E50133. Les boˆıtes
J’ai 8 boˆıtes devant moi. Je les ouvre les unes apr`es les autres. Chaque boˆıte soit est vide, soit contient 5 autres boˆıtes. Je continue `a ouvrir les petites boˆıtes ainsi d´ecouvertes et `a nouveau elles peuvent ˆetre vides ou contenir 5 nouvelles boˆıtes. Je continue `a ouvrir chaque nouvelle boˆıte. A un certain moment le processus s’arrˆete, les derni`eres boˆıtes ouvertes ´etant toutes vides.
J’ai scrupuleusement not´e au fur et `a mesure le nombre de boˆıtes trouv´ees vides lors de leur ouverture. J’en ai trouv´e 196.
a) Que peut-on dire du nombre total de boˆıtes ?
b) J’ai dispos´e les boˆıtes en rangs, le premier constitu´e des 8 premi`eres boˆıtes visibles au d´epart, le 2e rang des boˆıtes directement contenues dans ces 8 boˆıtes, le 3e rang des boˆıtes directement contenues dans celles du 2e rang, etc. Quel est le plus petit nombre de rangs possible, avec 196 boˆıtes trouv´ees vides ? Et le plus grand ?
Solution
Soit n le nombre total de rangs, vk le nombre de boˆıtes trouv´ees vides au rangk,pk le nombre de boˆıtes trouv´ees pleines au rang k. Pourk >1, on a vk+pk= 5pk−1, de plus v1+p1 = 8.
a) Ajoutant membre `a membre toutes ces ´egalit´es, et tenant compte de pn = 0, Pvk +Ppk = 8 + 5Ppk. Substituant Pvk = 196, on obtient Ppk = 47 et le nombre total de boˆıtes est 243.
b) Comme il y a 47 boˆıtes trouv´ees non vides, aucune boˆıte non vide au dernier rang et 8 boˆıtes seulement au premier rang, il ne peut pas y avoir seulement 2 rangs. Une disposition possible `a 3 rangs est : 8 boˆıtes pleines au premier rang, 40 boˆıtes au 2e rang dont une vide et 39 pleines, 195 boˆıtes vides au 3e rang.
Les rangs apr`es le premier totalisent 243−8 = 235 boˆıtes, chaque rang ayant au moins 5 boˆıtes. Il y a donc au plus 235/5 = 47 rangs apr`es le premier et 48 rangs en tout. Dans une disposition `a 48 rangs, il y a exactement une boˆıte non vide `a chaque rang sauf le dernier.
1
