N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
E. L EMOINE
Note sur une question d’arithmétique
Nouvelles annales de mathématiques 2
esérie, tome 9 (1870), p. 368-369
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NOTE SUR UNE QUESTION D'ARITHMÉTIQUE ;
PAR M. E. LEMOINE,
Professeur.
Toute puissance entière ^ d'un nombre entier lpeut être obtenue en prenant la somme de lk termes consé-
(*) Théorème connu de Timmermans et de Lenthéric. (Voir Nouvelles Annales de Mathématiques, 2e série, t. V, p. 3i6. )
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cutifs de la suite des nombres impairs, ^ ft, / étant entiers et positifs, et u> ai.
En effet la somme de /* nombres consécutifs de cette suite est
2/*— l)™î
II suffit donc de démontrer que Ton a toujours pour n une valeur entière et positive satisfaisant à l'équation d'où
ce qui est toujours possible, car l'un des nombres /*, /**-**— i est pair.
Dans le cas de p. = 2 A", on trouve
résultat facile à prévoir, puisqu'on sait que
En faisant varier // et A, on retrouve beaucoup de résul- tats counus et d'autres à volonté.
Je ferai remarquer seulement le suivant, qui corres- pond au cas de p. = 5, h = 2 :
Si Von divise la suite des nombres impairs, à partir dei,en groupes tels que les 1er, iième, 5< è w e, . . . , ( 2 n — 1 )ième groupes aient respectivement is, 2 % 3 % . . • , « * termes, et les 2l'm e, 4<èm% 6l è m% . . . , 2 7ilèmff groupes respectivement 1, 3 , 6 , . . . , — termes (suite des nombres triangu- laires), n* sera la somme des termes du (2/1 — 1 )ième groupe
et I 7~±! ld (an -f-1) celle du 2«"'w groupe.
Ann. de M ai hé ma t., 2e série, t. IX (Août 1870.' 2UJ.
