E513 Les treize points [**** à la main]
Solution
Soient les treize points P1àP13 et une ligne L quelconque. D’après le principe des tiroirs, il y a au moins sept points qui sont d’un même côté appelé par exemple N comme Nord (voir graphique ci-dessus où il y a 7 points situés au Nord avec les indices 1,3,5,6,8,10 et 12).
On considère les couples de points suivants : ) P , (P ), P , (P ), P , (P ), P , (P ), P , (P ), P ,
(P1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 et par ailleurs le 13ème point P . Toujours 13 d’après le principe de tiroirs appliqué une deuxième fois, il y a du côté Nord de la ligne L : -soit deux points pour au moins un couple,
-soit un point et un seulement pour chacun des six couples plus le treizième point de manière à avoir 7 points situés au Nord.
Dans le premier cas où deux points d’un même couple sont situés au Nord, le segment
joignant les 2 points ne coupe pas la ligne (dans le graphique ci-dessus, c’est le cas des points
6 5et P
P ).
Dans le deuxième cas, supposons que l’un des deux points au moins P et 1 P soit au Nord, 12 soit par exemple P ,les deux points 12 P12et P13 sont du même côté et le segment P12P13 n’est donc pas traversé par la ligne L.Voir graphe ci-après :
Supposons maintenant que les deux points P1et P12 sont au Sud. P2 et P11 sont alors
nécessairement au Nord comme P . D’où il résulte que 13 P3et P10 puis P4 et P9 puis P5 et P8 et enfin P6et P7 sont du même côté afin que la ligne L traverse respectivement les
segmentsP2P3,P10P11,P3P4,P9P10,etc….. Les deux points P6et P7 étant du même côté, le segment joignant ces deux points ne peut pas être traversé par L. Voir graphe ci-après :
Conclusion : aucune ligne droite ne traverse les 13 segments qui relient les 13 points.
Grâce à un raisonnement par récurrence, il est facile de généraliser le problème avec un nombre impair 2k+1 de points. Il n’existe aucune ligne droite qui traverse les 2k+1 segments reliant les points entre eux.
A l’inverse avec un nombre pair de points, on peut trouver une configuration dans laquelle une même ligne droite traverse les 2k segments. Il suffit que les points dont l’indice est pair soient tous situés du même côté par rapport à L et les points d’indices impairs situés de l’autre côté. Voir ci-après l’exemple avec 14 points :
