DS N°2 Durée :3h TES
Nom :………. Prénom :……….
Il sera tenu compte de la présentation, la rédaction et l’orthographe. La calculatrice est autorisée. Aucun document n’est autorisé.
Exercice n° 1 : (4pts) Commun à tous
Pour chacune des questions, quatre affirmations sont proposées, une seule réponse est exacte. Pour chaque question, le candidat notera sur sa copie le numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correct. Aucune justification n’est demandée. Une réponse juste rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,5 point , une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Si le total de l’exercice est négatif, la note est ramenée à 0.
Exercice n° 2 : (5pts) Commun à tous
Anaïs possède un économiseur d’écran qui passe ses 2955 photos aléatoirement. Elle possède 591 photos d’Irlande parmi lesquels 60% représentent des paysages. Parmi les photos qui ne sont pas d’Irlande, 75% représentent des paysages.
On tire une photo au hasard. On considère les événements : I : « La photo choisie est une photo d’Irlande ».
V : « La photo choisie est une photo de paysages ».
1)a) Déterminer à l’aide des données de l’énoncé les probabilités suivantes :
b) Exprimer à l’aide de phrases ce que signifient ces probabilités.
2) Recopier et compléter l’arbre suivant :
3) Calculer Exprimer à l’aide d’une phrase ce que signifie cette probabilité.
4) Montrer que
5) La photo choisie est une photo de paysages, calculer la probabilité que cela soit une photo d’Irlande.
Exercice n° 3 : (5pts) Pour les élèves suivant l’enseignement de spécialité(A rédiger sur une copie séparée)
PARTIE A
Une agence de tourisme a sélectionné neuf sites à visiter dans une agglomération. Le graphe suivant modélise une partie du plan de l'agglomération. Les arêtes du graphe représentent les rues permettant un accès à un site (*) et les sommets du graphe les carrefours.
1) Quel est l'ordre du graphe ? Ce graphe est-il complet ?
2) Combien y a-t-il de chaînes de longueur 3 commençant en C et finissant en D ?
3) Est-il possible de visiter les neuf sites en n'empruntant chaque rue qu'une seule fois ? Si oui donner un exemple de parcours possible.
PARTIE B
On considère l'automate G défini par le graphe étiqueté ci-dessous. Un mot reconnu par l'automate est formé de lettres qui se succèdent sur un chemin du graphe orienté, en partant du sommet 0 et en sortant au sommet 3.
1) Parmi les mots suivants, quels sont ceux qui sont reconnus par l'automate ? abc ; babac ; abacab ; cababab ; bacabac ; acabbacab
2) Recopier et compléter la matrice d'adjacence M associée au graphe.
3) Quel est le mot le plus court reconnu par l'automate ?
4) Quel est le nombre de mots de 4 lettres reconnus par l'automate ? Quels sont ces mots ?
Exercice n° 3 : (5pts) Pour les élèves ne suivant pas l’enseignement de spécialité
Pour tout entier naturel n, a0=20 et an+1=0,4an+30.
1. Calculer a1 et a2.
2. Soit (un) la suite définie par un=an-50pour tout n
a. Montrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b. Exprimer un en fonction de n.
c. Démontrer que, pour tout entier naturel n, . d. Montrer que la suite (an) est strictement croissante.
e. Déterminer la limite de (an).
Exercice n° 4 :(6pts) Commun à tous Partie A :
Soit est la fonction définie sur :
1. Déterminer et montrer qu’elle peut s’écrire sous la forme 2. Dresser le tableau de variation de g sur
3.a) Montrer que l’équation admet une unique solution α dans l‘intervalle sur . b) Déterminer la valeur de α .
c) En déduire le signe de sur
Partie B : Soit est la fonction définie sur : 1.a) Montrer que f .
b) En déduire les variations de sur . 2) Etudier la convexité de sur .
