PT 2017-2018 22-09-2017 DEVOIR SURVEILLE n° 1
Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, d’une part il le signale au chef de salle, d’autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
AVERTISSEMENT
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.
L’usage de calculatrice est interdit pour l’ensemble des problèmes constituant ce devoir.
Il est interdit d’arrêter de composer avant 17h00.
Vous devez traiter les 4 problèmes sur 4 copies différentes.
Si vous choisissez de ne pas traiter l’un des problèmes, vous devez tout de même me rendre une copie
« blanche ».
Barème Ramassé à Premier problème 24 % 14h30 Deuxième problème 21 % 15h30 Troisième problème 18 % 16h30 Quatrième problème 37 % 17h00
Vous avez tout intérêt à faire dans l’ordre : le 1er problème, puis le 2ème problème, puis le 3ème problème, et enfin le 4ème problème !
Vous êtes libres de commencer le problème suivant avant que je ramasse les copies (vous pouvez par exemple commencer le 2ème problème avant 14h30).
PREMIER PROBLEME : Filtre de Rauch
L’usage de calculatrice est interdit pour ce problème.
On considère le montage ci-contre dans lequel l’amplificateur linéaire intégré est idéal et de gain infini. Le fonctionnement du dispositif est linéaire.
1) Que se passerait-t-il si on échangeait l’entrée inverseuse et l’entrée non inverseuse de l’amplificateur linéaire intégré ?
2) La tension d’entrée est une fonction sinusoïdale du temps de pulsation ω, à laquelle on associe la tension complexe notée v . De même, à ve s est associée v . On définit T (transmittance complexe du s montage) :
e s
v v T .
Montrer que T peut se mettre sous la forme :
x -1 x jQ 1
T T0 , où j2 = -1 et x = ω0
ω .
On montrera que
1 2
0 2R
- R
T ,
R' R 2
Q1 2 et
2
0 C R'R
ω 1 , avec
R R
R ' R R
1 1
.
3) On définit le gain du montage par G = 20 log T (T est le module de T ). Tracer l’allure du diagramme donnant G en fonction de log x, préciser les asymptotes. Quelle sera la fonction de ce montage ?
4) Définir et calculer la bande passante à – 3 dB. On donnera l’expression des fréquences de coupure ainsi que l’expression de la largeur f de la bande passante, en fonction de Q et de f0 =
π 2 ω0
.
Application numérique : on donne : C = 1,00 nF ; R = 10,0 kΩ ; R1 = 100 kΩ ; R2 = 1,00 MΩ.
On obtient alors T0 = - 5,00 ; Q = 5,24 ; f0 = 1,67 kHz ; f = 0,32 kHz.
5) a) On considère maintenant que la tension d’entrée ve est une tension en créneaux de période T, qui vaut V0 pour 0 < t <
2
T et – V0 pour 2
T < t < T. Le développement en série de Fourier de cette tension
est
0 p
0
e T
t 1) p (2 π sin 2 1) p π(2
V
v 4 . Ce signal ne contient donc que des harmoniques de rang
impair, et l’amplitude des harmoniques décroit en
1 p 2
1
. Ajouter deux commentaires relatifs à ce développement en série de Fourier.
b) Que devient ce développement si ve = V0 pour 4
T < t <
4
T et ve = - V0 pour 4
T < t <
4 3T ? Commenter.
c) Compte tenu des valeurs numériques données, quelle doit être f = T
1 la fréquence de ve pour que f0
corresponde à la fréquence de l’harmonique 3 de la décomposition du 5)a) ? Quelles seront les amplitudes du fondamental et de l’harmonique de rang 3 à l’entrée et à la sortie du montage ? On prendra V0 = 0,5 V et on donnera les expressions numériques de ces amplitudes (sans faire les calculs numériques). Qu’observera-t-on en sortie ?
DEUXIEME PROBLEME : Caractère dérivateur
L’usage de calculatrice est interdit pour ce problème.
1) Filtre passif théorique : Etude d’un filtre passe-haut du premier ordre : 1.1. La tension Ve est une tension sinusoïdale de
fréquence f. Déterminer la fonction de transfert du réseau schématisé sur la figure ci-contre :
e s
V
H V . On pose
C R ω0 1 .
1.2. Tracer le diagramme de Bode de ce filtre.
1.3. Justifier la conclusion suivante : Si le diagramme de Bode d’un filtre présente une pente de + 20 dB par décade et un déphasage de ±
2
π, le montage est dérivateur.
1.4. Donner un montage utilisant un ALI (amplificateur linéaire intégré) monté en suiveur, permettant d’observer sans déformation Vs.
2) Montage dérivateur à ALI idéal de gain infini :
L’ALI fonctionne en régime linéaire.
Montrer que le montage ci-contre réalise une dérivation du signal d’entrée.
Remarque : par essence, cet amplificateur amplifie les signaux de hautes fréquences et donc des signaux parasites captés par effet d’antenne dans les fils de raccordement. Il faut donc prévoir une limitation du gain en haute fréquence. Il suffit de rajouter au générateur une résistance R’ en série mais souvent la résistance interne RG du générateur suffit.
3) Etude du montage avec ALI idéal du premier ordre : On modélise l’ALI réel par le schéma suivant :
en particulier, le comportement de l’ALI en sortie est modélisé par un générateur de tension idéal de valeur μ.ε avec μ =
0 0
f jf 1
μ
. On
considérera toujours i+ = i- = 0.
On réalise le montage suivant :
3.1. On pose f1 = μ0 f0 et f2 =
C R π 2
1 . Calculer la fonction de transfert
e s
V HV .
3.2. En admettant que R >> R’, f2 >> f0, μ0 >> 1 et μ0 R’ >> R, montrer que H se met sous la forme :
x2
Q- jx 1
x j H A
avec x = fc
f ; A =
2 c
f
-f ; fc2 f1.f2 ;
1 2
c f
1 f R f R'
Q 1 .
Application numérique : f1 = 1,00 MHz ; R = 10,0 kΩ ; C = 100 nF ; R’ = 50,0 Ω.
On obtient fc = 12,6 kHz ; Q = 2,45 et A = - 79,2.
3.3. Donner l’allure du diagramme de Bode en amplitude : GdB = 20 log H en fonction de log x.
3.4. Interpréter le fait que le montage n’est pas dérivateur aux fréquences voisines de 10 kHz.
3.5. Le signal d’entrée est un signal triangulaire symétrique de fréquence f = 100 Hz. On constate que le signal de sortie n’est pas tout à fait un signal créneau mais qu’il s’y superpose des ondulations de fréquence voisine de 10 kHz.
Justifier ces observations à partir du diagramme de Bode et de la décomposition de Fourier d’un signal triangulaire.
TROISIEME PROBLEME : Oscillateur quasi-sinusoïdal
L’usage de calculatrice est interdit pour ce problème.
I : Etude d’un filtre de WIEN en régime sinusoïdal permanent, puis en régime transitoire :
Soit le filtre ci-dessous où les résistances R sont identiques, ainsi que les capacités C des condensateurs.
I-1 : Filtre en régime sinusoïdal permanent :
Le filtre est alimenté par une tension d’entrée ve = Ve cos(ωt).
A la sortie, on a alors une tension vs = Vs cos(ωt + φ). Il n’y a pas de charge à la sortie.
On associe à ces tensions les grandeurs complexes :
ω t j e
e V e
v avec : VeVe, et vs Vs e jω t avec : Vs Vs e j.
I-1-a : Etablir la fonction de transfert sous la forme :
ω -ω ω Q ω j 1 H A
0 0
, en précisant les valeurs de
A, de Q et l’expression de ω0 en fonction de R et C.
I-1-b : Après avoir fait une étude asymptotique de cette fonction de transfert, tracer son diagramme de Bode, en gain GdB et en phase φ, sur le diagramme joint en fin de problème (en coordonnées semi- logarithmiques, on utilisera la coordonnée réduite
ω0
x ω ; on donne log 3 ≈ 0,5).
I-2 : Filtre en régime quelconque :
Le filtre est à présent alimenté par une tension d’entrée quelconque, dont la valeur instantanée est ve(t).
Etablir l’équation différentielle liant vs(t) et ve(t) : on pourra pour cela utiliser la fonction de transfert de la question I-1-a.
II : Oscillateur quasi-sinusoïdal :
Le filtre de Wien est couplé à un amplificateur linéaire intégré (ALI) parfait, de gain infini, dont le fonctionnement est supposé linéaire : voir schéma ci-contre.
Aucun générateur n’est présent dans ce circuit.
II-1 : Qu’appelle-t-on amplificateur linéaire intégré « parfait » (ou idéal) ?
II-2 : Etablir la relation reliant V-, potentiel à l’entrée inverseuse de l’ALI, et ve en fonction de R1 et R2. II-3-a : En déduire que l’équation différentielle suivie par vs(t) est :
0 ω v
dt dv R
R Q R
- Q 1 ω dt
v d
s 2 0 s 1
2 1 0
2 s 2
II-3-b : A quelle condition la solution de cette équation est-elle purement sinusoïdale ?
II-3-c : Que se passe-t-il si le terme
1 2 1
R R Q R
-
1 est strictement négatif ? Quel est alors le mode de fonctionnement de l’ALI ?
QUATRIEME PROBLEME : Oscillateur de relaxation
L’usage de calculatrice est interdit pour ce problème.
Les deux parties du problème sont assez largement indépendantes. Il est néanmoins préférable d’avoir résolu les questions 1.1 et 1.2 avant d’aborder la deuxième partie.
1. On considère le montage de la figure E.1 représentant un amplificateur linéaire intégré (ALI) idéal de gain infini associé à deux résistances. On appelle Usat et -Usat les deux tensions de saturation positive et négative en sortie de l’amplificateur. On notera
2 1
2
R R k R
.
1.1 Etudier le fonctionnement de ce montage et en déduire la caractéristique de transfert donnant la tension de sortie en fonction de la tension d’entrée : us= f(ue). On aura soin de préciser sur cette caractéristique les points particuliers en fonction de k et de Usat (et -Usat).
1.2 Quelle est la fonction réalisée par ce montage ?
On ajoute au montage précédent un condensateur de capacité C et une résistance R pour obtenir le montage de la figure E.2.
1.3 Ecrire l’équation différentielle régissant l’évolution de la tension ue en fonction de la tension us et de la constante de temps = RC.
1.4 En supposant que la valeur initiale de la tension ue est nulle et que la tension de sortie us est égale à Usat, résoudre l’équation précédente en donnant l’expression de la tension ue(t). Jusqu’à quel instant dure ce régime ?
1.5 On admet que les commutations en sortie de l’ALI sont instantanées. Dessiner sur un même graphique l’allure des signaux us(t) et ue(t).
1.6 Calculer alors la fréquence f du signal observé en sortie de l’ALI.
2. On considère maintenant le montage de la figure E.3 construit autour de deux ALI idéaux de gain infini de mêmes tensions de saturation Usat.
2.1 Quelle est la fonction réalisée par le second ALI associé aux éléments R et C ?
2.2 On suppose ce fonctionnement parfait. Donner l’équation différentielle reliant les tensions us et v en fonction de la constante = RC.
2.3 Déterminer l’équation reliant la tension ue aux tensions us et v en fonction uniquement de R1 et R2. 2.4 Pour quelles valeurs V0 et -V0 de v le premier amplificateur voit-il sa tension de sortie us basculer de -Usat à +Usat ou de +Usat à -Usat ?
2.5 Compte tenu de la réponse précédente, quelle condition doivent respecter les résistances R1 et R2 pour que le montage puisse fonctionner ?
Cette condition est supposée vérifiée dans la suite du problème.
2.6 On choisit un instant initial tel que v = V0 et us = Usat et l’on suppose toujours les commutations de l’ALI instantanées. Tracer sur un même graphique la forme temporelle des tensions v(t) et us(t).
2.7 Calculer la fréquence f’ de ces tensions.
2.8 Quelles améliorations a-t-on apportées par rapport au premier montage ?
2.9 Application numérique : on choisit un condensateur de capacité C = 10 nF, la tension de saturation valant Usat = 12 V.
Donner des valeurs numériques raisonnables aux trois résistances R1, R2 et R pour que le montage puisse délivrer en v(t) une tension d’amplitude 6 V avec une fréquence réglable entre 100 Hz et 10 kHz.
