PROBLEME PROPOSE PAR RAYMOND BLOCH.
Chaque case d’un quadrillage 100 x 100 contient un signe plus.
On peut inverser tous les signes d’une ligne ou d’une colonne, autant de fois qu’on le souhaite.
Peut-on obtenir 2020 signes moins ?
Si oui, quel est le nombre minimum d’inversions nécessaires ?
SOLUTION PROPOSEE PAR RAYMOND BLOCH.
L’ordre dans lequel on effectue les inversions n’a aucune incidence sur le résultat final.
Supposons qu’on inverse d’abord l lignes , puis c colonnes : les l lignes
fournissent 100*l signes -, les c colonnes fournissent 99*c signes -, et les c*l cases situées à l’intersection des l lignes et des c colonnes sont inversées deux fois, et donc reprennent leur signe + initial.
Le nombre de signes – obtenus est donc 100 *l + 99*c – l*c = 2020, d’où
(99 – l)(100 – c) = 9900 - 2020 = 7880 = 23 x 5 x 197.
197 étant premier, il est impossible de découper 7880 en deux facteurs, l’un inférieur à 99, et l’autre inférieur à 100.
Il est donc impossible d’obtenir 2020 signes – en inversant certaines lignes et certaines colonnes.
