Master 2 EADM 2011-2012 Universit´e Claude Bernard Lyon 1
UE 12 CAPES externe Oral 2 Epreuve sur dossier´
DOSSIER
Analyse 5 Th` eme : D´ eveloppements limit´ es
L’exercice propos´e au candidat
Visibilit´e en courbe (Sigma, Foucher, BTS industriels B,C,D, p.181) Il existe une r´eglementation tr`es d´etaill´ee qui d´efinit les caract´eristiques g´eom´etriques des routes telles que les diff´erents rayons – dans les courbes, les
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echangeurs, au sommet des cˆotes – ou la dimension des aires `a d´egager pour assurer une bonne visibilit´e aux automobilistes.
La figure repr´esente une vue du dessus d’une courbe circulaire de rayon OA = R.
La distance CD = d est la distance de visibilit´e qui doit ˆetre d´egag´ee. Ces deux distances R et d ´etant fix´ees, une instruction pr´ecise que la distance AB a une longueur “voisine” de 8 Rd2. On se propose d’´etablir cette formule approch´ee.
1. Montrer que AB = R − q
R2−d42.
2. (a) ´Ecrire le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 1 au voisinage de 0 de la fonction d´efinie sur [−1, +∞[ par f (x) =√
1 + x.
(b) Lorsque x est assez voisin de 0, on prend donc √
1 + x = 1 +12x.
Etablir alors la formule approch´´ ee.
(c) `A partir des deux ´egalit´es obtenues (valeur exacte au 1, valeur ap- proch´ee au 2b), calculer de deux mani`eres diff´erentes la valeur de AB au centim`etre pr`es lorsque la distance de visibilit´e vaut 120 m`etres et le rayon 240 m`etres (ce qui correspond `a une portion de route o`u la vitesse est limit´ee `a 80km/h). V´erifier que la diff´erence des deux nombres obtenus est inf´erieure `a 20 centim`etres.
Une r´eponse d’´el`eve `a la question 2b.
q
R2−d42 = q
1 + (R2−d42 − 1) = 1 +R2−2d24−1 =12 R2−d42 + 1.
Le travail `a exposer devant le jury
1. Pr´esenter les principaux r´esultats, la nature des m´ethodes et les diff´erents outils utilis´es dans la r´esolution de cet exercice.
2. Commenter la r´eponse de l’´el`eve.
3. Proposer des exercices sur le th`eme des d´eveloppements limit´es dont au moins un en rapport avec une autre discipline.
