Physique statistique

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Physique statistique

Par Sisay SHEWAMARE

Note

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License (abréviation « cc-by »), Version 2.5.

Table des maTières

I. Physique statistique ________________________________________ 5 II. Pré-requis _______________________________________________ 5 III. Temps ___________________________________________________ 5 IV. Matériels didactiques _______________________________________ 5 V. Justification______________________________________________ 5 VI. Contenu_________________________________________________ 5 6.1 Résumé _______________________________________________ 5 6.2 Données générales ______________________________________ 6 6.3 Représentation graphique _________________________________ 7 VII. Objectifs généraux _________________________________________ 8 VIII. Objectifs spécifiques d’apprentissage ___________________________ 9 IX. Évaluation préliminaire _____________________________________ 11 X. Activités d’apprentissage et d’enseignement _____________________ 16 XI. Concepts-clés (glossaire) __________________________________ 112 XII. Lectures obligatoires ______________________________________ 113 XIII. Ressources (facultatives) multimédias ________________________ 114 XIV. Liens utiles _____________________________________________ 116 XV. Synthèse du module ______________________________________ 118 XVI. Évaluation formative ______________________________________ 119 XVII. Références _____________________________________________ 125 XVIII. Évaluation sommative ____________________________________ 126 XIX. Structure des dossiers _____________________________________ 126

Avant-propos

Ce module contient quatre sections principales

La première section est l’introduction qui consiste en cinq parties : Titre :- Le titre du module est décrit clairement.

Pré requis : Dans cette partie, on vous indique les connaissances et les habiletés pré requises dont vous avez besoin pour ce module. Lisez attentivement les exigences puis- qu’elles vous aideront à décider si vous avez besoin de faire du travail de révision.

Temps : Donne le nombre d’heures totales nécessaires pour apprendre le module. Tou- tes les activités et évaluations doivent être terminées à l’intérieur du temps spécifié.

Matériel didactique : Donne la liste du matériel dont vous avez besoin pour faire ce module. Certains éléments font partie de l’ensemble de cours que vous recevrez sur un Cd-Rom ou par Internet. Certains des éléments recommandés pour mener certaines expériences peuvent vous être fournis par votre établissement d’accueil (établissement partenaire de l’UVA). Vous pouvez également vous les procurer par d’autres façons.

Justification : Dans cette partie, vous obtiendrez des réponses aux questions telles

« Pourquoi, à titre de futur enseignant, devrais-je étudier ce module? Pourquoi est-il pertinent par rapport à ma carrière ? »

La seconde section est le CONTENU qui est divisé en trois parties :

Résumé : Le contenu du module est brièvement présenté. Dans cette partie, vous trouverez un document vidéo (QuickTime, movie) dans lequel l’auteur de ce module est interrogé. Le paragraphe de résumé est suivi par les données générales du contenu, notamment le temps approximatif requis pour terminer chaque section. Ensuite, une représentation graphique de tout le contenu est présentée. Tout ceci vous aidera à voir la façon dont le contenu de ce module est organisé.

Objectifs généraux : Des objectifs instructifs clairs, concis et faciles à comprendre sont fournis pour vous permettre de connaître les connaissances et aptitudes, ainsi que les attitudes que vous devrez avoir atteintes après l’étude du module.

Objectifs spécifiques d’apprentissage (Objectifs pédagogiques) : Chaque objectif spécifique mentionné dans cette section est au cœur de l’activité pédagogique. Les unités, les éléments et les thèmes de ce module servent à atteindre les objectifs spé- cifiques et toute forme d’évaluation est basée sur les objectifs devant être atteints.

Veuillez prendre note des objectifs spécifiques attentivement puisqu’ils sont essentiels à l’organisation de vos efforts dans l’étude de ce module. La troisième section est la majeure partie du module. C’est dans cette section, appelée activités pédagogiques, que vous passerez le plus de temps. L’essentiel des neuf composantes est énuméré ci-dessous :

Évaluation préliminaire : Une série de questions qui évalueront de façon quantitative votre niveau de préparation aux objectifs spécifiques de ce module est présentée dans cette section. Les questions de l’évaluation préliminaire vous aideront à identifier ce que vous savez et ce que vous devez savoir. De cette façon, votre intérêt sera plus élevé et vous pourrez juger de votre niveau de maîtrise. Des réponses clés ainsi que des commentaires pédagogiques sont fournis pour la série de questions.

Concepts-clés (glossaire) : Cette section comprend des définitions courtes et concises de termes utilisés dans ce module. Cela vous aidera à mieux comprendre des termes avec lesquels vous n’êtes pas familiarisés dans le module.

Lectures obligatoires : Au moins trois lectures obligatoires sont fournies. Il est impératif de lire ces documents.

Ressources obligatoires : Au moins deux vidéos audios avec résumé sous forme de texte sont fournis dans cette section.

Liens utiles : Une liste d’au moins dix sites web vous est fournie dans cette section.

Elle vous aidera à traiter du contenu en profondeur.

Activités d’apprentissage et d’enseignement : Ceci est le cœur du module. Dans cette section, vous devez suivre les lignes d’apprentissage. Différents types d’activités sont présentés. Faites chaque activité. Parfois, il est possible que vous ne suiviez pas nécessairement l’ordre dans lequel les activités sont présentées. Il est très important de noter que :

• les évaluations formatives et sommatives doivent toutes être complétées.

• toutes les lectures obligatoires doivent être faites.

• le plus de liens utiles possible doivent être visités.

• des rétroactions doivent être données à l’auteur et la communication doit être présente.

Bon travail!

i. Physique statistique

Par Sisay Shewamare Gebremichael Jimma University Ethiopia

ii. Pré requis

Afin de bien étudier ce module, il est recommandé d’avoir terminé ou d’être en voie de terminer les cours suivants : Physique Thermique, Physique Mathématique, Mo- dules de formation des enseignants en Mécanique quantique

iii. Temps d’apprentissage

L’apprentissage de ce module nécessite 120 heures

iV. matériels didactiques

Le matériel nécessaire pour ce module consiste en différents livres et en présentations sur écran, disponibles dans Internet.

V. Justification

Ce module se concentre sur le système des particules macroscopiques et l’étude de la description statistique des systèmes en termes de probabilité et du comportement de densité du niveau permis qui aide à mesurer les paramètres d’état, notamment la chaleur et la température absolue et l’entropie. À la suite de ces discussions, nous acquerrons des outils très puissants pour le calcul des propriétés macroscopiques de tout système en équilibre de connaissances de ses éléments macroscopiques. Ensuite, on illustrera leur utilité en discutant de l’application de la thermodynamique macros- copique et de la distribution des systèmes de particules.

Vi. Contenu

6.1 Résumé

Les concepts principaux de ce module sont les systèmes de particules macroscopiques et les mesures macroscopiques. Le module commence avec l’étude de la description statistique des systèmes avec la thermodynamique macroscopique et la mesure de paramètres macroscopiques et ses applications.

Les activités sont en relation avec l’interaction des systèmes de particules macros- copiques et l’analyse de la distribution des systèmes macroscopiques en termes d’énergie, d’entropie et de pression moyenne. L’inter relation entre le paramètre macroscopique discuté dans l’application de la thermodynamique macroscopique et dans la fonction de séparation.

6.2 Données générales

1 Unité 1 Description statistique des systèmes de particules (25 heures)

• Spécification de l’état d’un système

• Ensemble statistique

• Probabilité

• Problème simple de marche aléatoire en une dimension

• Distribution binominale

• Distribution de Gauss

• Principes de probabilité a priori égale

• Temps de relaxation

• Probabilité de densité d’états.

2. Mesures macroscopiques (25 heures)

• Travail et énergie interne

• Température absolue

• Capacité thermique et chaleurs spécifiques

• Entropie

3. Thermodynamique statistique (30 heures)

• Conditions et contraintes d’équilibre

• Entropie du système combiné

• Approche à l’équilibre thermique

• Réservoir thermique

• Dépendance de la densité de niveaux permis sur les paramètres externes

4. Application de la thermodynamique statistique et macroscopique (40 heures)

• Potentiel thermodynamique et sa relation avec les variables thermodynami- ques

• Systèmes ensembles

• Relation entre la distribution canonique et la thermodynamique

• Fonctions de séparation et leurs propriétés

• Paradoxe de Gibs

• Validité de l’approximation classique

• Théorème de séparation égale

• Théorie cinétique des gaz dilués en équilibre

• Distribution des systèmes de particules 6.3 Représentation graphique

6

Statistical Physics

A. Statistical Description of Systems of Particles

B. Macroscopic Measurements:

C. Statistical Thermodynamics

D. Some Applications

Statistical Theories,

Specification of the state of the system,

Statistical enesemble.

Probability calculations,

Simp le random walk problem in one d imenssion;

Binomial distribution.

Gaussian distribution.

Principles of eq ual p riori probability Relaxation time

The probability of the d ensity of states.

pha se spa ce

Acce ssible Sta te s,

Work and internal energy.

Absolut temperature,

Heat capacity and specific heats.

Entrop y Equilibrium condition and constraints,

Entropy of a combined system, The ap proach to thermal equilibrium.

Heat reservoir.

Dependency of the d ensity of states on the external parameters.

Thermodynamic potentials and their relation with thermodynamical variables,

Enesembles systems, Connection of canonical distribution with thermodynamics .

Partition function and their properties.

Gibs paradox, Validity of the classical ap proximation.

The equi partition theorem Kinetic theory of dilute g ases in equilibrium

Distribution of systems of particles

Statistical Physic

Vii. Objectifs généraux

À la fin de ce module, vous serez en mesure de :

• Comprendre la distribution statistique des systèmes et leur solution en équi- libre

• Comprendre les concepts de température, de chaleur et d’énergie interne

• Comprendre les bases sous-jacentes et la règle entière de la thermodynamique statistique

• Comprendre les paramètres macroscopiques et leurs mesures

• Comprendre la force généralisée de base et l’entropie

• Comprendre l’application de la thermodynamique statistique et macroscopi- que

• Comprendre la fonction de séparation

• Dériver les mesures macroscopiques en utilisant la fonction de séparation

• Dériver la distribution des systèmes de particules

Viii. Objectifs spécifiques d’apprentissage

(Objectifs pédagogiques)

Contenu Objectifs d’apprentissage

À la fin de cette section, vous serez en mesure de : 1. Unité 1 Description statistique des

systèmes de particules (25 heures)

• Spécification de l’état d’un système

• Ensemble statistique

• Probabilité

• Problème de marche aléatoire simple à une dimension

• Distribution binominale

• Distribution de Gauss

• Principes de probabilité a priori égale

• Temps de relaxation

• Probabilité de densité de niveaux permis

• Dériver l’équation statistique

• Discuter de système binaire pour l’appli- cation du problème de marche aléatoire

• Définir le temps de relaxation

• Dériver la distribution binomiale

• Dériver l’équation de Gauss

2. Mesures macroscopiques (25 heures)

• Travail et énergie interne

• Température absolue

• Capacité thermique et chaleurs spécifiques

• Entropie

• Définir le travail fait et l’énergie interne

• Définir la relation absolue et d’entropie

• Nommer la capacité thermique à la constante V,P

• Définir et dériver l’entropie

3. Thermodynamique statistique (30 heures)

• Conditions et contraintes d’équilibre

• Entropie du système combiné

• L’approche à l’équilibre thermique

• Réservoir thermique

• Dépendance de la densité de niveaux permis sur les paramètres externes

• Écrire les conditions d’équilibre

• Dériver l’entropie d’équation pour deux systè- mes

• Résoudre des problèmes relatifs à l’entropie

• Calculer la densité de niveaux à la condition d’équilibre

4. Application de la thermodynamique statistique et macroscopique (40 heures)

• Potentiels de la thermodynamique et leur

relation avec les variables thermodynami- ques

• Systèmes ensembles

• Relation entre la distribution canonique et la thermodynamique

• Fonctions de séparation et leurs propriétés • Paradoxe de Gibs

• Validité de l’approximation classique • Principes de probabilité a priori égale Théorie cinétique des gaz dilués en équilibre

• Comprendre différentes équations thermodyna- miques

• Trouver des relations quantitatives thermodyna- miques en utilisant les potentiels thermodyna- miques

• Définir les systèmes ensemble • Dériver la fonction de séparation

• Démontrer les quantités thermodynamiques en utilisant la fonction de séparation

• Démontrer le paradoxe de Gibbs • Dériver les différentes distributions

IX . Évaluation préliminaire

Êtes-vous prêt pour ce module?

Chers apprenants

Dans cette section, vous trouverez des questions d’auto-évaluation qui vous permet- tront de voir à quel point vous êtes prêt à entamer ce module. Vous devez vous évaluer de façon sincère et faire les actions recommandées à la fin de l’auto-évaluation. Nous vous encourageons à prendre votre temps et à répondre aux questions.

Chers instructeurs

Les questions de l’évaluation préliminaire aident les apprenants à savoir s’ils sont prêts à entamer ce module. Il est fortement conseillé de se soumettre aux recommandations basées sur la note obtenue par l’apprenant. Comme instructeur, vous devez encourager les apprenants à s’autoévaluer en répondant à toutes les questions qui suivent. Une recherche en éducation a démontré que l’auto-évaluation aide les apprenants à être plus préparés et à exprimer les connaissances déjà acquises.

9.1 Auto-évaluation relative à la physique statistique

Evaluez votre niveau de préparation pour entamer le module sur la physique thermique.

Si votre note est supérieure ou égale à 60 sur 7, vous êtes prêt à suivre ce module.

Si votre note se situe entre 40 et 60, vous devrez peut-être réviser votre physique thermique. Si vous obtenez moins de 40, vous devez refaire de la physique.

1) Combien de calories sont requises pour faire augmenter la température de 3 kg d’aluminium de 20⁰C à 55⁰C ? Donnée : la capacité thermale de l’aluminium est de C = 910J kg^-1K^-1et 4,2 J=1 calorie

a. 13 000 b 22 750 c. 35 750 d. 95 550

2) Si un récipient d’aluminium de 300 g contient 200 g d’eau à 10⁰C et que 100 g d’eau à100⁰C supplémentaire sont versés dans le récipient, quelle est la tempé- rature d’équilibre de ce système en degrés Celsius ?

a. 77 b. 45 c. 35 d. 20

3) Deux molécules de gaz parfait (

γ

=1.4) se dilatent quasistatiquement et adiaba- tiquement sous la pression 5 atm et passent d’un volume de 12 litres à un volume de 30 litres. Quelle est la pression finale de ce gaz ?

a. 1,4 b 3,4 c. 3 d. 1

4) Un gaz parfait (

γ

=1.4) se dilate quasi statiquement et adiabatiquement. Si sa température finale représente le 1/3 de sa température initiale, quel est son facteur de changement de volume?

a. 10 b 20 c. 16 d. 12

5) Pour faire suite à la question 4, quel est son facteur de changement de pression?

a. 1 b 1,2 c. 0,02 d. 2

6) Une molécule de gaz parfait fait 3000J de travail autour d’elle alors qu’elle se dilate isothermiquement à une pression finale de 1 atm et un volume de 25 l.

Déterminez la température du gaz.

a. 200k b 100k c. 400k d. 300k

7) Pour faire suite à la question 6, calculez le volume initial du gaz.

a. 20 l b 30l c. 22 l d. 25l

8) Cinq molécules d’un gaz parfait se dilatent isothermiquement à 127⁰C pour at- teindre un volume quatre fois plus grand que le volume initial. Quel est le travail fait par le gaz?

a. 30,000J b 40,000J c. 50,000J d. 32,012J

9) Un gaz est comprimé à une pression constante de 0.8 atm. Il passe d’un volume de 9 litres à un volume de 2 litres. Si, pendant le processus, 400J d’énergie ther- mique s’échappent du gaz, quel est le travail fait par le gaz ?

a. 57 J b 37J c. 50 J d. 400 J

10) Pour faire suite à la question 9, quelle est l’énergie interne perdue par le système ?

a. 500 J b 600J c. 456 J d. 400 J

11) Deux thermomètres basés sur des propriétés thermiques différentes de deux matériels différents indiquent la même lecture. Pourquoi ?

a. Chaque propriété change uniformément avec la température.

b. La relation entre la propriété et la température est identique dans les deux cas.

c. Une de propriétés augmente avec la température et l’autre diminue à un rythme constant.

d. Les deux thermomètres ont été calibrés à l’aide d’un standard commun.

12) Dans un cycle de Carnot

a. le travail fait pendant le développement adiabatique est plus petit que le travail fait pendant la compression adiabatique.

b. le travail fait par le fluide de travail pendant le développement adiabatique est plus grand que le travail fait pendant la compression adiabatique.

c. le travail fait pendant le développement adiabatique est égal au travail fait pendant la compression adiabatique.

d. le travail fait pendant le développement adiabatique est égal à la chaleur absorbée par la source.

13) Lequel de ces énoncés est faux au sujet d’un gaz parfait ? a. Grand nombre total de molécules

b. Les molécules se déplacent aléatoirement

c. Les molécules n’exercent aucune force appréciable les unes sur les autres ou sur les parois

d. Le volume de la molécule est petit comparé au volume occupé par le gaz 14) Le libre parcours moyen dans un gaz est

a. la distance parcourue par une molécule avant d’entrer en collision avec une paroi.

b. la distance moyenne parcourue par une molécule en une seconde c. la vitesse de la valeur efficace

d. la distance moyenne parcourue par les molécules entre deux chocs succes- sifs

15) Dans le processus adiabatique le travail fait

a. en travaillant une substance pendant le développement adiabatique est plus grand que le travail fait pendant la compression adiabatique

b pendant le développement adiabatique est égal au travail fait pendant la com- pression adiabatique

c. pendant le développement adiabatique est égal à la chaleur absorbée à partir de la source

d. en travaillant, la substance pendant le développement adiabatique est égale à la chaleur entrante

16) Lequel de ces énoncés est faux au sujet d’un gaz réel ? a. Grand nombre de molécules

b. Les molécules se déplacent aléatoirement

c. Les molécules n’exercent aucune force appréciable les unes sur les autres ou sur les parois

d. Le volume de la molécule est grand par rapport au volume occupé par le gaz

17) Le libre parcours moyen d’un gaz

a. ne dépend pas de la température, mais bien de la pression du gaz b augmente avec la densité du gaz

c. diminue avec le volume du gaz

d. dépend de la pression et de la température du gaz

18) L’énergie cinétique moléculaire moyenne à une température T K^o est a. ¹₃kT

b. ³₂kT c. ¹₂kT d. ²₃kT

9.2. Réponses clés 1. b

2. c 3. a 4. c 5. c 6. d 7. c 8. d 9. a 10. c 11. a 12. c 13. c 14. d 15. .b 16. c 17. d 18. b

9.3 Commentaire pédagogique à l’intention de l’apprenant :

La physique, en tant que discipline qui tente de décrire les phénomènes et les processus de la nature, a réussi à développer des cadres théoriques pour décrire les processus et les phénomènes, allant des particules subatomiques aux corps célestes dans les galaxies. Le cadre théorique, assez suffisant pour décrire des systèmes non linéaires, notamment les propriétés des matériaux granulaires, les tremblements de terre, la résistance de frottement et plusieurs autres systèmes, est toujours incomplet.

La physique statistique permet une compréhension rationnelle de la thermodynamique en matière de particules microscopiques et de leurs interactions. Elle permet le calcul des propriétés macroscopiques à partir de considérations microscopiques. Les outils et les méthodes développés en physique statistique sont très utilisés dans les domaines de recherches de pointe, pour comprendre les systèmes non linéaires.

Le matériel présenté dans ce module est grandement séquentiel. Vous devez suivre les activités dans l’ordre dans lequel elles sont présentées dans le module. Si vous ne comprenez pas quelque chose, référez-vous au matériel obligatoire et visitez les liens utiles. Ne faites pas que l’écrire et espérez le comprendre plus tard.

Une étude importante menée au cours des dernières années a démontré que les étu- diants qui réussissaient le mieux en physique (et autres sujets) sont ceux qui s’inté- ressent activement au processus d’apprentissage. Cet intérêt peut se manifester sous plusieurs formes : écrire plusieurs questions dans les marges du module, poser des questions par courriel, discuter physique dans le forum de discussion AVU, faire les exercices et les auto-évaluations dans le temps alloué par le programme, etc.

X. activités d’apprentissage et d’enseignement

ACTIVITÉ 1 : Description statistique du système de particules

Vous aurez besoin de 25 heures pour terminer cette activité. Vous serez guidé à l’aide d’une série de lectures, de vidéos multimédias, d’exemples et de questions et problèmes d’auto-évaluation. Il est fortement recommandé de faire toutes les activités et de consulter tout le matériel obligatoire et le plus de liens et références utiles possibles.

Objectifs d’apprentissage et d’enseignement spécifiques

• Dériver l’équation statistique

• Discuter du système binaire afin d’appliquer le problème de marche aléa- toire

• Définir le temps de relaxation

• Dériver la distribution binomiale de Gauss Résumé de l’activité d’apprentissage

La description d’un système de particules est un effort lorsque la théorie est appliquée à un grand nombre de particules. Nous ne sommes pas intéressés à tous les détails des dynamiques microscopiques sous-jacentes des particules individuelles qui constituent un grand nombre de particules, comme la masse d’un gaz donné.

C’est plutôt les propriétés macroscopiques des systèmes, parmi lesquelles se trouvent les fonctions thermodynamiques, que nous désirons comprendre ou déduire. Elles sont les moyennes brutes sur les états dynamiques détaillés. Voilà la raison du mot

« statistique » dans le nom de notre sujet. La caractéristique importante dans l’univers de la mécanique statistique est la règle de distribution de Boltzmann, laquelle nous indique à quelle fréquence les états microscopiques individuels d’un système à une température donnée se produisent. Un énoncé officieux de cette règle est donné dans la section suivante et mentionne qu’elle est la généralisation évidente de deux autres lois de distribution bien connues : la loi de distribution des vitesses de Maxwell et la distribution « barométrique ». Il faut aussi noter que la forme exponentielle de la loi de distribution de Boltzmann est constante et, bien sûr, requise par la règle qui dit que la probabilité d’occurrence d’événements indépendants est le produit de probabilités individuelles.

Lectures obligatoires Lecture # 1 :

Référence complète : Mécanique statistique De Cornell University

URL : http://pages.physics.cornell.edu/sethna/StatMech Extrait le 23 septembre 2007

Résumé : Contenu : Marches aléatoires et propriétés émergentes ; température et équilibre ; entropie ; énergies libres et ensembles ; mécanismes des quanta statistiques ; mécanismes statistiques informatiques : Ising et Markov; paramètres d’ordre, symétrie brisée et topologie ; nouvelles lois dérivées ; corrélations, réponse et dissipation ; transitions de phase abrupte ; transitions de phase continues.

Justification : Ce chapitre couvre la plupart des sujets dans la deuxième et la troi- sième activité…

Ressources multimédias utiles

Référence : http://jersey.uoregon.edu/vlab/Piston/index.html Consulté : novembre 2006

Référence :-: http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/kap10/cd283.htm.

Consulté :- août 2006

Référence : http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution Consulté :-novembre 2006

Référence :-: http://www.stat.yale.edu/Courses/1997-98/101/binom.htm.

Consulté :- août 2006

Référence : http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution Consulté : novembre 2006

Référence complète : Calcul par ordinateur des diagrammes ternaires.

Liens utiles Lien utile #1

Titre : Exactly Solved Models in Statistical Mechanics URL: http://tpsrv.anu.edu.au/Members/baxter/book

Description : Le livre classique de Rodney Baxter est officiellement épuisé. Conte- nu : mécanismes statistiques de base le modèle à une dimension d’Ising; la théorie du champ moyen; le modèle d’Ising sur la formule de Bethe; le modèle sphérique;

transformations dualité et étoile triangle des modèles planaires d’Ising; plan carré modèle d’Ising; modèles des glaces; façon différente de résoudre les modèles des glaces; modèle plan carré à huit nœuds; modèle plan Kagomé à huit nœuds; modèle Potts et Ashkin-Teller; matrices de passage; hexagone dur et modèles reliés; fonctions elliptiques.

Justification : Ce livre peut être téléchargé et utilisé à des fins personnelles et non commerciales.

Consulté : - août 2007

Lien utile #2

Titre : STATISTICAL PHYSICS An Introductory Course URL: http://www.worldscibooks.com/physics/3526.html

Par Daniel J Amit (Universita di Roma “La Sapienza” & The Hebrew University)

& Yosef Verbin (The Open University of Israel)

Description : Ce précieux manuel est une introduction à la physique statistique et a tout d’abord été écrit à des fins d’autoformation. Il fournit une approche complète aux idées principales de la physique statistique de niveau débutant, commençant par la théorie cinétique des gaz jusqu’aux statistiques de Bose–Einstein et de Fermi–Di- rac. Chaque idée est amenée avec une grande motivation et une exposition claire, étape par étape. Les méthodes et les points importants sont présentés et discutés sur la base de systèmes représentatifs concrets, notamment le paramagnétisme, le mo- dèle d’Einstein, le gaz diatomique, le rayonnement du corps noir, la conductibilité électrique dans les métaux et la superfluidité.

Le livre est écrit dans un style stimulant et est accompagné de nombreuses activités placées de façon appropriée dans le texte et de problèmes d’auto-évaluation à la fin de chaque chapitre. Les réponses détaillées de tous les exercices sont fournies.

Introduction à l’activité

Description détaillée de l’activité (Éléments théoriques principaux) Description statistique des systèmes de particules

Considération de systèmes de particules non interactifs pour analyser la probabilité avec le binôme et la distribution de Gauss en considérant l’approche statistique et la densité des systèmes de particules.

Description statistique des systèmes de particules

• Théories statistiques

• Ensemble

• État accessible

• Calcul des probabilités

• Espace des phases

Spécification de l’état du système

Comment détermine-t-on l’état d’un système multi-particules ? Considérons tout d’abord le système multi-particules le plus simple qui consiste en une particule simple qui ne tourne pas sur elle-même et qui bouge habituellement dans une seule dimen- sion. En supposant que nous connaissons l’équation du mouvement de la particule, l’état du système est complètement spécifié une fois la position q et la quantité du mouvement p de la particule simultanément mesurées. En principe, nous connaissons q et p et pouvons ensuite calculer l’état du système à tout moment ultérieur en et utilisant l’équation du mouvement.

Ensemble statistique

Si nous connaissons les conditions initiales du lancer d’une pièce de monnaie telles sa position, la hauteur du lancer et sa vitesse correspondante, nous sommes en mesure de prédire le résultat de l’expérience en appliquant la loi de la mécanique classique.

Dans une expérience qui décrit le résultat en matière de probabilité d’une simple pièce de monnaie, nous considérons un ensemble qui consiste en plusieurs expériences individuelles semblables.

Probabilité

Dans cette section, nous discuterons de certains aspects élémentaires de la théorie des probabilités. Il est important de se rappeler que peu importe le moment où l’on désire décrire une situation d’un point de vue statistique (par exemple en termes de probabilités), il est toujours nécessaire de considérer un assemblage (ensemble) comme étant un nombre important de systèmes similaires préparés.

Discussion de groupe

Donnez des exemples de ce qui peut être décrit par deux états de systèmes de par- ticules.

Réponses clés

a) En lançant une paire de dés, on donne une description statistique en considérant un très grand nombre.

b) Dans le concept de probabilités de base, il est important de garder en tête un exemple illustratif précis simple, mais important, nommé le problème de marche aléatoire.

c) Magnétisme : Un atome a un spin de

1

2

et un moment magnétique

μ

; en accord avec la mécanique quantique, son spin peut donc pointer vers le haut ou vers le bas, en accord avec une direction donnée. Si ces deux possibilités sont également plausibles, quel est le total net du moment magnétique de N de tels atomes ? d) Diffusion d’une molécule dans l’eau : Une molécule donnée parcourt une distance

moyenne len trois dimensions entre des collisions avec d’autres molécules.

Quelle distance risque-t-elle de parcourir après N collisions?

Le problème simple de marche aléatoire en une dimension

Pour rendre la chose plus simple, nous discuterons du problème de marche aléatoire à une dimension. Une particule effectuant des pas ou des déplacements successifs en une dimension après un total de N pas, chacun d’une longueur l , la particule est placée à

x = ml

^.mest un nombre entier se situant entre –N<m<+N .

La probabilité P_N (m) de trouver la particule à la position x =ml après N pas.

2 1

!

! ) ! (

2 1 1

n n

N p q

n n n N

W

=

Discussion de groupe

Dérivez la probabilité W_N

(

n₁

)

pour trouver la particule à la position x=ml après N pas

Vous pouvez voir la dérivation comme suit : Le nombre total de pas est simplement N = n₁−n₂ Le déplacement net lorsque

m = n

₁

− n

₂

m = n

₁

− n

₂

= n

₁

− (N − n

1

) = 2n

1

− N

Notre hypothèse principale était que les pas successifs sont indépendants les uns des autres. Par contre, on peut simplement faire valoir que, indépendamment des anté- cédents, chaque étape est caractérisée par ses probabilités respectives.

P = probabilité que le pas soit vers la droite

q =1 – p = probabilité que le pas soit vers la gauche

Maintenant, la probabilité de toute séquence donnée de n₁ pas vers la droite et de n₂ pas vers la gauche est donnée en multipliant simplement les probabilités respectives, par exemple, par

1 2

n n

1 2 3 n 1 2 3 n

p p p L p q q q L q = p q

Le nombre de possibilités distinctes est donné comme suit :

!

!

!

2 1 n n

N

La probabilité W_N

(

n₁

)

de faire n₁pas vers la droite et n₂ = N - n₁pas vers la gauche, dans n’importe quel ordre, est obtenue en multipliant la probabilité de cette séquence par le nombre de séquences possible de tels pas. Cela donne :

2 1

!

! ) ! (

2 1

1 n n

N p q

n n n N

W

=

Distribution binomiale

On se souvient, bien sûr, que la formule du développement binomial est la sui- vante :

(p + q)^N =

n =0

∑

N

_{n !(N − n)!} ^{N ! p}

ⁿ

^q

^{N − n}

Lisez la distribution binomiale dans le livre « fundamentals of thermodynamics » (Federick Reif) pp.7-23

Discussion de groupe

On donne

n

₁

= 12(N + m), n

²

= 12(N − m)

Démontre que

p

_N

(m) = N !

[(N + m) / 2]![(N − m) / 2]! 1 2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

N

Lors de cette discussion, vous devez considérer la possibilité P_N

(m )

que la particule soit trouvée à la position m après N pas de la même façon que W_N

(

n₁

)

donné par

f (u) ≡

p(u

_i

) f (u

_i

)

i =1

∑

M

P(u

_i

)

i =1

∑

M

Cette expression peut être simplifiée. Puisque P(u_i) est défini comme étant une pro- babilité, la quantité

P (u

1

) + P(u

2

) + ...+ P(u

M

) ≡ P (u

i

)

i =1

∑

M

P (u

i

) = 1

i =1

∑

M C’est ce qu’on appelle la « condition de normalisation »

f (u) ≡ p (u

i

) f (u

i

)

i =1

∑

M

Activité

Caculez la somme et le produit de la valeur moyenne de différentes fonctions.

Solution

Si f(u) et g(u) sont n’importe lesquelles de deux fonctions de u, alors

f (u)_ g(u) = P (u

i

)[ f (u

i i =1

∑

M

^{) + g(u}

ⁱ

^{)] = P (u}

ⁱ

^{) f (u}

ⁱ

^{) + P(u}

ⁱ

^)g(u

ⁱ

⁾

i =1

∑

M i =1

∑

M

ou

) ( ) ( ) ( )

(

u g u f u g u

f

+ = +

Si c est n’importe quelle constante, il est évident que

cf (u) = cf (u)

Déviation de dispersion et déviation standard

Δu = u − u

déviation

(Δu)

²

≡ P (u

i

)(u

i i −1

∑

M

^{− u )}

²

^{≥ 0}

deuxième moment u est environ sa valeur moyenne ou, plus simplement, la « dispersion du u » alors que (

(Δu)

²

≥ 0

ne peut jamais être négatif. La variance de u est proportionnelle au carré de la dispersion de u aux envi- rons de sa valeur moyenne. Une mesure plus utile du carré est donnée par la racine carrée de sa variance,

^{Δ * u =} [ ] ( ) ^{Δ u}

^{2 21} habituellement appelée la déviation standard de u.

La distribution de Gauss

( )

( ) ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ Δ

− −

≅ Δ

₂

1 2 1

1

exp 2 *

* 2 ) 1

( n

n n n n

P π

Ceci est la fonction très connue de la distribution de Gauss. La distribution de Gauss est seulement valide dans les limites N>>1 et n₁>>1

Activité

Utilisez l’expansion de Taylor et dérivez la distribution de Gauss Solution

Développons lnP autour de n =n~. Prenez note que nous développons la fonction de variation lente lnP(n), plutôt que la fonction de variation rapide (n), puisque l’ex- pansion de Taylor de P(n) ne converge pas suffisamment rapidement dans la vitesse n = n~pour être utile. On peut écrire

2 ...

~ ) ( ln

~ ) (

ln

₂

2

1

+ +

+

=

+ n P n B B

n

P η

η

où

k

ln

k k

n n

d P

B

=

dn ₌

( ) ( ) ( )

( ) ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ Δ

− −

≅

₂

1 2 1

1

exp 2 *

n n n n

P n P

La constante P(n₁) est fixée de façon plus pratique en utilisant la condition de nor- malisation.

Pour cas discret

P

_N

(n

_!

)

n₁=0

∑

N

^{= 1}

Pour cas continu

0

( ) 1

N

P n dn =N

∫

Pour une fonction de distribution continue. Puisque nous nous attendons à ce que P (n) soit important lorque n s’étend dans une gamme assez étroite

n

₁

± Δ * n

₁, les limites d’intégration dans l’expression ci-haut peuvent être remplacées par ∞± avec erreur négligeable. Alors,

P n ( ) ^{exp −} ( ^{n − n}

¹

)

²

2 Δ * n (

1

)

²

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ dn = P n ( )

₁

^{2Δ * n}

¹

^{exp −x} ( )

²

^dx

−∞

∞

−∞

∫

∞

∫ ^{≅ 1}

Le principe de probabilité d’égal a priori

Activité

Prenez une bouteille de gaz isolée de l’environnement externe.

Solution

Dans cette situation, nous nous attendons à ce que la probabilité du système trouvée dans un de ses états accessibles soit indépendante du temps.

Cela implique que l’ensemble statistique ne se développe pas avec le temps.

Les systèmes individuels dans un ensemble changeront d’état constamment, mais le nombre moyen de systèmes dans n’importe quel état donné doit rester constant.

Ainsi, tous les paramètres macroscopiques décrivant le système, notamment l’énergie et le volume, doivent rester constants.

Il n’y a rien dans les lois de la mécanique qui nous ferait supposer que le système sera trouvé plus souvent dans un de ses états accessibles plutôt que dans un autre. Nous assumons donc qu’il y a des chances égales de trouver le système dans n’importe lequel de ses états accessibles. On appelle cela l’hypothèse de probabilité égale a priori et celle-ci repose au cœur de la mécanique statistique.

Le temps de relaxation

Activité

Un système multi-particules isolé atteindra finalement un équilibre, indépendamment de son état initial.

Time Number of particle

Relaxation Time Fluctuation Time

Solution

L’échelle de temps typique de ce processus est appelée le temps de relaxation et dépend en détail de la nature des interactions de l’interparticule.

Le principe de probabilité égale à priori n’est valide que pour les états d’équilibre.

Le temps de relaxation pour l’air dans une salle de classe typique est beaucoup moins qu’une seconde. Cela suggère que cet air est probablement en équilibre la plupart du temps, et qu’il doit donc être gouverné par le principe de probabilité égale à priori.

Un système macroscopique en est un qui possède plusieurs degrés de liberté qui in- diquent l’énergie du système par E. On devrait indiquer par

Ω E ( )

le nombre d’états dans lesquels l’énergie repose entre E et E+dE dans un système. Laissons

φ E ( )

définir le nombre total d’états stationnaires possibles du système qui se caractérise par des énergies de moins de E. Évidemment,

φ E ( )

augmente lorsque E augmente.

Le nombre d’états

Ω E ( )

dans une gamme se situant entre E et E+dE est alors

Temps Temps Temps

de relaxation de fluctuation Nombre

de particules

Ω E ( ) ^{= φ E + δE} ( ) ^{+ φ E} ( ) ^{= ∂φ}

∂E ∂E

Activité

Étudiez le cas d’un gaz de N molécules identiques enfermé dans un contenant de volume V. L’énergie du système peut être écrite

E=K+U+E_int où

K=K(p₁,p₂,….p_N)=

1

2m p

_i²

i =1

∑

N ^{, U=U(r1,r2,…rN)}

En étudiant le système des gaz parfaits monoatomiques U=0, E_int=0 Solution

Le nombre d’états

Ω

(E, V)se situant entre les énergies E et E+ δ est simplement égal au nombre de cellules dans l’espace des phases contenues entre ces énergies.

E

E+dE

Px R

Py

En d’autres mots,

Ω

(E, V) est proportionnel au volume de l’espace phase entre ces deux énergies :

Ω E ,V ( ) ^{∝ d}

³

^r

¹

^...d

³

^r

^N

^d

³

^p

¹

^...d

³

^p

^N

E E +δ E

∫

Ici, l’intégrale est l’élément du volume de l’espace phase avec d³ r = dx_i dy_i dz_i

d³ p = dp_{i x} dp_{i y} dp_{i z} ,

le nombre d’états

Ω E ( )

de l’enveloppe sphérique se situant entre les énergies E et E+dE se lit

Ω = BV

^N

E

^{3 N2}

En d’autres mots, la densité des états varie comme les paramètres macroscopiques extensifs du système élevé à la puissance du nombre de degrés de liberté. Un paramètre extensif en est un qui s’étend avec la grandeur du système (p.ex., le volume). Puisque les systèmes thermodynamiques possèdent généralement un très grand nombre de degrés de liberté, ce résultat sous-entend que la densité des états est une fonction de l’énergie et du volume qui augmente exceptionnellement rapidement. Ce résultat, qui s’avère être assez général, est très utile dans la thermodynamique statistique.

Problème

1. Une pièce de monnaie est lancée 400 fois. Trouvez la probabilité d’obtenir une face 215 fois. (Suggestion : utilisez l’approximation de Gauss)

Solution

Une pièce de monnaie est lancée 400 fois. La probabilité d’obtenir 215 faces est donnée à l’aide de l’approximation de Gauss.

( )

( ) ⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡ Δ

− −

≅ Δ

₂

1 2 1

1

exp 2 *

* 2 ) 1

( n

n n n n

P π

où

N=400, n₁= 215, p=1/2, q=1/2

n

1

= Np

Δ * n

1

= Npq = 400x1 / 2x1 / 2 = 100 = 10 Δ * n

1

( )

²

⁼ 100

^,

n

₁

= 200

En substituant l’équation de Gauss

P (251,400) = 1

10 2π e

^{−(251− 200)}

2 200

P (251,400) ≅ 1.3x10

⁻² Problème

2. Une particule de masse m est libre de bouger dans une dimension. Indiquez sa position représentée par x et sa quantité de mouvement par p. Supposons que cette particule est enfermée dans une boîte, afin de se situer entre x=0 et x=L et supposons que l’on sait que son énergie se situe entre E et E+dE. Dessinez l’espace phase classique de cette particule en indiquant les régions de l’espace qui sont accessibles à la particule.

Solution

Laissez-nous présenter le mouvement de la particule dans les coordonnées p, x

p

x

0 L

p P+ dp

La particule avec une position x et un moment p s’étend entre x=0 and x=L, l’énergie s’étend entre E et E+dE

Le moment de la particule est donné par E=p² /2m

p = 2mE

l’état accessible de l’espace phase

Ω E ( ) ^{= dφ E} ( )

dE δE

le nombre d’états qui ont une énergie E dans l’espace phase est donné par

φ E ( )

⁼

p = 2mE

3. Quelle est la probabilité d’obtenir un trois ou un six en lançant un dé une seule fois?

Solution

La probabilité d’obtenir un trois ou un six est

1 1 1

6 6 + = 3

ACTIVITÉ 2 : Paramètres macroscopiques et leurs mesures

Vous aurez besoin de 25 heures pour terminer cette activité. Vous serez guidé à l’aide d’une série de lectures, de vidéos multimédias, d’exemples et de questions et problèmes d’auto-évaluation. Il est fortement recommandé de faire toutes les activités et de consulter tout le matériel obligatoire et le plus de liens et références utiles possibles.

Objectifs d’apprentissage et d’enseignement spécifiques

• Définir le travail fait et l’énergie interne

• Décrire la relation absolue et la relation entropique

• Nommer l’état de la chaleur thermique à la constante V,P

• Définir et dériver l’entropie Résumé de l’activité d’apprentissage

Cette activité définit la relation entre le travail fait et l’énergie interne du système.

Le concept de l’entropie est dérivé pour un système combiné et les problèmes reliés à l’entropie et à la densité des états pour l’équilibre sont traités.

Lectures obligatoires Lecture #2 :

Référence complète : De la mécanique classique à la mécanique statistique Du Draft chapters of Thermal and Statistical Physics

URL : http://stp.clarku.edu/notes/chap1.pdf Extrait le 23septembre 2007

Résumé : Physique thermique et statistique : De la mécanique classique à la méca- nique statistique; concepts et processus thermodynamiques; concepts de probabilité;

méthodologie de la mécanique statistique; systèmes magnétiques; systèmes de par- ticules non interactives; relations et processus thermodynamiques; théories des gaz et des liquides; phénomènes critiques et groupe de renormalisation; introduction à plusieurs théories de perturbations du corps, etc.

Justification : Ce chapitre couvre la plupart des sujets dans la deuxième et la troi- sième activité de ce module…

Ressources utiles

Référence : http://en.wikipedia.org/wiki/Absolute_zero Consulté :— novembre 2006

Description : - Le zéro absolu est la température la plus basse possible qui se produit lorsque la chaleur ne subsiste pas dans une substance. Le zéro absolu est le point auquel les particules ont un minimum d’énergie, déterminé par les effets mécaniques quantiques. C’est ce qu’on appelle l’énergie au zéro absolu. Avec l’accord interna- tional, le zéro absolu est défini à précisément 0 K sur l’échelle de Kelvin, laquelle est une échelle de température absolue qui commence à

-273.15 °C sur l’échelle Celsius.^[1] Le zéro absolu est aussi précisément équivalant à 0 °R sur l’échelle Réaumur (également une échelle de température thermodynamique), et –459.67 °F sur l’échelle Fahrenheit.

Référence :-: http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/Entropy/En- tropy.html

Consulté :- février 1999 Description :

L’entropie est une mesure de probabilités d’un résultat particulier.

L’entropie est une mesure du désordre d’un système.

L’entropie mesure la chaleur divisée par la température absolue d’un corps.

Introduction à l’activité

Les lois qui gouvernent les relations entre la chaleur et le travail sont étudiées en physique thermique. Puisque la chaleur est une forme d’énergie et que le travail est le mécanisme par lequel l’énergie est transférée, ces lois se basent sur les principes de base qui gouvernent le comportement d’autres types d’énergie, notamment le principe de conservation de l’énergie. Dans cette activité, vous serez guidé à l’aide d’une série de tâches qui vous permettront de comprendre la chaleur en tant que forme d’énergie et à définir des termes telles la capacité thermique, la chaleur de fusion et la chaleur latente de vaporisation.

Description détaillée de l’activité (Éléments théoriques principaux)

Figure : compression des molécules de gaz

Mesures macroscopiques :

• Travail et énergie interne

• Température absolue

• Capacité thermique et capacité thermique massique

• Entropie

Travail et énergie interne

Le travail macroscopique fait par un système est déterminé par le volume du sys- tème s’il passe quasi statistiquement de V_i à V_f et si, pendant son processus, sa pression moyenne effective a la valeur mesurable.

W = pdV

V_i V_f

∫

Si le système est isolé isothermiquement de façon à ce qu’il n’absorbe aucune cha- leur, alors Q=0

L’énergie interne

ΔE = −W

Activité

Supposons un système constitué d’un cylindre contenant du gaz. Fournissez de l’énergie externe au système en allumant le circuit. Qu’observez-vous ? Supposons un macroétat standard de volume V_iet de pression moyenne effectivep_i , lorsque E E

=

i. Comment peut-on déterminer l’énergie moyenne E_j de n’importe quel autre macroétat j de volume V_jet sa pression moyenne effective p_j?

Figure : Un système consiste en un cylindre contenant un gaz.

Le volume V du gaz est déterminé par la position du piston. La résistance peut amener un contact thermique avec le système.

Solution

Le microétat du système peut être spécifié à l’aide des deux paramètres : le volume V et l’énergie interne E.

Énergie E. Chaque macroétat peut être représenté par un point sur un diagramme pV .

Alors que le gaz se dilate de 1 à son volume final 3, la pression moyenne effective diminue jusqu’à à une valeur p₃et le travail fait par le piston W₁₃

Pour amener la pression p₃ sans changer le volume, le travail est fait par la résistance électrique de quantité W_Ret si W_R, quantité d’énergie consommée par la résistance, l’énergie fournie par le système externe est

W

_R

− Δ ε

^.

L’énergie interne totale du système en état 2 est donc donnée par

( )

a ac R

E = E − W + W − Δ ε

La quantité de chaleur absorbée d’un macroétat 1 par un macroétat 2 est donnée par

2 ( 2 1) 12

E = E −E +W Chaleur

La chaleur Q_ababsorbée par le système allant d’un macro à un autre est donné par

( )

ab b a ab

Q = E − E + W

Température absolue

Propriétés de la température absolue

1. La température absolue fournit le paramètre de température qui est complète- ment indépendant de la nature du thermomètre habituellement utilisé pour lire la température.

2. La température absolue T est un paramètre de signification de base qui comprend toutes les équations théoriques. Désormais, toutes les prédictions théoriques impliqueront cette température particulière.

Activité

À partir de l’équation d’état pV = NKTvous pouvez montrer de façon équivalente que

pV = n RT, R = N_a K

Capacité thermique et chaleur thermique massique

Supposons un système macroscopique dont le microétat peut être spécifié par sa température absolue T et un autre paramètre macroscopique y (y peut être le volume ou la pression moyenne effective).

Activité

Ø Prenez un système macroscopique à température T. Une infiniment petite quantité de chaleur dQ est ajoutée au système et les autres paramètres sont gardés fixes.

Ø Le changement résultant dT de la température du système dépend de la nature de celui-ci et des paramètres T et y qui spécifient le macro du système.

Résultat

La capacité thermique spécifique à constante est définie par

y

y

C dQ dT

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

La chaleur spécifique par molécule ou la capacité thermique par molécule est donc définie par

1 1

y y

y

c C dQ n n dT

⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Finalement, la chaleur spécifique par gramme est définie par

1 1

'

_{y y}

y

c C dQ

m m dT

⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Tâche

Prenez un gaz ou un liquide dont la macroétat peut être spécifiée par deux paramè- tres, disons la température T et le volume. Calculez la capacité thermique à volume constant

C

_net à pression constanteC ._p

Figure : Le diagramme illustre la mesure thermique spécifique d’un gaz gardé à volume constant ou à pression constante.

Pour déterminer

C

_n

On bloque le piston en position de façon à ce que le volume du système soit gardé fixe.

Dans ce cas, le système ne peut faire de travail et la chaleur dQ ajoutée au système servira entièrement à augmenter l’énergie interne du système dQ dE

=

Pour déterminer C_p

Le piston est laissé complètement libre de bouger, le poids de celui-ci étant égal à la force constante par unité de surface (pression moyenne effective) sur le système.

Dans ce cas, le piston bougera lorsque la chaleur dQ sera ajoutée au système. Le résultat sera que le système fait aussi du travail mécanique. Donc, la chaleur dQ est utilisée pour faire augmenter l’énergie interne du système et pour faire du travail mécanique sur le piston.

dQ dE pdV

= +

loi fondamentale de la thermodynamique À partir des résultats attendus

i). dEest augmenté d'une petite quantité (donc, la température T augmentera, elle aussi d'une petite quantité) dans le deuxième cas, si on le compare au premier.

ii).

C

_p

> C

_n

Capacité thermique en utilisant la deuxième loi de la thermodynamique

La deuxième loi de la thermodynamique est donnée par dQ = TdS la capacité ther- mique

C

_y

= T ∂S

∂T

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

_y

Si tous les paramètres externes du système sont gardés constants, alors le système ne fait aucun travail macroscopique, dW =0 la première loi est donc réduite à

dQ dE

=

C

_V

= T ∂S

∂T

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

_V

= ∂E

∂T

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

_V

Exemple

Supposons les mesures thermiques par la méthode des mélanges en matière de cha- leurs spécifiques de la substance impliquée. Supposons que les deux substances A et B, de masse respective m_A et m_B , entrent en contact thermique sous une pression constante. Assumons qu’avant d’entrer en contact thermique, la température d’équi- libre respective des substances est T_Aet T_B. Calculez la température finale T_f

Solution Entropie

L’entropie peut facilement être déterminée en utilisant la deuxième loi dQ TdS

=

^pour un processus quasi statistique infiniment petit. En prenant n’importe quel macroétat b du système, on peut trouver la différence entropique entre cet état et un état standard a à un état b. Le calcul pour ce processus est

S

_b

− S

_a

= dQ

a

T

b

∫

Supposons que le macroétat d’un corps est spécifié par sa température, puisque tous ses autres paramètres sont gardés constants

S T ( )

_b

^{− S T} ( )

^a

^{= dQ} _T

a b

∫ ^{= C}

^y

( ) ^{T ' dT '}

T_a

T '

T_b

∫

alors

S T ( )

_b

^{− S T} ( )

^a

^{= C}

^y

^{ln T} _T

^b

a

Problème

Supposons qu’un système A et qu’un système B avec une chaleur spécifique constante

'

_A

C et C

'

_Bqui ont une température originale respective de T_A et T_B, entrent en contact thermique. Une fois le système en équilibre, il atteint une température finale de Tf. Quel est le changement entropique du système en entier dans ce processus ? Système A, T_A

Système B, T_B Système isolé