
Soientf:I→Rune fonction,g:I→Reth:I→Rtrois fonctions ne s’annulant pas surI\ {a}, λ∈R∗.
Alors :
f(x) =
x→ao(g(x)) ⇒ f(x)h(x) =
x→ao(g(x)h(x)).
3. Somme de deux fonctions n´egligeables devant une mˆeme troisi`eme
Soientf1: I→R,f2:I→Rdeux fonctions,g:I→Rune fonction ne s’annulant pas surI\ {a}. Alors :
f1(x) =
x→ao(g(x))etf2(x) =
x→ao(g(x)) ⇒ f1(x) +f2(x) =
x→ao(g(x)).
4. Produit
Soientf1:I →R,f2:I →R deux fonctions,g1:I →R,g2:I →R deux fonctions ne s’annulant pas surI\ {a}.
Alors :
f1(x) =
x→ao(g1(x))etf2(x) =
x→ao(g2(x)) ⇒ f1(x)f2(x) =
x→ao(g1(x)g2(x)).
5. Transitivit´e
Soientf:I→R,g:I→R,h:I→Rtrois fonctions ne s’annulant pas surI\ {a}. Alors :
f(x) =
x→ao(g(x))etg(x) =
x→ao(h(x)) ⇒ f(x) =
x→ao(h(x)).
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Preuve du th´eor`eme 24✍
Exemple 24 1. Montrer que :3x4−2x5+ 7x6 =
x→0o(x3).
2. Montrer que :
x4sin(x) =
x→0o(xsin(x)).
Th´eor`eme 25 (Formulation des r´esultats de croissances compar´ees `a l’aide de o) Soientα >0,β >0et a >1.
1. (ln(x))α =
x→+∞o(xβ) 2. xα =
x→+∞o(ax) 3. (ln(x))α =
x→+∞o(ax) 4. (ln(x))α =
x→0+o Å 1
xβ ã
Preuve du th´eor`eme 25 : En utilisant la caract´erisation d’un o par un quotient (cf. th´eor`eme 23), ces diff´erents ´enonc´es se r´e´ecrivent sous la forme du dernier th´eor`eme intitul´eCroissances compar´eesdu chapitre IIIFonctions usuelles.
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Exemple 25 Montrer que :(ln(x))3+√
x ex3 =
x→+∞o(ex).
3) Domination versus n´ egligeabilit´ e
Th´eor`eme 26 (O versus o)
Soient I un intervalle non vide de R, a un point de I ou une extr´emit´e de I, f: I → Rune fonction, g:I→Rune fonction ne s’annulant pas surI\ {a}.
f(x) =
x→ao(g(x)) ⇒ f(x) =
x→aO(g(x)).
