H151. Entartages à la chaîne
2015 personnes sont sur un immense champ de foire de sorte que les
distances séparant deux quelconques d’entre elles sont toutes distinctes.
Chacune lance une tarte à la crème en direction de son voisin le plus proche.
Parmi les quatre affirmations suivantes, distinguez les vraies des fausses en justifiant vos réponses.
1) Deux tartes à la crème se rencontrent si et seulement si deux personnes cherchent à s’entarter réciproquement.
2) Le réseau constitué par les trajectoires des tartes contient un ou plusieurs polygones fermés.
3) Il y a au moins une personne qui n’a pas été entartée.
4) Il y a une personne qui a été entartée six fois.
Solution proposée par Jean Nicot
1) Deux personnes peuvent s’entarter réciproquement si leur distance est la plus faible, ce qui existe toujours, ou si leur distance est localement la plus faible, ce qui peut exister. Dans ce cas, une collision de tartes peut se produire si les lancers sont presque simultanés et les paraboles des trajectoires presque identiques, ce que l’on peut admettre.
Si l’entartrage n’est pas réciproque, il faudrait que les projections des deux trajectoires soient concourantes, ce qui est impossible avec la condition de distance la plus faible.
La première affirmation est vraie.
2) 2) Supposons qu’il existe un polygone fermé ABC…NA, AB étant le plus grand côté, mais alors A ne lance pas vers B et B ne lance pas vers A et AB n’est pas un côté. Le polygone n’est pas fermé. Cette
contradiction invalide la seconde affirmation.
3)
3) Supposons qu’une personne reçoive deux tartes. Il y aura alors une personne qui ne sera pas entartée, puisqu’il manquera une tarte pour servir tous les autres.
Supposons que nul ne reçoive plus d’une tarte. Après élimination des entartages réciproques, il restera un nombre impair de personnes sans possibilité d’avoir un polygone fermé. Un polygone ouvert a un sommet de plus que de côtés, donc un sommet non entarté. La même remarque s’applique pour un graphe.
La troisième affirmation est vraie.
4) Une personne peut être entartée cinq fois puisque le côté d’un pentagone presque régulier est supérieur aux rayons. La même propriété n’existe pas pour l’hexagone.
La quatrième affirmation est fausse.
