Problème H141 – Solution de Jean Drabbe
Préliminaires - La suite a[n] , a[n-1] , ... , a[2] , a[1] sera dite duale de la suite a[1] , a[2] , ... , a[n-1] , a[n] . Nous dirons que les naturels a , b sont compatibles lorsque
1 ≤ a , b ≤ 18 , a + b est premier et a^2 + b^2 est premier .
Voici une liste complète des couples compatibles (nous utilisons des couples plutôt que des paires afin de faciliter la consultation) :
1, 2 1, 4 1, 6 1,10 1,16 2, 1 2, 3 2, 5 2,15 2,17 3, 2 3, 8 3,10
4, 1 4, 9 4,15
5, 2 5, 6 5, 8 5,18 6, 1 6, 5 6,11
7,10 7,12 8, 3 8, 5
9, 4 9,10 9,14
10, 1 10, 3 10, 7 10, 9 10,13 11, 6
12, 7 12,17 13,10
14, 9 14,15
15, 2 15, 4 15,14 16, 1
17, 2 17,12 18, 5
Trivialités
T – 1 Une suite est n-primophile si et seulement si sa duale l'est.
T – 2 Si n est impair, les première et dernière composantes d'une suite n- primophile sont impaires.
T – 3 Si n est pair, les première et dernière composantes d'une suite n-primpophile sont de parités différentes.
Proposition 1 - Lorsque n ∈ {3 , 4 , 6 , 10 , 11 , 12} , il existe une
n-suite primophile.
Vérification - Les suites suivantes conviennent : 1 , 2 , 3
4 , 1 , 2 , 3
3 , 2 , 5 , 6 , 1 , 4
7 , 10 , 9 , 4 , 1 , 2 , 3 , 8 , 5 , 6 7 , 10 , 9 , 4 , 1 , 2 , 3 , 8 , 5 , 6 , 11 12 , 7 , 10 , 9 , 4 , 1 , 2 , 3 , 8 , 5 , 6 , 11
Proposition 2 - Lorsque 3 ≤ n ≤ 18 et
n ∉ {3 , 4 , 6 , 10 , 11 , 12} , il n'existe pas de suite n-primophile.
Vérification :
Si n = 5 : En vertu de T2 , 4 ne peut se trouver en position limite (initiale ou finale) mais, 4 n'est compatible qu'avec un seul naturel inférieur à 9 .
Si n ∈ {7 , 8 , 9} : 7 n'est compatible avec aucun naturel inférieur à 10 .
Si n = 13 ou n = 15 : argumentation proche de celle utilisée dans le cas n = 5 ; 12 n'est compatible qu'avec un seul naturel inférieur à 16 .
Si n = 14 : 14 et 12 devraient se trouver en positions limites, en contradiction avec T3 .
Si n = 16 : 16 et 12 devraient apparaître en positions limites, en contradiction avec T3 .
Si n = 17 : 16 devrait se trouver en position limite, en contradiction avec T2 .
Si n = 18 : 16 et 18 devraient apparaître en positions limites, en contradiction avec T3 .
Calcul de la probabilité demandée - Il n'est pas difficile de vérifier que la probabilité d'obtenir
respectivement une somme s = 3 , 4 , 6 , 10 , 11 , 12 est 1/216 , 3/216 , 10/216 , 27/216 , 27/216 , 25/216 .
Par conséquent, la probabilité recherchée est 31/72 .
