DS N°1 Durée :3h TES
Nom :………. Prénom :……….
Il sera tenu compte de la présentation, la rédaction et l’orthographe. La calculatrice est autorisée. Aucun document n’est autorisé.
Exercice n° 1 : (5pts) Commun à tous
Un coureur de marathon décide de s’entrainer en vue du marathon de New York. Le premier jour d’entrainement, il décide de courir 20 km. Chaque jour, il court 10% de plus que la veille.
On note u1=20 et un la distance couru le n-ième jour d’entrainement.
1. Déterminer la distance couru les 2ème et 3ème jour d’entrainement.
2. Justifier que un est une suite géométrique 3. Donner l’expression de un en fonction de n.
4. Déterminer la distance courue le 11ème jour.
5.a) Déterminer la distance courue du 1er au 11ème jour.
b) Déterminer la distance courue du 1er au n-ième jour.
Exercice n° 2 : (5pts) Commun à tous
Une association caritative a constaté que, chaque année, 80% des donateurs de l’année
précédente renouvelaient leur don et que, chaque année, 10 nouveaux donateurs effectuaient un don. On étudie l’évolution du nombre de donateurs au fil des années.
On note le nombre de donateurs lors de la n-ième année.
Pour tout entier naturel n, a0=300 et an+1=0,8an+10.
1. Calculer a1 et a2.
2. Soit (un) la suite définie par un=an-50pour tout n
a. Montrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b. Exprimer un en fonction de n.
c. Démontrer que, pour tout entier naturel n, . d. Montrer que la suite (an) est strictement décroissante.
e. Déterminer la limite de (an).
f. En déduire ce que peut on conclure l’association concernant les donateurs.
Exercice n° 3 : (5pts) Pour les élèves suivant l’enseignement de spécialité PARTIE A
En utilisant 3 points judicieusement choisi de la parabole ci-dessous, déterminer la fonction du second degré associée. Vous utiliserez et détaillerez la méthode matricielle.
PARTIE B
1) Donner la définition d’un graphe connexe, complet et le degré d’un sommet.
2) Dans une ville, un coursier a cinq clients, situés dans les cinq lieux ci-dessus. Il emprunte sept rues lors de sa distribution de colis. Ce coursier souhaite minimiser son parcours et ne pas passer par deux fois par la même rue.
Existe-t’il un tel parcours ? Si oui, existe-t’il un circuit revenant à son point de départ ?
Exercice n° 3 : (5pts) Pour les élèves ne suivant pas l’enseignement de spécialité f est la fonction définie sur [0 ;10] par
1. Etudier les variations de f.
2.a. Justifier que f(x)=0 admet une unique solution sur [0 ;10].
b. Donner la valeur près de cette solution à l’aide de la calculatrice
3. Déterminer une équation de la tangente en 7 à la courbe représentative de f Exercice n° 4 :(5pts) Commun à tous
Partie A :
Soit la fonction B définie sur [0 ;5] par 1.a. Calculer B’ la dérivée de B sur [0 ;5]
b. En déduire le signe de B’ puis les variations de B sur [0;5]
c. En déduire le maximum de B sur [0 ;5]
d. Combien B(x)=0 admet –elle de solutions sur [0 ;5]?
On donnera une valeur approchée à 0,01 près des solutions.
e. Déterminer le signe de B sur [0 ;5]
2. Déterminer une équation de la tangente en 0, en 1 et en 2 à la courbe représentative de f Partie B :
Le restaurant « Red Steack » sert entre 0 et 50 couverts par jour. Son bénéfice journalier en dizaine d’euros est définie par où x est le nombre de
dizaines de couverts servis par jour.
1. Quel bénéfice maximum peut espérer ce restaurant ? Combien de couverts doit-il servir ? 2. Pour combien de couverts le bénéfice est il négatifs ? positifs ?
