Sommation d'une série remarquable

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

M AURICE D’O CAGNE

Sommation d’une série remarquable

Nouvelles annales de mathématiques 3

^e

série, tome 1 (1882), p. 171-173

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(2)

SOMMATION DUNE SÉRIE REMARQUABLE;

PAR M. MAURICE D'OCAGNE, Élève de l'Ecole Polytechnique.

Dans un Mémoire inséré aux dLnnales de Gergonne ( ' ), de Stainville considère une série remarquable dont il étudie les propriétés et fait diverses applications.

Gergonne (²) , puis Ampère (³) sont revenus sur

( ' ) Tome IX, page 229.

(2) Tome IX, pages 261 et 270.

(•"') Tome XV. page 36c).

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cette série, simplifiant les démonstrations du premier auteur, poussant plus loin les conséquences de son théo- rème; mais aucun de ces géomètres ne s'est occupé de ' Ja sommation de cette série5 cette recherche fait l'objet de la présente Note.

La série de Stainville est

^

4 - a ( a 4 - A ) ...[a + (n— i)k]—l - H - . . . ,

prise pour les valeurs de z <^ j > et que je représenterai par S (a, A).

La propriété fondamentale de cette série, démontrée dans les Mémoires cités, consiste en ce que

S(a + ô, A) — S(a, k) S(6, A).

Cela posé, dérivons S (a, A) par rapport à z,

— a H- a(a 4- A') - + . . .

I . 2 . . . ( / i I)

•=. a 1 4- {a -i- k) - + . . .

k À

=: aS(a -{- k, À),

ou, d'après la propriété fondamentale, dS(a9k)

= a b ( f l , À ) b ( A, A ).

Mais

S (A:, A-) = i + kz -h k²z² 4 - . . .4- A'"-" 4- Or

1 . Z < ~ , OU A"5 < I.

A*

(4)

( '73 ) Donc,

; ~~ I — kl

par suite, •

dS(a,k) dz S(a,k) ~ a (i — kz) '

Intégrons alors, en remarquant que, pour z = o, (rt, /r) = o^ nous avons

et, en remontant des logarithmes aux nombres,

a

S(a, &)•= (i — kz)~J'