Paris 7 PH 402
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Physique Statistique
EXERCICES
Feuille 2 : Densit´es d’´etats d’une particule quantique
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Densit´e d’´etats d’une partiqule “libre”1. Calculer la densit´e ´energ´etique des ´etats stationnaires d’une partiqule “libre”, “non relativiste”, de massem, spin nul, dont les d´eplacements sont restreints `a un segment de longueurL. Comparer avec la densit´e d’´etats dans une situation encore plus artificielle : la partiqule se d´eplace sur une droite infinie, quasi librement `a cela pr`es que l’on impose `a sa fonction d’onde d’ˆetre p´eriodique avec la p´eriodeL.
2. Densit´e d’´etats de la mˆeme partiqule dont les d´eplacements sont restreints `a une surface rectangulaire d’aire S?
3. Densit´e d’´etats de la partiqule “libre” dans une boˆıte ´etanche parall´el´epip`edique de volume V? 4. Comment sont modifi´es les r´esultats pr´ec´edents pour une partiqule de spins?
5. Dans le cas d’un atome de gaz rare (disons de l’h´elium pour l’exemple), enferm´e dans un volume ordinairement quotidien (disons 1 litre), `a temp´erature de saison (estimer l’´energie moyenne ε de l’atome), estimer le nombre d’´etats stationnaires d’´energie comprise entre ε et 1,01ε. (Patrimoine culturel de la physicienne standard : volume molaire d’un gaz parfait ≈22 l, R ≈8,3 J mole−1K−1, NA≈6×1023, ¯h≈10−34SI.)
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Densit´e d’´etats d’une partiqule relativisteOn consid`ere une partiqule “libre” relativiste dans une boˆıte ´etanche. Dans un ´etat propre de la quantit´e de mouvement~p, la fonction d’onde correspondant est encore de la forme exp(i~p·~r/¯h) et l’´energie vautε2=c2p2+m2c4. Calculer la densit´e d’´etats. En v´erifier la limite “non relativiste”.
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Partiqule de spin 1/2 en pr´esence d’un champ magn´etiqueUne partiqule charg´ee de spin 1/2 ´evolue dans un champ magn´etique −→B uniforme et constant, dans une boˆıte ´etanche. L’´energie d’un ´etat stationnaire a pour expression
ε= p2 2m∓µB,
selon que son moment magn´etique est dans un ´etat propre parall`ele ou antiparall`ele `a −→B. Calculer les densit´es d’´etats correspondantesρ±(ε) puis la densit´e totaleρ(ε).
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Densit´e d’´etats ´electroniques dans un cristalUn ´electron est mobile dans un cristal `a une dimension de longueurL, comportantN atomes ´equidis- tants. La distance entre deux atomes cons´ecutifs esta=L/N. Dans l’approximation dite des “liaisons fortes” — applicable au cas o`u les ´electrons restent fortement li´es aux noyaux —, on montre que la relation entre l’´energie et le nombre d’onde de l’´electron est donn´ee par
ε=Wcoska, −π/a < k < π/a.
Les conditions aux limites imposent par ailleurs k=n2π/L, ou n est un entier surnaturel. Calculer la densit´e d’´etats ρ(ε) de l’´electron, et tracer la courbe correspondante.
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Densit´e d’´etats de N partiqulesOn consid`ere un syst`eme deNpartiqules “libres” (gaz parfait) et discernables (!), sans spin, enferm´ees dans une boˆıte de volume V.
1. Montrer qu’un ´etat stationnaire du syst`eme est caract´eris´e par un vecteur −→K d’un espace `a 3N dimensions, d´efini par ses composantes−→K= (k1x, k1y, . . . , kN z).
2. Montrer que le nombre d’´etats stationnaires dont le module du 3N−vecteur d’onde est dans le domaine (K, K+ dK) est donn´e par
N(K,dK) =S3N(1)
· V (2π)3
¸N
K3N−1dK,
2 Paris 7, Phy. Stat. 2 : densit´es d’´etats.
o`uS3N(1) est l’aire de la sph`ere de rayon unit´e en 3N dimensions.
3. En d´eduire que le nombre d’´etats stationnaires dont l’´energie est dans le domaine (E, E + dE) est donn´e par
Ω(E,dE) = S3N(1) 2(2π)3N
µ2m
¯ h2
¶32N
VNE32N−1dE.
4. En calculant de deux mani`eres diff´erentes l’int´egrale de Gauss
In = Z +∞
−∞
dx1. . . Z +∞
−∞
dxne−(x21+x22+···+x2n),
montrer que l’expression de l’aire de la sph`ere de rayon unit´e enndimensions est
Sn(1) = 2 πn/2 Γ(n/2).
5. En d´eduire la densit´e d’´etats ρ(E) de ce gaz parfait, ainsi que son expression approch´ee dans le cas N À1.
