DYNAMIQUE DU SOLIDE

COURS DE MECANIQUE 2ème année

Catherine POTEL, Philippe GATIGNOL

Chapitre 4.

DYNAMIQUE DU SOLIDE

Université du Maine - UFR Sciences et Techniques

AVANT-PROPOS

A noter que la numérotation des paragraphes adoptée ici est calquée sur celle du cours oral afin de faciliter le suivi du cours magistral, mais ne répond pas aux normes de présentation usuelles d'un document écrit.

Le but de ce chapitre est d'énoncer dans toute sa généralité le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) ainsi que ses conséquences pour l'étude du mouvement d'un système matériel quelconque. Deux formes particulières de ce principe ont déjà été énoncées : le Principe Fondamental de la Statique (PFS) au chapitre 3, et le Principe Fondamental de la Dynamique du point matériel, dans le cours de mécanique du point. L'énoncé général, dans le cas d'un système matériel quelconque, nécessite la définition préalable de grandeurs dites

"dynamiques" qui associent les notions de masse, vitesse et accélération.

Les points importants de ce chapitre sont :

L'énoncé précis du PFD, avec le concept de repère galiléen Les éléments d'inertie d'un solide rigide

I GRANDEURS DYNAMIQUES D'UN SYSTEME MATERIEL

Un système matériel quelconque peut tout d'abord être modélisé par un ensemble de points matériels, mais l'extension aux systèmes à répartition continue de masse est immédiate. Il suffit en effet de remplacer tous les signes

i

∑

par une intégrale simple, double ou triple, selon la géométrie considérée.

Considérons donc à présent des systèmes mécaniques constitués d'un ensemble de points matériels A₁,...A_n dotés des masses m₁,...m_n. Nous noterons par Σ un tel système :

Σ =

o d

A₁,m₁

i d

,..., A_n,m_n

i t d

=

o

A_i,m_i

i t

^,

et l'on s'intéresse au mouvement de Σ par rapport à un repère R₀.

1. Torseur dynamique

a) Cas du point matériel

Le Principe Fondamental de la Dynamique du point matériel s'énonce de la manière suivante : Si un point matériel A, de masse m, est en mouvement par rapport à un repère galiléen R0, la somme des forces (extérieures) appliquées au point A est égale au produit de la masse m du point par l'accélération galiléenne du point :

(

A/

) (

ext A

)

mΓr R₀ =Rr →

. (4.1)

On a vu par ailleurs qu'à chaque force appliquée à A on peut associer un glisseur dont le support passe par A , et à l'ensemble des forces appliquées à A , le glisseur unique équivalent à la somme de tous ces glisseurs :

[

^A,Rr

(

^ext→A

) ]

.

Il est alors logique de considérer également le glisseur A m, r A/

Γ

d

R0

i

, appelé glisseur dynamique. Le PFD du point A , lorsque R0 est galiléen, peut alors s'exprimer par l'égalité des glisseurs :

( )

[

^A,mΓr^A/R0

]

=

[

^A,Rr

(

^ext→^A

) ]

. (4.2) L'égalité des vecteurs libres redonne l'énoncé classique rappelé à l'équation (4.1).

L'égalité des moments en un point K ne donne aucune information supplémentaire. En effet, si l'on choisit K≡A, on obtient trivialement :

r r0=0 .

De la même manière que précédemment, on introduit le moment dynamique du point matériel A, pris au point K :

r r

δ_K

d

A/R0

i

⁼K A^{⎯ →⎯ ∧}m^Γ

d

A/R0

i

^{. (4.3)}

b) Généralisation au cas du système Σ L'ensemble des glisseurs dynamiques

( )

[ ] [ ( ) ]

{

A1,m1ΓA1/R0 , ,An,mnΓrAn/R0

}

r L

est appelé :

torseur dynamique de Σ en mouvement par rapport à R0 :

(

/R0

) { [

Ai,d

(

Ai/R0

) ] }

D r

=

Σ , (4.4)

de résultante dynamique

( ) ( ) (

0

)

i i i 0

0 m A / m G/

/

d^rΣ R =∑ Γ^r R = Γ^r R ^{, (4.5)}

et de moment dynamique au point K

(

^Σ

)

⁼∑ ^{∧ Γ}

( )

δ ^⎯⎯→

i i i i 0

0

K /R KA m rA /R

r , (4.6-a)

soit δ

(

Σ

)

=∑δ

( )

i K i 0

0

K /R r A /R

r , (4.6-b)

où G est le centre de masse du système Σ et m est la masse totale de ce système. Le centre de masse G est tel que

G O m A O m

i i i=

∑ ^{. (4.7)}

ƒ Le PFD exprimera que, pour un repère d'observation R0 bien choisi, le torseur dynamique est égal au torseur des forces extérieures appliquées au système Σ.

2. Principe fondamental de la dynamique

a) Enoncé du principe

Cet énoncé est l'énoncé général du Principe Fondamental de la Dynamique (PFD). Tous les autres énoncés s'en déduisent comme cas particuliers.

Il existe un repère privilégié, appelé repère galiléen, soit R₀, tel que pour tout système matériel Σ, en général en mouvement par rapport à R₀, le torseur dynamique de Σ par rapport à R₀ soit égal au torseur des forces extérieures exercées sur Σ,

soit D

(

Σ/R₀

)

=

{

ext→Σ

}

(4.8)

Cette égalité (ou équivalence) entre torseurs se traduit par l'égalité des résultantes :

rd

d

Σ/R₀

i b

=R→ext Σ

g

→ , (4.9)

et par l'égalité des moments en un point K :

δr_K

d

Σ/R₀

i

⁼M^→_K

b

ext^→Σ

g

^{. (4.10)}

Dans le cas du point matériel unique, la distinction entre forces extérieures et forces intérieures ne se posait pas. Sur ce plan, l'extension aux systèmes matériels n'est pas immédiate : il est fondamental que le PFD pour les systèmes ne fasse intervenir que les forces extérieures à Σ.

b) Repères galiléens, invariance galiléenne

™ Le PFD postule l'existence dans l'Univers d'au moins un repère R0 dans lequel l'énoncé du principe est valable. Préciser la position d'un tel repère dans l'espace cosmique n'est pas chose facile. Dans la réalité, on considère toujours des repères qui ne sont galiléens que de manière approchée.

La définition du repère galiléen dans lequel on considère le PFD comme valable dépend en réalité de l'échelle du problème considéré :

- Pour un problème de dynamique concernant un système mécanique à l'échelle de l'homme (machine, véhicule, ...) un repère lié à la Terre locale (au sol ou à la pièce) est suffisant. Ce faisant, on néglige des mouvements tels que la rotation de la Terre.

- Pour des problèmes terrestres à plus grande échelle, on ne peut plus négliger cette rotation. On prendra alors un repère dont l'origine est au centre de la Terre et dont les axes ont des directions fixes par rapport aux étoiles. Cependant, on néglige encore dans ce cas le mouvement (elliptique) de la Terre autour du Soleil.

- L'étude du mouvement des planètes dans le système solaire se fait sur la base d'un repère dont l'origine est au centre de masse du système solaire (pratiquement le centre du Soleil) et dont les axes ont des directions fixes par rapport aux étoiles.

- A des échelles plus grandes (galaxie, cosmos), on sort pratiquement du domaine de la Mécanique classique en raison des très grandes vitesses mises en jeu, et chercher à définir des repères galiléens n'a plus grand intérêt.

™ Invariance galiléenne

Théorème : Lorsque, pour un problème donné, un repère R0 peut être considéré comme galiléen, il lui correspond une infinité de repères, mobiles par rapport à R0, qui peuvent eux aussi être considérés comme galiléens, avec la même approximation.

Ce sont tous les repères animés d'un mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport à R₀.

Démonstration :

ƒ Soit R1=

d

O ,1B1

i

, un repère animé d'un mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport à R0=

d

O ,0B0

i

^.

La base B1 du repère R1 peut être choisie de telle sorte qu'elle coïncide constamment avec la base B₀ de R₀ (figure 4.1).

ƒ Tous les points liés à R₁ ont même vitesse, à chaque instant, par exemple celle de O₁.

O₁

x0

y0

y₁ z₀

x₁ O₀

z₁

R₀

R₁

figure 4.1

La translation étant rectiligne uniforme, le vecteur r

V O

d

₁/R₀

i

est constant au cours du temps.

ƒ Considérons alors un système matériel quelconque Σ. Soit A_i l'un de ses points de masse m_i. Par composition des vitesses, on peut écrire :

r r r

V A

d

_i/R0

i d

⁼V A_i/R1

i d

⁺V O1/R0

i

^(4.11)

Pour les accélérations, en dérivant par rapport au temps et par rapport à la base B₀≡B₁ :

r r r

Γ

d

A_i/R₀

i d

⁼ΓA_i/R₁

i d

⁺ΓO₁/R₀

i

^{. (4.12)}

Or le vecteur r

V O

d

₁/R₀

i

est constant au cours du temps, donc on obtient :

r r

Γ

d

A_i/R0

i d

⁼ΓA_i/R1

i

^{. (4.13)}

Par suite, pour le système matériel Σ, on a égalité des deux torseurs dynamiques :

D

d

Σ/R₀

i d

⁼D Σ/R₁

i

^{. (4.14)}

ƒ Si R₀ est galiléen, on a par ailleurs, d'après le PFD :

(

Σ/R₀

)

=R

(

ext→Σ

)

D . (4.15)

Il en résulte que R1 est tel que pour tout système matériel Σ on ait l'égalité :

(

Σ/R₁

)

=R

(

ext→Σ

)

D , (4.16)

et par suite R₁ est lui-même galiléen.

c) Principe de l'action-réaction On généralise ici ce qui a déjà été vu en statique.

Considérons deux systèmes matériels Σ₁ et Σ₂ en mouvement par rapport à un repère galiléen R0, et désignons par Σ le système total :

Σ Σ= ₁∪Σ₂ (4.17)

On a, pour les torseurs dynamiques, l'égalité suivante :

D

d

Σ/R₀

i d

=D Σ₁/R₀

i d

+D Σ₂/R₀

i

. (4.18)

™ Par ailleurs, les actions mises en jeu sont de deux sortes :

- les actions extérieures au système total Σ, qui s'appliquent soit à Σ₁, soit à Σ₂.

- les actions mutuelles des systèmes Σ₁ et Σ₂.

ƒ Pour les premières, on a l'égalité suivante entre les torseurs associés :

{

ext_/Σ→Σ

}

=

{

ext_/Σ→Σ₁

} {

+ ext_/Σ→Σ₂

}

(4.19) où la notation ext_/Σ précise que les actions considérées sont extérieures relativement à Σ.

ƒ Les actions exercées sur Σ₁, extérieures à Σ₁, sont quant à elles constituées des actions provenant de l'extérieur de Σ et de l'action de l'autre constituant Σ₂. On a ainsi l'égalité :

{

ext/ 1

} {

ext/ 1

} {

2 1

}

1→Σ = Σ→Σ +Σ →Σ

Σ , (4.20)

et de même pour Σ₂ :

{

ext/ 2

} ^{

ext/ 2

^{} {}

1 2

^}

2 →Σ = _Σ→Σ + Σ →Σ

Σ (4.21)

™ Appliquons à présent le PFD à chacun des systèmes Σ₁, Σ₂ et Σ, le repère R0 étant

galiléen : D

(

Σ1/R0

)

=

{

ext/Σ₁→Σ1

}

(4.22)

(

Σ2/R0

)

=

{

ext/Σ₂ →Σ2

}

D (4.23)

(

Σ/R₀

)

=

{

ext_/Σ→Σ

}

D (4.24)

De l'égalité (4.18) entre les torseurs dynamiques, on déduit alors l'égalité suivante :

{

ext/

} {

ext/ 1

} {

ext/ 2 2

}

1→Σ + →Σ

= Σ

→ Σ Σ

Σ . (4.25)

A l'aide des équations (4.20) et (4.21), on écrit ensuite :

{

ext/_Σ→Σ

}

=

{

ext/_Σ→Σ1

} {

+ Σ2→Σ1

} {

+ ext/_Σ→Σ2

} {

+ Σ1→Σ2

}

, ce qui conduit, d'après l'équation (4.19), à :

{

Σ₂→Σ₁

} {

+ Σ₁→Σ₂

}

=

O ,

soit finalement :

{

Σ2→Σ1

} {

=−Σ1→Σ2

}

. (4.26)

On est ainsi conduit à l'énoncé suivant :

Principe : Les actions d'un système mécanique Σ₁ sur un autre système mécanique Σ₂ sont opposées aux actions du système Σ₂ sur le système Σ₁, en ce sens que les torseurs correspondants sont opposés.

d) Dynamique des systèmes de masse négligeable

Lorsque les masses des divers points constitutifs de Σ peuvent être considérées comme négligeables (vis-à-vis de masses d'objets extérieurs interagissant avec Σ), le torseur dynamique D

b

Σ/R

g

⁼O pour tout repère R, et en particulier pour un repère R₀ galiléen.

Le PFD conduit alors à l'égalité :

ext→Σ =

l q

O . (4.27)

Cas particulier important : constituant intermédiaire de masse négligeable

Σ₁ Σ₂

Σ%

Figure 4.2

Considérons deux systèmes mécaniques Σ₁ et Σ₂ liés entre eux par un système intermédiaire Σ% de masse négligeable (figure 4.2). On suppose de plus que Σ% n'est soumis à aucune autre action, de contact ou à distance, que celles exercées par Σ₁ et Σ₂.

Le torseur des actions extérieures s'exerçant sur le système Σ~

est donc la somme du torseur des actions de Σ₁ sur Σ~

et du torseur des actions de Σ₂ sur Σ~ , soit

{

^ext→Σ~

} {

^{= Σ}1^→Σ~

} {

^+Σ2^→Σ~

}

. (4.28) D'après le PFD, sous la forme particulière de l'équation (4.27), on a donc :

{

Σ →Σ~

} {

+Σ →Σ~

}

=O

2

1 . (4.29)

En vertu du principe de l'action-réaction énoncé au § I.2.b), on en déduit :

{

1

} {

2

}

~

~ = Σ→Σ Σ

→

Σ . (4.30)

ƒ Conclusion : lorsque Σ% est un système intermédiaire, de masse négligeable, ne recevant d'autres actions extérieures que celles exercées par les deux constituants Σ₁ et Σ₂ qu'il relie, ce système intermédiaire Σ% transmet à Σ₂ intégralement les actions qu'il reçoit de la part de Σ₁.

Ce résultat serait faux si la masse de Σ était prise en compte : les deux torseurs %

{

Σ →Σ~

}

1 et

{

2

}

~→Σ

Σ différeraient alors d'une quantité égale au torseur dynamique D

d

Σ%/R₀

i

^où R0 à présent doit être galiléen.

ƒ Application pratique : clavetage

L'un des moyens pour un arbre Σ₁ de transmettre une certaine puissance à une poulie Σ₂, est d'utiliser une clavette Σ (figures 4.3). %

O z O

y

x

C→ Σ%

Σ₁

Σ2

figure 4.3-a figure 4.3-b

La poulie Σ₂ est alors liée en rotation à l'arbre Σ₁ par l'intermédiaire de la clavette Σ. Si l'on % connaît

{

Σ →Σ~

}

1 , et si l'on néglige la masse de la clavette, alors on pourra écrire, d'après l'équation (4.30) que

{

1

} {

2

}

~

~ = Σ→Σ Σ

→

Σ .

La puissance étant notamment transmise par l'intermédiaire de la projection sur l'axe er_z du moment MO

(

^Σ1^→Σ~

)

, soit M_O

(

Σ₁→Σ~

)

⋅er_z=C (où C est couramment appelé "couple moteur"), on aura alors M_O

(

Σ~→Σ₂

)

⋅er_z=C, ce qui revient à écrire :

( )

C

M_O Σ₁→Σ₂ ⋅er_z= . (4.31)

ƒ Exemple du ressort

Le système de la figure 4.4 est constitué de trois ressorts reliant deux points matériels A et B de masses respectives m et ₁ m , dont les déplacements, respectivement notés ₂ x₁(t)et )x₂(t , sont référencés dans le repère ayant pour origine leur position d'équilibre respective.

e_x

→

x1 x₂

A m B

1 m

2

k1 k

k 2 3

(t) (t)

Figure 4.4

A m B

1 m

2

T

→ T '

→

Figure 4.5

Les ressorts sont des systèmes de masse négligeable.

Ainsi, le ressort de raideur k reliant les point A et B ₃ n'est soumis qu'à deux actions mécaniques extérieures, celles des points A et B (figure 4.5).

x Notons

( )

^A,Tr' l'action du ressort sur le point A (et non l'inverse), et

( )

^B,Tr l'action du ressort sur le point B (Figure 4.5), soit

{

^ressort→A

}

⁼

( )

^{A,Tr' =−}

^{

^A→ressort

^}

^{, (4.32-a)}

et

{

^ressort→^B

}

=

( )

^B,Tr =−

{

^B→^ressort

}

. (4.32-b)

x L'application du PFD au ressort de masse négligeable conduit, d'après l'équation (4.27) à

{

A→ressort

} {

+ B→ressort

}

=O , (4.33) soit, pour les résultantes, à

0 T ' Tr r r

=

−

− ,

d'où Tr' Tr

−

= . (4.34)

II ELEMENTS D'INERTIE D'UN SOLIDE

1 Introduction

e_z

→e_z

→e_z

→ Figure 4.6

Le solide de la figure 4.6 est constitué d'un disque de grand diamètre et d'un axe de plus faible diamètre, le tout pouvant tourner autour de re_z.

On considère quatre anneaux identiques (donc de même masse), que l'on dispose de deux manières différentes (figure 4.7) ; sur la figure 4.7-a), ils sont collés sur la face avant du disque, et sur la figure 4.7-b), ils sont fixés sur l'axe du disque.

e_z

→ 1

e_z

→ 2

e_z

→ 1

e_z

→e_z

→ 1

e_z

→ 2

e_z

→e_z

→ 2

Figure 4.7-a) Figure 4.7-b)

Si l'on veut faire tourner chacun des deux systèmes, l'expérience montre qu'il faudra dépenser beaucoup plus d'énergie pour communiquer une vitesse de rotation donnée au système c (figure 4.7-a) qu'au système d (figure 4.7-b), alors que chacun des deux systèmes a la même masse.

On peut en conclure que la distance de la masse par rapport à l'axe est un élément important dans l'étude de la dynamique des systèmes.

2 Répartition de masse continue

Le cas, plus fréquent, des solides à répartition continue de masse, fait appel à la notion d'intégrale : tous les signes

i n

∑

= 1

se transforment en

z

S sur une ligne, une surface ou un volume. Citons quelques exemples de solides homogènes :

a) Cas d'une ligne

Masse linéique λ =m

L λ =M L⁻¹ ⇒ unité : kg m. ⁻¹

b) Cas d'une surface

Masse surfacique σ =m

S σ =M L⁻² ⇒ unité : kg m. ⁻²

c) Cas d'un volume

Masse volumique ρ =m

V ρ =M L⁻³ ⇒ unité : kg m. ⁻³

3 Exemples de calcul du moment dynamique

a) Pendule simple

x ₀

g

→

g

→

g

→

z₀

θ O

A

y ₀

x ₁ y ₁

l m

Figure 4.8

Le système de la figure 4.8 est constitué d'une tige sans masse de longueur OA de longueur l à laquelle est accrochée une masse m considérée comme ponctuelle au point A . La tige est en liaison pivot sans frottements d'axe

(

O,erz0

)

avec le bâti. La position de la tige est repérée par l'axe Ox₁, faisant un angle θ avec l'axe Ox₀ (figure 4.8). Le repère R0=

(

O,erx₀,ery₀,erz₀

)

est galiléen, l'accélération de la pesanteur étant telle que

x0

e g gr=− r . L

m

S

V

Le torseur dynamique de la tige par rapport au repère R₀ se réduit au torseur dynamique du point A par rapport au repère R₀, donné par ses éléments de réduction au point O :

(

A/ 0

)

m

(

A/ 0

)

d R = Γr R

r , (4.35-a)

et δrO

(

A/R0

)

=OA∧mΓr

(

A/R0

)

. (4.35-b)

x Le vecteur position OA est donné par ses composantes sur la base B1=

(

erx1,ery1,erz0

)

:

x1

e

OA=lr . (4.36)

x La vitesse du point A par rapport au repère R₀ s'écrit

( )

/ 0

0 dt

OA / d

A V

B

R ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

=⎛

r , (4.37)

soit, en appliquant la formule de changement de base de dérivation

( ) (

^/

)

^OA

t d OA / d

A

V _{1 0}

/ 0

1

∧ Ω

⎟ +

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

=⎛ B B

R

B

r

r , (4.38)

soit V

(

A/ 0

)

0 ez₀

( )

erx₁ l&ery₁

r l

&

r

r R = +θ ∧ = θ . (4.39)

x L'accélération du point A par rapport au repère R₀ s'écrit

( ) ( )

/ 0 0

0 dt

/ A V / d

A

B

R R ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

=⎛ Γ

r r

, (4.40)

soit, en appliquant la formule de changement de base de dérivation

( ) ( ) (

1 0

) (

0

)

/ 0

0 / VA/

t d

/ A V / d

A

1

R B

R B R

B

r r r

r ⎟⎟ +Ω ∧

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

=⎛

Γ , (4.41)

soit Γr

(

A/R0

)

=lθ&&ery1+θ&erz0∧

(

lθ&ery1

)

, (4.42) d'où Γr

(

A/R₀

)

=−lθ&²er_x1+lθ&&er_y1 . (4.43) x La résultante dynamique du point A par rapport au repère R₀ s'écrit donc, en remplaçant

(

A/R0

)

Γr

par son expression (4.43) dans la relation (4.35-a) :

( )

x₁ y₁

2

0 m e m e

/ A

d l& r l&&r

r R =− θ + θ . (4.44)

x Le moment dynamique au point O du point A par rapport au repère R₀ s'écrit, en remplaçant Γr

(

A/R0

)

par son expression (4.43) dans la relation (4.35-b) :

( )

2 z₀

0

OA/ ml &&er

r = θ

δ R . (4.45)

Le terme ml² est le produit de la masse du point A par le carré de la distance au carré entre le point A et l'axe de rotation

(

O,erz₀

)

. C'est le moment d'inertie du point A par rapport à l'axe

(

O,erz0

)

.

b) Pendule composé

x ₀

g

→

g

→

g

→

z₀

θ O

G

y ₀

x ₁ y ₁

l

Figure 4.9

Le système de la figure 4.9 est constitué d'une tige pesante homogène S de masse m de longueur l. Le centre de masse G est donc situé à une distance l2 du point O. La tige est en liaison pivot sans frottements d'axe

(

O,erz0

)

avec le bâti. La position de la tige est repérée par l'axe Ox₁, faisant un angle θ avec l'axe Ox₀ (Figure 4.8). Le repère R0=

(

O,erx₀,ery₀,erz₀

)

est galiléen, l'accélération de la pesanteur étant telle que

x0

e g gr=− r .

M O

θ

dρde masse dm ρ

Figure 4.10

Un point M courant de la tige a pour coordonnées polaires

( )

ρ,θ (figure 4.10). Un petit élément d de la tige, centré sur le point ρ M, a pour masse

ρ λ

= d m

d . (4.46)

où λ est la masse linéique de la tige (m=λl ). Il convient de noter ici que ρ est la variable de description spatiale de la tige à t fixe ; il est donc constant à t fixé et ne varie donc pas en fonction du temps.

L'accélération du point M par rapport au repère R₀ s'écrit, en utilisant le résultat de l'équation (4.43) et en remplaçant l par ρ :

( )

x₁ y₁

2

0 e e

/

M & r &&r

r =−ρθ +ρθ

Γ R . (4.47)

Le moment dynamique au point O de la tige S par rapport au repère R₀ s'obtient alors en sommant tous les moments dynamiques élémentaires du point M courant au point O, lorsque M décrit toute la tige, soit ρ variant de 0 à l :

( )

=⎮⌡⌠ ∧Γ

( )

δr ^l r

0 0

0

OS/R OM M/R dm , (4.48)

soit ^r

( )

0^{l &&r}z ^&&rz

[ ]

^{3 l}₀

2 0

OS/ e d e 3

0

0 ρ=λθ ρ

θ ρ λ

=

δ ^R ∫ ^,

d'où, en remplaçant λ par ml

(

₀

)

² _z0

O e

3 / m

S l &&r

r = θ

δ R . (4.49)

La quantité ml² 3 est homogène à une masse multipliée par une longueur au carré.

Les quantités ml² et ml² 3 qui interviennent dans les cas particuliers a) et b) sont ce que l'on appelle les moments d'inertie du solide (S) par rapport à l'axe

(

O,erz₀

)

qui est ici l'axe de rotation fixe par rapport au repère R₀. L'objet du paragraphe suivant est de généraliser ces notions.

4 Définition des éléments d'inertie d'un solide

a) Moment d'inertie par rapport à une droite A2

A1

Ai

d1 ²

d

di (∆) Figure 4.11

Soit une droite

b g

∆ (figure 4.11). Si l'on désigne par d_i les distances des points A_i du solide S

b g

par rapport à

b g

∆ ^{, on} définit le moment d'inertie de

b g

S par rapport à

b g

∆ ^{par :}

I S m d_{i i}

i

∆

b g

⁼

_∑

^{2 . (4.50)}

Dans le cas d'une seule masse (Figure 4.8), IOz

( )

S m ²

0 = l .

Remarques :

ƒ un moment d'inertie est toujours positif

ƒ Dimension : I_∆ =M L² ⇒ unité : kg m. ²

b) Moment d'inertie par rapport aux axes d'un repère R

M

K

x

y z

2 2 z y+

2

2 z

x+

2

2 y

x+

Figure 4.12

Soit K un point quelconque. On considère la base

B=

d

r r re_x,e_y,e_z

i

associée au repère R=

b

K,B

g

^,

ce repère n'étant pas nécessairement lié à S

b g

^{. En}

désignant par x y z

b

, ,

g

les coordonnées cartésiennes d'un point M dans le repère R, c'est-à-dire K M x e_x y e_y z e_z

⎯ →⎯

= r + r + r , on peut écrire, d'après la définition du § II4.a), les moments d'inertie par rapport aux trois axes du repère :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

^{S m}

(

^{x y}

) (

^{x y}

)

^{dm ,}

I C

, m d z x z

x m S I B

, m d z y z

y m S I A

masse de continue n répartitio

S M

2 2 i

2 i 2 i i Kz

S M

2 2 i

2 i 2 i i Ky

S M

2 2 i

2 i 2 i i Kx

4 4 3 4 4 2

1∫

∑

∑ ∫

∑ ∫

∈

∈

∈

+

= +

=

=

+

= +

=

=

+

= +

=

= (4.51-a)

(4.51-b) (4.51-c) où

(

^y2+^z2

)

,

(

^x2+^z2

)

et

(

^x2+^y2

)

désignent respectivement le carré de la distance du point M aux axes (Kx), (Ky) et (Kz) (figure 4.12).

Exemple : Le moment d'inertie d'une tige, assimilée à une ligne (figure 4.9) par rapport à l'axe Oz est 0 ^IOz₀

( )

^S =^ml^{2 3}. Il convient de noter que le moment d'inertie par rapport à un axe parallèle, par exemple l'axe Gz passant par le centre de masse G du solide, n'est pas égal à ₀

3

ml² : I

( )

S I

( )

S

0

0 Gz

Oz ≠ .

c) Produits d'inertie par rapport aux plans de coordonnées d'un repère R Définition : on appelle "produit d'inertie" du solide

b g

S par rapport aux deux plans de coordonnées x=0 et y=0, la quantité :

J_{Kx Ky} S m x y_{i i}

i

b g

=

∑

i ^{. (4.52)}

L'orientation des axes de coordonnées est essentielle ici pour obtenir le signe de ces produits d'inertie.

( ) ( )

( )

^{S mx y xydm .}

J F

, m d z x z x m S J E

, m d z y z y m S J D

masse de continue

n répartitio

S i M

i i i

Ky Kx

S i M i i i Kz

Kx

S i M i

i i Kz

Ky

43 42

1∫

∑

∑ ∫

∑ ∫

∈

∈

∈

=

=

=

=

=

=

=

=

= (4.53-a)

(4.53-b) (4.53-c)

Remarques :

- Les produits d'inertie sont des quantités positives, négatives ou nulles.

- On pourra se reporter au tableau de la figure 4.15 pour connaître les éléments d'inertie en un point O , et les centres de masse de quelques solides homogènes.

! Lorsque l'on cherche un élément d'inertie en un autre point que le point O , il faut utiliser le théorème de Huygens (§ II.5.b).

d) Opérateur d'inertie

Définition : L'opérateur d'inertie du solide

b g

S en un point K et exprimé dans la base

B=

d

r r re_x,e_y,e_z

i

peut s'écrire sous la forme d'une matrice symétrique, appelée matrice

d'inertie:

I B

KS A F E

F B D

E D C

b g

=

− −

− −

− −

L N MM M

O Q PP

P

^{. (4.54)}

Si la base B est associée à un repère R=

b

K,B

g

^{lié à S}

b g

^{, alors} IK

b g

S ne dépend pas du temps.

y Axes principaux d'inertie

Théorème : Il existe au moins une base B, appelée base principale d'inertie de

b g

S ^au point K, telle que tous les produits d'inertie soient nuls, c'est-à-dire telle que la matrice d'inertie soit diagonale :

I B

K S A

B C

b g

=

L N MM M

O Q PP P

0 0

0 0

0 0

. (4.55)

ƒ Tout axe de symétrie d'un solide est axe principal d'inertie.

ƒ Tout plan de symétrie d'un solide est un plan principal d'inertie.

Exemples :

ƒ Solide de révolution d'axe

d

K e,r_z

i

^:

R=

b

K,B

g

est repère principal d'inertie.

I B

K S A

A C

b g

=

L N MM M

O Q PP P

0 0

0 0

0 0

ƒ K est centre de symétrie sphérique :

Tout axe passant par K est axe principal d'inertie.

I B

K S A

A A

b g

=

L N MM M

O Q PP P

0 0

0 0

0 0

x K y

z (S)

G

Figure 4.13

K

Figure 4.14

e) Eléments d'inertie de quelques solides homogènes usuels

Figure 4.15

! Lorsque l'on cherche un élément d'inertie en un autre point que le point O , il faut utiliser le théorème de Huygens (§ II.5.b).

Centre de masse et éléments d'inertie au point O de quelques solides homogènes usuels Solide homogène de masse MCentre de masse GEléments d'inertie Solide homogène de masse M Centre de masse G Eléments d'inertie cylindre creux

Centre O Demi-sphère (creuse) Cylindre plein

Centre O Quart de cercle matériel Parallélépipède rectangle Centre O Quart de plaque elliptique

Sphère (creuse)

Centre O Secteur circulaire Boule (pleine)

Centre O Tore creux

Centre O Cône creux

On remarquera qu'il est possible de déduire de ce tableau d'autres résultats : Ainsi la tige s'obtient en faisant dans le cylindre plein, la plaque en faisant dans le parallélépipède rectangle, etc... N.B. : les solides "creux" sont supposés d'épaisseur négligeable.

5 Centre de masse d'un solide

a) Répartition de masse discontinue

Considérons un système mécanique constitué d'un ensemble de points matériels A₁,...A_n dotés des masses m₁,...m_n (figure 4.16). Les masses m_i sont supposées constantes dans toute la suite. Nous noterons par Σ un tel système :

Σ =

o d

A₁,m₁

i d

,..., A_n,m_n

i t d

=

o

A_i,m_i

i t

^,

Définition : Le centre de masse G d'un corps est le barycentre de la répartition de masse du corps.

Sa position est donnée par :

∑

∑

=

=

⎯→

⎯

⎯→

⎯ =

n 1 i

i n

1

i i i

m OA m

OG , (4.56-a)

soit ∑

=

⎯→

⎯

⎯→

⎯ = ⁿ

1 i miOAi

OG

m , (4.56-b)

où m est la masse totale du système.

Remarque : En vertu du PFS, le centre de masse d'un corps est le point d'application de la force de pesanteur exercée sur ce corps, d'où le nom fréquent de centre de gravité.

Soit le repère R=

b

K,B

g

^{avec B=}

d

^{r r re}x,^ey,^ez

i

. En vertu de la définition du centre de masse G donnée au § II.5.a), ses coordonnées cartésiennes x

d

_G,y_G,z_G

i

dans le repère R sont telles que :

m x m x

m y m y

m z m z

G i i

i

G i i

i

G i i

i

=

=

=

∑

∑

∑

(4.57)

Où les x_i,y z_i, _i représentent les coordonnées des points A_i dans le repère R. O

A2

A3

A1

A_i

Figure 4-16

b) Théorème de Huygens pour les moments d'inertie

Théorème de Huygens : Le moment d'inertie d'un solide par rapport à une droite est égal à la somme du moment d'inertie par rapport à cette droite de la masse du solide concentrée au centre de masse G et du moment d'inertie du solide par rapport à la droite parallèle passant par G.

I S I S I m G

G

m d

∆

b g

= ∆

b g b g

+ ∆ ,

1 24 324 , (4.58)

où ∆_G est la droite parallèle à ∆ et passant par G , et d est la distance entre ∆ et ∆_G (figure 4.17)

Exemples :

(∆)

d G

(∆ )_G Figure 4.17

ƒ Solide de révolution d'axe

d

K e,r_z

i

^:

R=

b

K,B

g

est repère principal d'inertie.

I B

K S A

A C

b g

=

L N MM M

O Q PP P

0 0

0 0

0 0

D'après le tableau de la figure 4.15 A=I_Gx

b g

S +M d²=¹M R²+ M ²+M z_G²

4

1

12 l et C=1M R

2

2

ƒ K est centre de symétrie sphérique :

Tout axe passant par K est axe principal d'inertie.

( )

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

A 0 0

0 A 0

0 0 A

K S B I

D'après le tableau de la figure 4.15, A=2M R 5

2

x K y

z (S)

G

Figure 4.18

K

Figure 4.19

III CALCUL DES GRANDEURS DYNAMIQUES POUR UN SOLIDE RIGIDE

1. Application de l'opérateur à un vecteur

L'écriture des grandeurs dynamiques comportera des termes de la forme IK

( )

S

{

Ωr

(

B/B0

) }

, où B est la base associée au repère lié au solide

( )

^{S .}

Si l'on pose r

(

/ 0

)

xerx yery zerz

Ω + Ω + Ω

=

ΩB B , (4.59)

alors les composantes de IK

( )

S

{

Ωr

(

B/B0

) }

dans la base B sont :

( ) { ( ) }

z z z

y y y

x x x

z y x 0

K

C D E D B F E

F A C

D E

D B F

E F A /

S

Ω Ω Ω +

−

− Ω Ω Ω

− +

− Ω

− Ω

− Ω

= Ω Ω Ω

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

= Ω

B B B

B B I r

. (4.60)

2. Torseur dynamique

y La relation (4.5) donnant l'expression de la résultante dynamique est toujours valable :

(

/ ₀

)

m

(

G/ ₀

)

drΣ R = Γr R

, (4.61)

y Le moment dynamique au point K peut s'exprimer sous la forme suivante :

( ) ( ) ( ) ( )

(

0

)

K

( ) { (

0

) }

/ 0 K

0 0

K

/ S /

t d

/ S d

/ S K G K m / S

0

B B I

B B

B I B

R R

B

Ω

∧ Ω

+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝ + ⎛ Ω

∈ Γ

∧

=

δ ^⎯⎯→

r r

r r r

, (4.62)

où B est la base associée au repère lié au solide

( )

^{S .}

y Si, de plus, le repère R₀ est galiléen, l'énoncé du Principe Fondamental de la Dynamique, énoncé au § I.2.a) se traduit par :

D R R R

R M

S ext S

d S ext S

S ext S

K K

/

/ /

0

0

0

d i l q d i b g

d i b g

= → ⇔ = →

= →

R S|

T|

→

→

r δr

. (4.63)

3 Cas particuliers importants d'application du PFD

a) Solide en rotation autour d'une droite y Exemple du pendule composé, déjà étudié partiellement au § I.3.b).

x ₀

g→

g→

g→

z₀

θ O

G

y ₀

x ₁ y ₁

l

Figure 4.20

Le système de la figure 4.20 est constitué d'une tige pesante homogène

( )

S de masse m de longueur l. Le centre de masse G est donc situé à une distance l2 du point O. La tige est en liaison pivot sans frottements d'axe

(

O,erz₀

)

avec le bâti. La position de la tige est repérée par l'axe Ox₁, faisant un angle θ avec l'axe Ox₀ (figure 4.8). Le repère R0=

(

O,erx0,ery0,erz0

)

lié au bâti est galiléen, l'accélération de la pesanteur étant telle que

x0

e g gr=− r . Le repère R1=

(

O,erx₁,ery₁,erz₀

)

est lié à la tige, tel que

(

erx₀,erx₁

) (

⁼ ery₀,ery₁

)

^=θ.

3 Le système étudié est la tige

( )

S . 3 Les actions mécaniques extérieures sont :

x Action de la pesanteur ϖ :

{

^ϖ→S

}

⁼

( )

^{G,Pr avec} Pr mgerx₀

= ,

soit

{ }

1

0 0 0

0 sin g m

0 cos

g m G 0

0 0 0

0 g m G S

B

B ⎪

⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

θ

− θ

⎪ =

⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

→

ϖ .

x Action du bâti 0 sur la tige

( )

S :

{

0→S

}

, tel que

(

0 S

)

e 0

z0

O → ⋅r =

M ,

soit

{ }

0 1

Z M Y

L X O S 0

⎪B

⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

→ .

3 Le vecteur rotation associé au mouvement de B₁ par rapport à B₀ est

(

₁/ ₀

)

&er_z0

r =θ

ΩB B , (4.64)

et sa dérivée par rapport au temps et par rapport à la base B₀ est donc

( )

0 0

z / 0

1 e

t d

/

d &&r

r

θ

⎟ =

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ Ω

B

B

B . (4.65)

3 Le vecteur accélération du centre de masse G par rapport au repère R₀ s'obtient à partir de la relation (4.43), en remplaçant l par l2, et A par G,

soit

( )

x₁ y₁

2

0 2e 2e

/

G l& r l&& r

r =− θ + θ

Γ R . (4.66)

La résultante dynamique s'écrit donc

(

S/ ₀

)

m

(

G/ ₀

)

m ² 2e_x1 m 2e_y1

dr r l& r l&& r

θ + θ

−

= Γ

= R

R . (4.67)

3 Le Principe Fondamental de la Dynamique s'écrit, pour les résultantes :

(

ext S

)

d

(

S/R0

)

R r

=

→ , (4.68)

soit X+mgcosθ=−mlθ&² 2 , (4.69-a)

2 m sin g m

Y− θ= lθ&& , (4.69-b)

et Z=0 . (4.69-c)

3 La tige étant assimilée à une ligne de longueur l, ses éléments d'inertie au point O peuvent être déduits des éléments d'inertie d'un cylindre (plein ou creux) de rayon R=0du tableau de la figure 4.15. Il convient de noter que, dans ce tableau, le point O joue le rôle du centre de masse G de la figure 4.20, tout comme l'axe z joue celui de l'axe x . Par conséquent, ₁ l'opérateur d'inertie au point O, relativement à la base B₁ (base associée au repère R₁ lié au solide) est diagonal et est de la forme :

( )

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

C 0 0

0 B 0

0 0 A S

1 O

B I

, (4.70)

où A I

( )

S I

( )

S 0

1

1 Gx

Ox = =

= , (4.71-a)

( )

^{S I}

( )

^{S m}

( )

^{2 m 3}

I

B _{Oy Gy} ^{2 2}

1

1 = + l = l

= , (4.71-b)

et C I_Oz

( )

S B m ² 3

1 = = l

= . (4.71-c)

Remarque : Le moment d'inertie B de la tige par rapport à l'axe Oy₁ est calculé ici en utilisant le théorème de Huygens (§ II.5.b), et avait été calculé directement au § II.3.b).

3 L'opérateur d'inertie, appliqué au vecteur rotation Ωr

(

B1/B0

)

, s'écrit donc

( ) { ( ) }

θ

=

⎥ θ

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

= Ω

&

&

r

C 0 0 0 0 C 0 0

0 B 0

0 0 A /

S

1 1 1

0 1 O

B B B

B B I

,

soit

( ) { ( ) }

₀ z₀

2 z 0

1

OS ΩrB /B =Cθ&er =ml 3θ&er

I . (4.72)

3 De même, en utilisant la relation (4.65), l'opérateur d'inertie, appliqué à la dérivée du vecteur rotation Ωr

(

B₁^/B₀

)

par rapport au temps et par rapport à la base B₀

( ) ( )

0 0

0

z 2 z /

0 1

O C e m 3 e

t d

/

S d &&r l &&r

r

θ

= θ

⎪⎭=

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ Ω

B

B

I B . (4.73)

3 Le moment dynamique au point O du solide S par rapport au repère R₀, δr_O

(

S/R₀

)

, s'écrit, en utilisant la relation (4.62) :

( ) ( ) ( ) ( )

(

^/

) ( )

^S

{ (

^/

) }

^,

t d

/ S d

/ S O G O m / S

0 1 O 0 1

/ 0 1 O

0 0

O

0

B B I

B B

B I B

R R

B

Ω

∧ Ω

+

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝ + ⎛ Ω

∈ Γ

∧

=

δ ^⎯⎯→

r r

r r r

(4.74)

soit, en remplaçant Γr

(

O∈S/R0

)

par le vecteur 0r

(liaison pivot entre le solide S et le bâti 0), et en utilisant les relations (4.72) et (4.73)

( )

0 0

(

z0

)

2 z z 2 0

OS/ ml 3&&er &er ml 3&er

r = θ +θ ∧ θ

δ R ,

d'où r_O

(

S/ ₀

)

ml² 3&&er_z0 θ

=

δ R . (4.75)

3 Le moment au point des actions mécaniques extérieures est donné par

(

ext S

) (

S

)

O

(

0 S

)

P G O O

O → = ϖ→ + →

∧

M M

M 14 24 4 3_r4 ,

soit

( )

2 sin g m

0 0 0

M L 0

sin g m

cos g m 0

0 2 S

ext

1 1 1

1 O

θ

−

= + θ

− θ

∧

=

→

l l

B B B

B

M . (4.76)

3 Le Principe Fondamental de la Dynamique s'écrit, pour les moments au point O :

( )

O

(

0

)

Oext S S/R

M → =δr

, (4.77)

soit L=0 , (4.78-a)

0

M= , (4.78-b)

et −mglsinθ2=ml² 3θ&& . (4.78-c)

L'équation (4.78-c) donne l'équation du mouvement

( )

^{2 sin 0}

g

3 θ=

+

θ&& l , (4.79)

qui, sous forme linéarisée, s'écrit

2 0

0 θ= ω +

θ&& , (4.80-a)

avec ω₀= 3g

( )

2_l , (4.80-b)

où ω₀ est la pulsation propre des oscillations libres non amorties de la tige.