A540. Combinaisons eulériennes
Q1
Montrons que pourn>4, il existeb impair eta6=bde même parité quentels que 3n= 2a2+b2.
Initialisons avec l’exemple 34= 2×42+ 72.
Supposons le résultat acquis pourn>4 et montrons-le pourn+ 1.
PosonsA=a+b(resp|a−b|) de parité opposée àa, donc de même parité que n+ 1, etB=|2a−b|(resp 2a+b) impair.
Alors 2A2+B2= 3 2a2+b2
= 3n+1 par hypothèse de récurrence.
Pour être complet, il reste à montrer queA6=B dans le cas oùn est pair : si a= 2b, alors on prendra A=bet B= 5b.
Q2
Montrons que pourn>3, il existeaetb impairs tels que 2n= 7a2+b2. Initialisons avec l’exemple 23= 7×12+ 12.
Supposons le résultat acquis pourn>3 et montrons-le pourn+ 1.
Posonsa= 2α+ 1 etb= 2β+ 1.
Si α et β ont même parité, alors A = a+b2 = α+β + 1 et B = |7a−b|2 =
|7α−β+ 3|.
SinonA=|a−b|2 =|α−β|et B= 7a+b2 = 7α+β+ 4.
Dans les 2 cas, A et B sont impairs et 7A2+B2 = 2 7a2+b2
= 2n+1 par hypothèse de récurrence.
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