Solution de la question 478

(1)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

G. W IART

Solution de la question 478

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 19 (1860), p. 283-285

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(2)

SOLUTION DE LA QUESTION 47g

(voir t. XVlil.p. 171) ; PAR M. G. WIART,

Élève du lycée de Douai (classe de M. David).

A,B, C, trois points fixes; A B = C, BC = a, CA = b\

B

a c /

P

D

\

E |C

1

a, (3, y, distances respectives des trois points à une droite fixe : on a

a'a2 + b2^ -4- c7f — (a2 + b* — c2) ap — ( ^ 4- c2 — a2) p7

— (c2 H- rt' — £*) ya = 4 S%

S = aire du triangle ABC (Salmon).

(3)

Soient

ÀÀ' = a, B B ' = p , C C ' = 7 , on a

surf. AA'C'CB = 1 (p +⁷) B'C' 4- - (P + a) A'B', surf. ÀÀ'C'C = - ( a + 7) B ' C/+ - ( a + 7) A'B', d'où, en retranchant, on tire

2S = (p— a)B'C' -H (p — 7) A'B'.

Élevant les deux membres au carré, il vient

4 S » = ( p ~ a ) ' B⁷C^}V ( p - 7 )²Â⁷B ' ' V 2 ( p — a)(p—y) X B ' C ' X À ' B ' .

Par C, je mène une parallèle à A'C/$ dans le triangle rec- tangle ADC, on a

AC*- ÀD*= (A'B' -+- B'C')%

ou

(i) AÎC —i5—A7B'J~-B7C'2==2A'B'XB'C'.

Par les points A et C, je mène des parallèles à A'C' et dans les triangles ABF, BEC ainsi formés, on a

AF ou A ' B ' : = c ' - (p — a)%

et

Ê c ' ou ÏÏC*=a*— (p — y)2.

Je porte dans (i) ces \aleurs de A'B' et B'C' et je remplace AC et AD par leur valeur, on a

* > _ (a_ y)2_ [ c ' - ( p - «)!1 - [ «2- ( P - 7 ) ' ] =2A'B' X B'C', V

(4)

OU) toute réduction faite, ^ j £

6² — c² — à¹ -f- 2 (p² -4- «7 — P« — Pv) = aA'B' ><TB'C'.

On remarque ici que (|52-f- «y — j3a — j3y) est égal au pro- duit ((3 — a) (|3 —y). Je remplace maintenant dans l'ex- pression de 4S2, 2 A;B' X B'C' par sa valeur trouvée et je

remplace B'C', A'B'par leur valeur, on obtient 4 s » = ( p - « ) ' [ « ' - ( P - 7 )²] + ( p - 7 ) ' [ *²- ( ? - «)²]

^- (P — «) (P — 7) [&»—«»— c» ^- a fp — «) (p — 7)], ou

4 S ' = =^{f l}' ( p - a ) ' + c'(p —7)»-*. ( p - . « ) ( p -⁷) ( ^ —«^a —c³).

En effectuant les calculs et les réductions et disposant les termes convenablement, on arrive à la relation

C. Q. F . D .