A20411. Table de 7
Soienta,betctrois entiers naturels quelconques. Montrer que sia3+b3+c3 est multiple de 7, alors abcest multiple de 7.
Solution
On va montrer la contraposée : siabc n’est pas multiple de 7, a3+b3+c3 ne peut pas être multiple de 7.
Sian’est pas multiple de 7, un des facteursa−1,a−2, . . .,a−6 est multiple de 7, et les identités
a3 = 1 + (a−1)(a−2)(a−4) + 7(a−1)2,
a3 =−1 + (a−3)(a−5)(a−6) + 7(2a2−9a+ 13), montrent que le reste modulo 7 dea3 est 1 ou −1.
Si abc n’est pas multiple de 7, le reste modulo 7 de a3+b3 +c3 est de la forme±1±1±1, avec un total impair entre−3 et 3. Ce ne peut être 0.
