D107-Le ratio immuable Solution
Question 1
AC et RX se coupent au point G symétrique de R par rapport à X.On a donc CG=RP=AC/2 et GY=CG+CY=AC/2 + 3*AC/4=5*AC/4
Par ailleurs, RQ est parallèle à BC, PR est parallèle à AC et PQ est parallèle à ABles triangles AQR,BPR et CPQ sont équilatéraux et sont égaux entre eux. Leurs surface est égale à 1/4.
Les triangles DPR, EPQ et FQR sont également égaux entre eux. Les hauteurs respectives DH et DK des triangles DPR et DYG sont dans le rapport DK/DH = PR/GY=2/5 DK=2*HK/7.
Or l’aire du triangle ABC peut s’exprimer sous la forme (AC*hauteur issue de B)/2 = AC*HK. Il en résulte que la surface de DPR est égale à PR*DK/2 = AC/2 * HK/7 = 1/14.
Dès lors la surface du triangle DEF est égale à surface(ABC) – 3*surface(BPR) – 3*surface(DPR) = 1 –3/4 -3/14 = 1/28.
Question 2
On a les mêmes propriétés qu’avec le triangle équilatéral. L’aire du triangle DEF est égale à l’aire du triangle ABC – 3*aire BPR – aire DPR – aire EPQ – aire FQR. L’aire du triangle BPR est toujours le quart de celle du triangle ABC tandis que l’aire du triangle DPR comme celles des triangles EPQ et FQR sont toujours égales au 1/14ème de l’aire du triangle ABC. En effet les triangles DPR et DGY sont toujours semblables avec un rapport de similitude égal à 2/5 et les hauteurs respectives issues de D,E et F dans les triangles DPR, EPQ et FQR sont égales au1/7ème des hauteurs issues de B, C et A dans le triangle ABC. On retrouve ainsi le ratio que nous avons appelé immuable car il ne dépend absolument pas de la forme du triangle ABC et qui reste égal à 1/28.
Question 3
La mesure de l’aire du triangle DEF peut se généraliser avec des points P,Q et R choisis sur les côtés du triangle selon le même ratio p = BP/BC = CQ/CA = AR/AB et des points X,Y et Z choisis respectivement sur le mêmes côtés selon le même ratio q = PX/PC = QY/QA = RZ/RB.
Une approche analytique permet de calculer l’aire DEF. Soient a=BC, c=AB et
u=angle(ABC). L’aire du triangle ABC est S=a*c*sin(u)/2. Par construction BP=p*a , BX=r*a en posant r=p+(1-p)*q et BR=(1-p)*c. On en déduit l’aire du triangle BRX = (1- p)*r*S. En établissant l’équation des droites PY et RX, on calcule l’ordonnée de D en
fonction de b, c, u, p et q. D’où l’aire du triangle DPX = r)
* p) (1 p) (1 S/(r
* p) (1
* p) (1
*
r 2 2 2 et par différence l’aire du quadrilatère BPDR.
On obtient le même résultat pour les quadrilatères CPEQ et AQFR.
L’aire du triangle DEF est alors égale à aire(ABC) – 3*aire(BPDR) = S – 3*(1-p)*r *S + 3*r*(1p)2*(1p)*S/(r2(1p)2(1p)*r)
Finalement en supposant S=1, on obtient l’aire(DEF)
=(r*(3p-2)1-p)2/(r2(1p)2r*(1p)) avec r=p+(1-p)*q.
On vérifie que pour p=1/2 et q=1/2, on retrouve bien 1/28.
L’aire DEF peut-elle être de la forme 1/n avec n entier quelconque ? Il s’agit de résoudre l’équation (r2(1p)2r*(1p))n*(r*(3p-2)1-p)2. On a une équation du 2nd degré en p (ou en r) qui s’exprime en fonction de r (ou de p) et de n. Généralement, il n’existe pas de solutions rationnelles en p et r pour n quelconque. Toutefois, il y a un nombre significatif de valeurs de n inférieures ou égales à 50 (4,7,9,12,13,16,19,21,25,27,28,31,36,37,43,48 et 49) pour lesquelles il existe des valeurs rationnelles simples de p et q. Ces dernières sont données dans le tableau ci-après :
Les droites PY, QZ et RX sont concourantes quand r*(3*p - 2) + 1- p = 0
q(3p23p1)/((1p)*(23p)). Les droites ne peuvent être concourantes que si p
1/2. On obtient ainsi plusieurs couples de valeurs rationnelles simples de p et q telles que p=1/2 et q=1, p=1/3 et q=1/2, p=1/4 et q=7/15, p=1/5 et q=13/28, p=1/6 et q=7/15 etc… Ci- après la figure obtenue pour p=1/6, q=7/15 et r=5/9 :
n p q r=p+(1-p)*q
4 1/6 4/5 5/6
7 1/3 1/6 4/9
9 2/9 5/7 7/9
12 1/6 3/10 5/12
13 1/2 1/3 2/3
16 1/4 2/3 3/4
19 2/9 11/35 7/15
21 1/6 3/5 2/3
25 2/5 1/3 3/5
27 1/9 3/8 4/9
28 1/2 1/2 3/4
31 1/3 1/3 5/9
36 5/18 8/13 13/18
37 7/20 13/35 10/21
43 1/3 2/3 7/9
48 1/12 9/22 11/24
49 1/2 3/5 4/5
