e-deflim
- 1 -
ANALYSE : LES LIMITES
RReecchheerrcchheeddeesslliimmiitteessdd’’aapprrèèssddééffiinniittiioonnss Utilisation des définitions en εη
² ) 1 (x x
f =
ε η
ε η ε
ε η
ε η ε
<
⇒
−
<
∈
∀
>
∃
>
∀
<
−
⇒
−
<
∈
∀
>
∃
>
∀
+
−∞ =
→
) ( :
: 0 ) ( , 0
0 ) ( :
: 0 ) ( , 0
0 ) ( lim
x f x
D x
x f x
D x x
x f
ε
ε ε
ε ε
ε
² 1
1, , 1
² 1
² 1
) (
>
+∞
−∞−
∈
>
<
<
x a on alors
x si x
x x f
U
donc il suffit de prendre
η ε1
= pour que si x<−η, on ait f(x)<ε
donc on a prouvé l’existence de η en fonction d’un ε choisi arbitrairement.
exemples
siε = 0,5 alors η=v 2 ; si ε = 0.05, alors η = 4.47 ; si ε = 0.0005, alors η = 44,72
e-deflim
- 2 -
ε η
ε η ε
ε η
ε η ε
<
⇒
>
∈
∀
>
∃
>
∀
<
−
⇒
>
∈
∀
>
∃
>
∀
+
+∞ =
→
) ( :
: 0 ) ( , 0
0 ) ( :
: 0 ) ( , 0
0 ) ( lim
x f x
D x
x f x
D x x
x f
ε
ε ε
ε ε
ε
² 1
1, , 1
² 1
² 1
) (
>
+∞
−∞−
∈
>
<
<
x a on alors
x si x
x x f
U
donc il suffit de prendre
η ε1
= pour que si x >η, on ait f(x)<ε
donc on a prouvé l’existence de η en fonction d’un ε choisi arbitrairement.
ε η
ε η ε
ε η
ε η ε
ε η
ε η ε
>
⇒
−
>
∈
∀
>
∃
>
∀
>
⇒
<
−
∈
∀
>
∃
>
∀
>
⇒
<
−
<
∈
∀
>
∃
>
∀
+∞
− =
→
) ( :
: 0 ) ( , 0
) ( :
: 0 ) ( , 0
) ( 0
0 : :
0 ) ( , 0
) ( lim0
x f x
D x
x f x
D x
x f x
D x x
x f
ε ε ε ε
ε ε
² 1 , 1 1
² 1
² 1
) (
<
−
∈
<
>
>
x a on alors
x si x
x x f
donc il suffit de prendre
η ε1
= pour que si x>−ηou
ε
− 1
>
x on ait f(x)>ε donc on a prouvé l’existence de η en fonction d’un ε choisi arbitrairement.
exercice : =+∞
+
→ ( ) lim0 f x
x
