O. Emorine - 1 - Relations dans le triangle quelconque
Des triangles, des triangles et encore des triangles
I. Une formule avec des sinus Pour les trois triangles suivants :
Compléter le tableau suivant :
Triangle 1 Triangle 2 Triangle 3
Longueur AB Longueur AC Longueur BC
Angle Angle Angle
sin( ) sin( ) sin( )
BC sin( )
AC sin( )
AB sin( )
Dans un triangle, les longueurs des cotés sont proportionnelles aux sinus des angles opposés :
AB sin( )
= AC sin( )
= BC sin( ) Ces égalités servent à calculer
un angle lorsqu’on connaît un angle et deux longueurs.
Une longueur lorsqu’on connaît deux angles et une longueur.
Exercice A1, A2 p 148
O. Emorine - 2 - Relations dans le triangle quelconque
II. Quand Pythagore ne fonctionne pas il reste Al Kashi
On reprend les trois triangles du paragraphe précédents, compléter le tableau suivant :
Triangle 1 Triangle 2 Triangle 3
Longueur AB Longueur AC Longueur BC
Angle cos ( )
AB2 AC2 BC2
AB2+AC2 -2×AB×AC× cos ( )
Dans un triangle ABC on a
a2 = b2+c2 – 2bc cos( ) b2 = a2+c2 – 2ac cos( ) c2 = a2+b2 – 2ab cos( )
Remarque : si le triangle ABC est rectangle en A alors cos( ) et on obtienta2 = b2 + c2 c'est-à-dire le théorème de Pythagore.
Ces égalités servent à calculer
un angle lorsqu’on connaît la longueur des trois cotés.
Une longueur lorsqu’on connaît deux longueurs et un angle.
Exercice A3, A4 p148
III. Aire d’un triangle quelconque
1. Construire au dos de cette feuille un triangle ABC tel que : AB=10 cm, AC= 8 cm et = 60°.
2. Tracer la hauteur CH du triangle ABC.
3. Calculer sa longueur en utilisant le triangle rectangle ACH. Vérifier sur la construction.
4. Calculer l’aire du triangle ABC. Proposer une écriture de cette aire en fonction de sin( )
L’aire du triangle ABC est égale à : S= 1
2 bcsin( ) = 1
2 acsin( ) = 1
2 absin( )
Exercices 8 p148
Exercices 2,3 p 150, exercice 12 p151, exercice 18 p 152
