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A20105. Coefficients born´ es

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Academic year: 2022

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A20105. Coefficients born´ es

Les coefficients du polynˆome P(X) sont des nombres entiers inf´erieurs en valeur absolue `aA. D´eduisez-en une propri´et´e commune `a toutes les racines de ce polynˆome.

Solution

SoitP(X) =a0xn+a1xn−1+. . .+an.

L’indication “entiers” n’est importante que pour a0, entraˆınant |a0| ≥1.

Supposons qu’il existe une racinex (r´eelle ou complexe) de module>1.

|x| ≤ | −a0x|=

a1+a2

x +. . .+ an xn−1

≤A+ A

|x|+. . .+ A

|x|n−1 < A 1−1/|x|

d’o`u|x|< A+ 1.

Cette majoration, qui ne d´epend pas du degr´e du polynˆome, est encore vraie pour les racines de module≤1.

On peut ´ecrire plus g´en´eralement|x|<1 + max

k>0

ak a0

.

Cette derni`ere conclusion vaut aussi pour un polynˆome `a coefficients com- plexes.

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