Enonc´e noA433 (Diophante)
Ne pas s’emballer . . .dans les emballages
Des cartons d’emballage tous identiques de forme parall´el´epip´edique dont les cˆot´es a, b et c s’expriment en nombres entiers de d´ecim`etres, distincts entre eux, servent `a emballer quatre cat´egories ( i = 1,2,3,4) de boˆıtes cubiques dont les volumes respectifs sont ´egaux `av,2v, wet 3wavec v etw nombres entiers exprim´es en dm3,≤20 dm3. Dans chaque carton, on place le plus grand nombre possible de boˆıtes d’une cat´egorie donn´ee avec leurs arˆetes parall`eles aux cˆot´es du carton. On d´esigne par CR(i) le coefficient de remplissage qui est le rapport : volume total des boˆıtes de la cat´egoriei rang´ees dans le carton / volume de ce carton.
On observe queCR(1) = 2·CR(2) et on est tent´e de dire que le coefficient de remplissage d’un carton est d’autant plus ´elev´e que les cubes sont petits.
Mais il ne faut pas s’emballer. . .. On observe que CR(4) = 3·CR(3).
Quelles sont les dimensions d’un carton et quels sont les volumes des quatre boˆıtes cubiques ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Si les boˆıtes cubiques ont chacune pour volume u, on peut en placer dans un carton ba/√3
uc couches rectangulaires de (bb/√3
uc)×(bc/√3
uc) boˆıtes.
Le coefficient de remplissage est ainsi CR= u
abc a
√3
u b
√3
u c
√3
u
Substituantu parv,2v, w,3w, on en tire les rapports CR(1)
CR(2) = 2 = v 2v
ba/√3 vc ba/√3
2vc bb/√3
vc bb/√3
2vc bc/√3
vc bc/√3
2vc CR(4)
CR(3) = 3 = 3w w
ba/√3 3wc ba/√3
wc bb/√3
3wc bb/√3
wc bc/√3
3wc bc/√3
wc
Cette derni`ere relation conduit `a 1 comme produit des 3 quantit´es telles que ba/√3
3wc ba/√3
wc . Ora/√3
3w < a/√3
w, d’o`uba/√3
3wc ≤ ba/√3
wc, et les 3 quantit´es de produit 1 sont chacune≤1. Il faut donc, pour betc comme poura, l’´egalit´e ba/√3
3wc=ba/√3 wc.
Soitk la valeur commune des deux membres. On a k√3
3w≤a <(k+ 1)√3
w, d’o`u √3
3 = 1,442. . . <1 + 1/k.
Les seules valeurs possibles pour ksont donc 1 et 2.
Sik= 1, 3w≤a3<8w; sik= 2, 24w≤a3 <27w.
Comme w prend une valeur enti`ere de 1 `a 20, on peut lister les cubes ap- partenant aux intervalles [3w,8w[ et [24w,27w[. Les valeurs dewdonnant 3
1
cubes distincts dans ces intervalles (car l’´enonc´e sp´ecifie que a, b, c sont des entiers distincts) sont
w= 9 avec a, b, c= 3,4,6 ; w= 19 ou 20 aveca, b, c= 4,5,8.
La relationCR(1)/CR(2) donne 4 comme produit des 3 quantit´es telles que ba/√3
vc ba/√3
2vc.
Un tableur permet de calculer ces quantit´es en croisant les deux triplets (a, b, c) avec les valeurs de v (de 1 `a 20, et mˆeme de 1 `a 13 = b33/2c si w= 9), pour voir quand elles ont pour produit 4.
Il en ressort une solution unique : v = 2, avec le triplet (3,4,6) qui donne les 3 quantit´es 2/1, 3/2, 4/3 de produit 4. Doncw= 9.
Les coefficients de remplissage sont CR(1) = 2/3, CR(2) = 1/3, CR(3) = 1/4, CR(4) = 3/4 respectivement, pour les boˆıtes cubiques de 2, 4, 9 et 27 dm3.
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