A626. Une partition impossible
Nous vérifions qu’aucun élément de{1. . .16,18,19,20,22,24,30}ne peut s’exprimer comme la somme de quatre nombres premiers distincts.
Le raisonnement qui suit s’appuie sur la conjecture de Goldbach :
• Schnizel a montré que cette dernière est équivalente à “tout entier > 17 est la somme de trois nombres premiers distincts.”
• (*) si n > 13, il existe un nombre premier p tel que n < p < 2n−9 (amélioration du postulat de Bertrand ou théorème de Tchebychev) Sin >19 est impair, alors n−2>17 est la somme de trois nombres premiers distincts et nécessairement impairs.
Sin >34 est pair, alors en utilisant (*), il existe un nombre premier ptel que
n−8
2 < p < n−17.
Alors 17< n−p < p+ 3 + 5 de sorte quen−pest la somme de trois nombres premiers distincts < p.
Reste à vérifier 32 = 13 + 11 + 5 + 3 et 34 = 13 + 11 + 7 + 3.
Références Suite A124884
A Stronger Bertrand’s Postulate with an Application to Partitions Primes in the interval 2n-3n
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