Projection sur un convexe fermé

Projection sur un convexe fermé

Référence :Hirsch-Lacombe: Elements d’analyse fonctionnelle p.91+Gourdon: Analyse p.407 (pour exis- tence et unicité)

Soient H un espace de Hilbert et C un convexe fermé non-vide deH. Soitx∈H. Alors

(i) ∃!y∈C vérifiantkx−yk=d(x, C) = inf

z∈C

kx−zk.yest alors notéxC oup(x).

(ii) p(x) est caractérisé par∀z∈C, <ehz−p(x), x−p(x)i60 Théorème

Preuve :

(i) Existence : Notons δ =d(x, C) = inf

z∈C

kx−zk. Par définition de δ et caractérisation séquentielle de la borne inférieure, il existe (yn)∈C^N telle que lim

n→∞kx−ynk=δ. On veut montrer que (yn) converge vers l’élément y ∈ C recherché. Pour cela, comme H est complet, on va montrer que (yn) est de Cauchy.

Soientp, q∈N, et appliquons l’égalité du parallélogramme¹ à (x−yp) et (x−yq).

k(x−yp) + (x−yq)k²+k(x−yp)−(x−yq)k² = 2 kx−ypk²+kx−yqk² k2x−yp−yq)k²+kyq−ypk² = 2 kx−ypk²+kx−yqk² CommeCest convexe yp+yq

2 ∈C pour toutpetqdonc

x−yp+yq

2

>δiek2x−yp−yqk²>δ². Et finalement

kyq−ypk²62kx−ypk²+ 2kx−yqk²−4δ² Par définition de (yn), le terme de droite tend vers 0 lorsquep, q→ ∞.

Donc (yn) est deCauchy. Donc commeH est complet elle converge vers un certainy∈H. MaisC est fermé doncy∈C et, par continuité de la norme, kx−yk=d(x, C).

Unicité : Supposons, par l’absurde, qu’il existez∈C z6=y tel quekx−zk=d(x, C).

On définit la suite (y_n) deC par :

(y sinpair z sinimpair .

Alors (yn) vérifiekx−ynk=δpour toutndonc en particulierkx−ynk −→

n→+∞δ.

Donc par ce qui a été fait précédemment dans l’existence, (yn) converge donc l’unicité de la limite nous donney=z.

(ii) p(x) vérifie la propriété :

Posons donc z∈C. Notons pourt∈]0,1[

zt=tz+ (1−t)p(x)∈C On a

kx−p(x) +t(p(x)−z)k²=kx−tz−(1−t)p(x)k²=kx−ztk²>kx−p(x)k²

1. Je rappelle ici :∀x, y∈H, kx+yk²+kx−yk²= 2 kxk²+kyk²

Laura Gayd’aprÃĺs FlorianBouguet p.1 22 juin 2015

Soit en développant

t²kp(x)−zk²+ 2t<ehx−p(x), p(x)−zi>0 tkp(x)−zk²−2<ehx−p(x), z−p(x)i>0 tkp(x)−zk²−2<ehz−p(x), x−p(x)i>0

tkp(x)−zk²>2<ehz−p(x), x−p(x)i

En faisant tendret vers 0, on a ce que l’on voulait.

p(x) est le seul élément qui vérifie cette propriété :

Soity∈C vérifiant∀z∈C,<ehx−y, z−yi60. Montrons quey=p(x). On a : kx−zk²=k(x−y) + (y−z)k²

=kx−yk²+ky−zk²

| {z }

>0

+ 2<ehx−y, y−zi

| {z }

>0

>kx−yk²

Autrement dit yréalise bien l’ inf

z∈C

kx−zk doncy=p(x).

On a de plus que la projectionp:x7→p(x) est 1- lipschitzienne.

Corollaire

Preuve :

Soientx1, x2∈H. On cherche à montrer que kp(x1)−p(x2)k6kx1−x2k. On a

<ehx1−x2, p(x1)−p(x2)i

=<ehx1−p(x1)−p(x2) +p(x1) +p(x2)−x2, p(x1)−p(x2)i

=<ehx₁−p(x₁), p(x₁)−p(x₂)i

| {z }

>0

+<eh−p(x₂) +p(x₁), p(x₁)−p(x₂)i

| {z }

kp(x1)−p(x2)k²

+<ehp(x₂)−x₂, p(x₁)−p(x₂)i

| {z }

>0

>kp(x1)−p(x₂)k²

Mais l’inégalité de Cauchy-Schwarz donne|hx₁−x₂, p(x₁)−p(x₂)i|6kx₁−x₂k kp(x₁)−p(x₂)k. Donc comme

<ehx₁−x₂, p(x₁)−p(x₂)i6|hx₁−x₂, p(x₁)−p(x₂)i|; on a

kp(x1)−p(x2)k²6<ehx1−x2, p(x1)−p(x2)i6kx1−x2k kp(x1)−p(x2)k Et finalement, en supposantp(x1)6=p(x2) (car sinon c’est évident...)

kp(x1)−p(x₂)k6kx1−x₂k

Notes :

XA l’oral, voir si y’a le temps de faire le corollaire. Sans corollaire : 11’23 ou 12’07 avec dessin.

X Il est bien de faire un dessin en dimension 2 en projetant sur une boule. Les résultats deviennent alors très géométriques et facilement explicables.

XEn fait, on a le même résultat dans un espace préhilbertien (muni d’un produit scalaire, non nécessairement complet), à condition de projeter sur un convexecomplet.

Laura Gayd’aprÃĺs FlorianBouguet p.2 22 juin 2015