MATHS Term INTEGRATION CORRIGES 1

MATHS Term INTEGRATION CORRIGES

1

1. FONCTIONS ET INTEGRALES, valeur moyenne

Exercice 1.1

Soit la fonction f d’expression ^{f x}

( )

^=x2. Calculer sa valeur moyenne m₁ sur l’intervalle [0 ; 1] et sa valeur moyenne m₂ sur l’intervalle [0 ; 2]. Illustrer graphiquement les résultats.

. .

1 2

3 3

1 2 2 2

1 0 2 0

0 0

1 1 1 1 1 8 4

d d

1 0 3 3 2 0 2 3 2 3 3

x x

m x x   m x x  

= −

∫

=  = = −

∫

=   = × =

Exercice 1.2

Soit f la fonction définie sur

]

^{0 ; + ∞}

[

^{par f x}

( )

^{= − +x 2 ln}

(

^{x+ −1}

)

^ln

( )

^{x .}

1) a. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +∞.

En 0 : ^lim_x→0

(

^{x− +2 ln}

(

^x+1

) )

^{= − +0 2 ln}

^{( )}

^{1 = −2 et lim ln}_x→0

^{( )}

^{x = −∞. Donc lim}_x→0^{f x}

^{( )}

^{= +∞.}

En +∞ : _x^{lim ln}

( (

^{x 1}

)

^ln

( )

^x

)

_x^{lim ln x 1} _x^{lim ln 1 1 ln}

( )

^{1 0}

x x

→+∞ →+∞ →+∞

+

   

+ − =  =  + = =

    , donc _x^lim_→+∞^{f x}

( )

^{= +∞.}

b. Etudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variation.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 2

1 1 1

1 1 1 1

x x x x x x

f x

x x x x x x

+ + − + + −

′ = + − = =

+ + + .

Le dénominateur de cette dérivée est positif.

Son numérateur possède deux racines : 1 5 2

− − , négative

(hors domaine de définition de la fonction) et 1 5 2

− + , positive. Ce numérateur est donc positif si, et seulement si,

1 5

x>− +2 .

x 0 1 5

2

− + +∞

( )

f′ x f

+∞ +∞

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2

2) a. Montrer que

(

^x+1

) (

^{ln x+ −1}

)

^xln

( )

^x est une primitive de ^ln

(

^{x+ −1}

)

^ln

( )

^{x .}

Dérivons

(

^x+1

) (

^{ln x+ −1}

)

^xln

( )

^{x :}

( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ^{( ) ( )}

ln 1 ln 1 ln ln ln ln

1 1 1 1 1 1 1 1

x x 1 x x x x x x

x x

 

× + + + × − × + × = + + − + = + −

+  

b. Calculer alors

∫

₀^{2f x}

( )

^.dx (on admettra que pour x=0, xlnx existe et vaut 0).

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

. ln ln

ln ln ln ln ln

2 2 2

0

0

d 2 1 1

2

2 4 3 3 2 2 0 0 1 1 0 3 3 2 2 2 0,09046

f x x x x x x x x 

= − + + + − 

 

= − + − − − + − = − − ≈ −

∫

Exercice 1.3

Soit la fonction f d’expression ^{f x}

( )

^=2x−e0,5x.

x représente la quantité vendue, en tonnes, d’un produit ménager ; ^{f x}

( )

est le bénéfice unitaire (en k€/tonne) réalisé lors de la vente de x tonnes. La modélisation proposée par la fonction f est fiable pour des quantités allant de 0 à 4 tonnes.

1) Etudier sur ℝ les variations de la fonction f (signe de ^f′

( )

^x , tableau de variation).

( )

^{2 0,5e0 ,5x}

f′ x = − . ^f′

( )

^{x > ⇔0 e0 ,5x < ⇔4 0,5x<ln4⇔ <x 2ln4.}

x 0 2ln4 4

( )

f′ x f

2) Représenter graphiquement cette fonction, pour x ∈ [0 ; 4].

Donner l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 2. Tracer cette tangente.

Tangente : T2^:y= f′

( )(

2 x− +2

) ( )

f 2 ⇔ y= −

(

2 0,5e

)(

x− + −2

)

4 e ⇔ y= −

(

2 0,5e

)

x

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3

3) Le bénéfice total, ^{B x}

( )

prévu pour la vente de x tonnes de produit, est donné par :

( )

₀^x

( )

^.d

( ) ( )

⁰

B x =

∫

f t t=F x −F , où F est une primitive de f.

a. Donner l’expression d’une primitive F de f.

( )

^x

( )

^{x x}

f x = x− ^{0 ,5} ⇐F x =x²−e^0,5 =x²− ^0,5

2 e 2e

0,5

b. Calculer le bénéfice total réalisé par la vente d’une tonne de produit. Commenter.

( ) ( ) ( ) ( ) ^{( )}

B 1 =F 1 −F 0 = −1 2e^0,5 − − = −0 2 3 2e^0,5≈ −0,2974 k€

L’intégrale de la fonction, de 0 à 1, est négative : la zone orangée est plus grande que la zone verte.

Concrètement, l’entreprise perd de l’argent si elle ne fabrique et vend qu’une tonne de produit.

c. Calculer le bénéfice total réalisé par la vente de 4 tonnes de produit.

( )

⁴

( )

⁴

( )

⁰

(

^{16 2e2}

) ⁽

^{0 2}

⁾

^{18 2e2 3,222 k€}

B =F −F = − − − = − ≈

L’intégrale de la fonction, de 0 à 4, est positive : la zone verte est plus grande que la zone orangée.

L’entreprise rentre dans ses frais et gagne de l’argent si elle en fabrique et vend quatre tonnes.

4) Déterminer le seuil de rentabilité de ce produit, c’est à dire la valeur de x à partir de laquelle ^{B x}

( )

^atteint

(puis dépasse) la valeur de 0 k€. Pour ce faire, on résoudra l’équation correspondante et on remplacera e0 ,5^x par 1+0,5x+0,15x², ce qui est une approximation relativement correcte lorsque x est compris entre 0 et 2.

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 0,5 2 2 2

2

2e 2 1 0,5 0,15 0,7 2

0 0,7 0,7 1

0 0 ou 1,43

F x x x x x x x x

B x F x F x x x x

B x x x

= − ≈ − + + = − −

= − ≈ − = −

= ⇔ = ≈

Le seuil de rentabilité est 1,43 : c’est à partir d’environ 1,43 tonne produite que l’entreprise commence à réaliser des bénéfices (voir graphique : la zone vert sombre équilibre la zone orangée).