Quel est le plus grand entier naturel qui ne peut pas s’exprimer comme la somme de quatre nombres premiers distincts ? Justifiez votre réponse.
Partons de résultats lus sur le site Wolfram Mathworld :
- une version de la conjecture de Goldbach affirme que tout entier supérieur à 17 est somme de trois nombres premiers distincts.
- pour tout entier n, il existe un nombre premier compris entre n-nθ et n, où θ=23/42 (Iwaniec & Pintz ; Hardy & Wright ).
On en déduit d’abord que tout nombre impair supérieur ou égal à 21 est la somme de 2 et d’un nombre impair supérieur ou égal à 19, lui même somme de trois nombres premiers distincts, donc impairs, et donc différents de 2.
Pour un nombre pair N=2k, la preuve repose sur l’existence d’un nombre premier p impair, tel que 17<2k-p<p+8, auquel cas q, le plus grand des trois nombres premiers dont la somme est 2k-p sera inférieur à p ; donc k-4<p<2k-17 : l’encadrement énoncé plus haut garantit cette existence dès que 2k-17≥21 donc pour N=2k≥38.
Comme 32=13+11+5+3, 34=13+11+7+3, 36=13+11+7+5, le plus grand entier qui ne peut s’exprimer comme somme de quatre nombres premiers distincts est 30.
