Quelle est la loi deX+Y ? 0.2

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Probabilités

0.1. Loi deX+Y (*)

On suppose que X et Y suivent une loi de Poisson de paramètres res- pectifsλetµ. Quelle est la loi deX+Y ?

0.2. Critère d’indépendance (**)

Soit X une variable aléatoire discrète définie sur l’espace (Ω,B,P) etf une application définie surX(Ω). A quelle condition la variableY =f(X) est-elle indépendante deX?

0.3. Identité de Wald (**)

SoitN une variable aléatoire à valeur entière etX₁, X₂, ...des variables aléatoires identiquement distribuées à valeurs entières. On suppose que toutes les variables sont indépendantes. On pose :

S=

N

X

i=1

Xi

(1) Montrer que pour|t| 61, on a :G_S(t) =G_N(G_X(t)).

(2) On suppose que les variables admettent une espérance finie. Montrer l’égalité de Wald :

E(S) =E(N)E(X₁)

0.4. Le théorème d’approximation de Weierstrass

Soit f : [0,1]→ Rune fonction continue. On veut prouver le théorème d’approximation de Weierstrass : pour toutε > 0, il existe un polynôme P_ε tel que||f−P_ε||_∞,[0,1] < ε. SoitS_n une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètresnetx∈[0,1]. On pose Xn=Sn/n.

1. Quelle est l’espérance deXn? Sa variance ? Montrer que pour toutα >0,

P(|Xn−x|> α)6 1 4nα² On poseY_n=f(X_n) etB_n(x) =E(Y_n).

2. Montrer queBn :x7→Bn(x) est polynomiale enx.

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3. On fixeε >0. Montrer qu’il existeM >0, α >0 tels que :

X

|k/n−x|>α

(f(k/n)−f(x))P(Xn=k/n)

6 M 2nα²

X

|k/n−x|6α

(f(k/n)−f(x))P(Xn=k/n)

6ε

4. En déduire qu’à partir d’un certain rang :

∀x∈[0,1], |Bn(x)−f(x)|<2ε

0.5. Tirage dans une urne

On se donne une urne contenant initialement une boule rouge et une boule blanche. On tire au hasard une boule, on note son numéro, puis on la replonge dans l’urne, ainsi que deux autres boules de la même couleur et on réitère l’opération. Quelle est la probabilité qu’on aitnboules rouges sur lesnpremiers tirages ? Vers quoi converge cette probabilité ?