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Submitted on 1 Jan 1990
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MODÉLISATION NUMÉRIQUE DU CHAMP ACOUSTIQUE DE TRANSDUCTEURS EN PRÉSENCE D’INTERFACES QUELCONQUES OU
DE MILIEUX MULTICOUCHES
J. de Belleval, A. Souissi, Ph. Gatignol, N. Mercier
To cite this version:
J. de Belleval, A. Souissi, Ph. Gatignol, N. Mercier. MODÉLISATION NUMÉRIQUE DU CHAMP ACOUSTIQUE DE TRANSDUCTEURS EN PRÉSENCE D’INTERFACES QUELCONQUES OU DE MILIEUX MULTICOUCHES. Journal de Physique Colloques, 1990, 51 (C3), pp.C3-33-C3-41.
�10.1051/jphyscol:1990304�. �jpa-00230732�
COLLOQUE DE PHYSIQUE
Colloque C3, supplément au n017, Tome 51, ler septembre 1990
MODELISATION
NUMÉRIQUE DU CHAMP ACOUSTIQUE DE TRANSDUCTEURS EN PRÉSENCE D'INTERFACES QUELCONQUES OU DE MILIEUX MULTICOUCHESJ.F. DE BELLEVAL, A. SOUISSI, Ph. GATIGNOL et N. MERCIER
Université de Compiègne, DAVI, BP 649, F-60206 Compiègne, France
Résumé - Cet article présente un modele numérique permettant de déterminer dans un plan quelconque le champ acoustique correspondant à une onde monochromatique connue dans un plan de référence. Ce modèle est basée sur une décomposition en ondes planes, il permet la prise en compte de plusieurs milieux fluides ou solides séparés par des interfaces planes ou courbes ainsi que des milieux multicouches. Un certain nombre de résultats de calcul dans l e domaine du contrôle non destructif sont présentés et comparés avec des résultats théoriques ou expérimentaux.
Abstract - This paper presents a numerical model which enable the acoustic field related to a monochromatic wave known on a reference plane, to be determined on any plane. This model is based on a decomposition in plane waves, it take account of several fluid or solid mediums separated by plane or cuwed interfaces, as also multilayers. Some computerized results are presented and cornpared with theoretical or experimental results in the domain of quantitative non destructive evaluation of materials.
1. INTRODUCTION
Un grand nombre de techniques fait appel à des transducteurs sonores ou ultrasonores et l'amélioration des résultats nécessite une connaissance suffisamment précise d e leur champ. Citons toutes les méthodes d'imagerie ou de localisation de sources ou de réflecteur (acoustique sous-marine, contrôle médical, évaluation non destructive de matériaux, microscopie acoustique,...), qui font des hypothèses a priori sur le champ des transducteurs utilisés. Une erreur dans ces hypothèses entraîne une mauvaise localisation de ce que l'on cherche à observer et une déformation éventuelle de l'image. 11 est donc nécessaire de prévoir ou d e mesurer, éventuellement de modifier le champ sonore des transducteurs. Nous désignerons par champ du transducteur à la fois le champ rayonné par un émetteur, qui pourra par exemple s'exprimer par une pression dépendant de l'espace, et la sensibilité d'un récepteur à une source ponctuelle en fonction de sa position. Des principes de réciprocité permettent généralement de passer d'un cas à l'autre.
Ces considérations nous ont amenées à développer un modèle numerique du champ acoustique de transducteurs. Il permet de prévoir l e champ dans des milieux fluides ou solides et prend en compte la traversée d'interfaces planes ou non planes. 11 est basé sur un principe holographique de reconstruction à partir de la connaissance de ce champ dans un plan (milieu tridimensionnel) ou une droite (milieu bidimensionnel). Cette connaissance peut être issue soit d'hypothèses a priori sur le transducteur (par exemple vibration de type piston, éventuel déphasage pour introduire la focalisation,...), soit de mesures pour prendre en compte un transducteur réel 161.
II. P R I N C I P E D E LA M E T H O D E
La méthode, déduite d'un formalisme développé initialement en optique [l], est basée sur la décomposition en ondes planes d'une onde monochromatique quelconque de pulsation o. Cette décomposition est obtenue par une simple transformation de Fourier si l'onde est connue dans un plan. La propagation de chacune de ces ondes puis une recomposition permettent de déduire le champ dans un autre plan. Ce formalisme a déjà été utilisé [7] pour l'étude de faisceaux transmis à travers une lame à faces parallèles.
Soit qO(
plan que celui-ci).
x1 , x 2 ) un paramètre caractérisant l'onde (potentiel scalaire ou vectoriel, pression, déplacement, ...) dans un nous appellerons plan de référence (nous prendrons un référentiel dont l e plan ~ 1 0 x 2 est confondu avec
rp, (XI, x2 ) peut s'exprimer comme la somme d'ondes planes de vecteur nombre d'ondeK ( k l , k2, k3) :
avec
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1990304
C3-34 COLLOQUE DE PHYSIQUE
La transformation de Fourier (2) correspond à cette décomposition en ondes planes de toutes directions, son résultat est pour cela souvent appelé spectre angulaire. Les variables kl et kp prennent toutes les valeurs de -m à +m, kg se déduit, si le milieu est homogène e t isotrope de vitesse de propagation c, à l'aide de la relation de dispersion :
kg prendra des valeurs réelles si k12+k22 est plus petit que k2 (l'onde correspondante est propagative) ou des valeurs purement imaginaires si k12+k22 est plus grand que k2 (l'onde est alors évanescente).
On peut déduire 9 en tout point au moyen de l'expression suivante :
Champ acoustique dans u n plan parallèle à la référence
Nous observons sur la formule (4) que si x3 est égal à une constante xgO (observation dans un plan parallèle au plan de référence), q(x1 ,x2, xgO) se déduit de qo(xl ,x2) au moyen d'une fonction de transfert H(k1, kg;xgO) définit dans le plan de Fourier (kl , k2) :
Il est par conséquent très aisé d e calculer le champ acoustique @(XI ,x 2 .x30) dans un plan parallèle au plan de référence. Les opérations successives sont : une transformation d e Fourier pour calculer <po (kl , k2 )
,
la multiplication par la fonction de transfert définie par la formule (5) et enfin une transformation de Fourier inverse.Champ acoustiqne dans un plan non parallèle à la référence
Pour connaître le champ dans un plan non parallèle au plan de référence, il suffit de faire un changement de référentiel et d'exprimer la formule (4) dans ce nouveau référentiel. Soit (XI, X2, X3) les coordonnées du point courant dans le nouveau référentiel e t (KI, K2, Kg) les nouvelles composantes du vecteur nombre d'onde courant
K
de module égal à k w / c précédemment défini. Les valeurs de (XI, X2, X3) et (KI, K2 ,K3) se déduisent de façon classique par un calcul matriciel en fonction de (XI, x2, x3) et (kl,
k2, kg) et réciproquement. Dans le nouveau référentiel la formule (4) s'écrit :La valeur Kg est aussi déterminée en fonction de Kl et K2 par la relation de dispersion :
Pour X3=Xg0 constant, l'expression (6) s'interprète aussi comme une transformée de Fourier bidimensionnelle des nouvelles variables Kl e t K2. Le calcul du champ acoustique dans un plan quelconque nécessite donc les étapes suivantes :
-
Calcul du spectre angulaire dans le plan d e référence par une transformation de Fourier bidimensionnelle, - Détermination de la décomposition en ondes planes dans le nouveau référentiel, au niveau du plan X1OX2 : calcul de rp( ) en fonction des nouvelles variables K1 et K2, calcul des nouvelles variables d'intégration dKldK2,- Propagation jusqu'au plan X3=Xg0 (entre des plans paralfèles),
-
Détermination de q(X1, X2 ,X3 ) par transformation de Fourier inverse.Réflexion e t transmission, interface plane
Le procédé précédemment décrit, en supprimant la dernière étape, donne accès à la décomposition en ondes planes au niveau du plan de l'interface. La simple application des lois de Snell-Descartes à ces ondes permet de les déduire après
la réflexion ou la transmission, puis la mise en oeuvre à nouveau du même procédé (propagation jusqu'à un plan quelconque, recomposition par transformation de Fourier inverse) donne le résultat dans le plan d'observation. Il est bien sûr possible d'enchaîner ce processus pour traiter le cas de réflexion et transmission sur un nombre quelconques d'interfaces.
Cette méthode a l'avantage d'être tout à fait rigoureuse et de prendre implicitement en compte tous les phénomènes en jeu (ondes évanescentes, ondes de surfaces,...).
Réflexion e t transmission, interface non plane
Les interfaces non planes sont introduites de manière un peu moins rigoureuse. L'interface réelle est en effet remplacée par un plan qui lui est tangent en un point caractéristique choisi de façon judicieuse (par exemple le point d'intersection de l'axe du faisceau incident avec cette interface) et au niveau duquel est calculé le champ acoustique par le procédé précédemment décrit. La courbure de l'interface est ensuite introduite par un déphasage qui prend en compte le changement des caractéristiques de propagation entre l'interface réelle et ce plan. Le reste du calcul, réflexion ou transmission, propagation jusqu'au plan d'observation, est alors effectué comme expliqué dans le paragraphe précédent en supposant l'interface plane.
III. DIFFICULTES ET PRECAUTIONS NUMERIQUES
Nous avons réalisé, à partir de ces principes, un logiciel permettant de calculer le champ acoustique résultant de la propagation d'une onde quelconque monochromatique, connue dans un plan. Le domaine de propagation est constitué de plusieurs milieux fluides ou solides séparés par des interfaces planes ou non planes. Le calcul se fait par traitement successif de chaque interface, il peut être bi- ou tridimensionnel.
Un certain nombre de précautions ont dû être prise pour réaliser ce calcul. La première est liée à l'échantillonnage, le critère de Shannon (fréquence d'échantillonnage supérieure à deux fois la fréquence maximale du signal) doit être respectée aussi bien dans le domaine spatial que dans celui des nombres d'ondes. Le domaine d'intégration, lié au nombre de points de calcul, doit de plus être suffisamment étendu pour prendre en compte le champ complet.
La transformation de Fourier, largement utilisée dans cette méthode, est basée sur un algorithme classique de FFT (transformation de Fourier rapide). Cet algorithme permet d'effectuer la transformation de Fourier sur des points dont le nombre doit être une puissance de deux e t qui de plus doivent être équidistants. Nous avons donc respecté ces critères au niveau du plan de référence, ce qui permet d'effectuer facilement la décomposition en ondes planes. Les transformations successives (rotation de référentiel, transmission à travers une interface) changent les nombres d'onde d e façon non linéaire, le spectre en nombre d'onde est alors connu sur des points non équipartis. L'utilisation d'une FFT à ce niveau, a donc nécessité d'effectuer une interpolation pour déterminer ce spectre en des points équidistants.
Toutes ces transformations, de plus, changent l'échantillonnage ainsi que l'étendue du domaine sur lequel sont calculées les fonctions caractérisant le champ. il est donc nécessaire de vérifier à chaque étape du calcul, les critères précédemment cités concernant l'échantillonnage e t l'étendue du domaine d e calcul, qui doivent toujours être respectés.
Fig. 1. Schéma de la configuration géométrique de la réflexion sur un solide au voisinage d e l'incidence de Rayleigh.
COLLOQUE DE PHYSIQUE
IV. RESULTATS
Nous allons présenter un certain nombre de résultats concernant des faisceaux réfléchis sur un solide, des faisceaux transmis à travers une interface plane séparant un fluide et un solide, des faisceaux transmis dans un solide à travers une interface courbe et enfin des faisceaux réfléchis sur un milieu multicouche.
Réflexion s u r u n solide a u voisinage d e l'incidence d e Rayleigh
La réflexion sur un solide d'un faisceau borné au voisinage de l'angle de Rayleigh a été largement étudiée dans la littérature [2,3]. Il est bien connu que l e faisceau se dédouble en deux lobes principaux, phénomène qui peut s'expliquer par les interférences entre l e faisceau réfléchi spéculaire et la réémission due aux ondes de Rayleigh. Pour valider notre méthode et mettre en évidence que tous les phénomènes sont bien pris en compte (ondes de surface en particulier), nous avons effectué des calculs dans les mêmes conditions que celles de la référence [2] qui nous présente à la fois des résultats théoriques et expérimentaux.
L'onde émise a un profil de déplacement gaussien dans l e plan source, elle se réfléchit sur une interface plane eau/acier e t est observée dans un plan symétrique du plan source par rapport au plan normal au plan d'incidence et à l'interface, qui passe par l'intersection de l'axe acoustique du faisceau et de l'interface (fig 1). La figure 2 présente une comparaison entre les résultats théoriques et expérimentaux de [2] et nos calculs pour une onde de fréquence de 2 MHz et un faisceau de diamètre 12 mm dans le plan de référence (diamètre sur lequel l'amplitude est égale à l / e fois l'amplitude maximale), la distance entre le plan d'émission et le point d'intersection de l'axe acoustique e t de l'interface est de 200 mm. Nous observons une très bonne concordance entre nos résultats et les résultats expérimentaux de [2], légèrement meilleure que ceux prévus par la théorie dans cette même référence.
Fig. 2. Comparaison entre (a) les résultats théoriques (-) e t expérimentaux (...) de la référence [2] et (b) les résultats du modèle pour une réflexion sur un solide au voisinage de l'angle de Rayleigh (faisceau gaussien de ip 12 mm, fréquence 2 MHz, OA = A F = 200mm).
Fig. 3. Résultats du modèle, en géométrie tridimensionnelle, pour une réflexion sur un solide au voisinage de l'angle de Rayleigh (faisceau gaussien de ip 12 mm, fréquence 1 MHz, O A = A F = 100mm).
La figure 3 présente un autre résultat dans le cas d'une géométrie tridimensionnelle, pour un émetteur de même nature (profil de déplacement gaussien et même diamètre de faisceau) mais de fréquence 1 MHz et à une distance OA égale à 100 mm. Pour cette configuration l e phénomène est encore plus prononcé. La géométrie du faisceau s'observe bien sur la figure.
Transmission fluide-solide, interface plane
La figure 5 montre des résultats de calcul pour un faisceau transmis à travers une interface plane eau-aluminium. La configuration géométrique est expliquée sur la figure 4. Le faisceau est l e même que celui de la figure 3 (fréquence l M H z , distance OA=100mm, faisceau gaussien de 12mm de diamètre), l'incidence varie autour de celle correspondant à l'angle critique des ondes longitudinales, la grandeur représentée est le module du vecteur potentiel (ondes transversales) dans un plan parallèle à l'interface et à une profondeur de 30 mm.
Nous observons, pour une incidence voisine de l'angle critique des ondes longitudinales (13.46~) un dédoublement du faisceau qui s'atténue pour les angles supérieurs ou inférieurs, ainsi que des lobes secondaires. Le minimum entre les deux lobes principaux s'explique par l'annulation du coefficient de transmission des ondes transversales B l'angle critique des ondes longitudinales.
Parallèlement à ces calculs, nous avons réalisé des expériences pour vérifier le champ ultrasonore d'un transducteur dans un solide après la traversée d'une interface plane. Ceci a été fait [4,5] par la mesure de l'écho sur de petites cibles hémisphériques placées dans un bloc d'aluminium et visées sous différentes incidences. Le transducteur était excité par une impulsion et l'écho observé à une fréquence fixe, après avoir effectué une transformation de Fourier. Les transducteurs utilisés avait une fréquence nominale de 5 MHz et les résultats sont présentés pour cette fréquence. Pour les résultats numériques comparés aux expériences, on a supposé que la face avant du transducteur vibrait en mode piston.
La figure 6 présente les résultats du champ acoustique d'un transducteur focalisé (diamètre 25.4mm, distance focale 90 mm) à une incidence de Z O O . La configuration géométrique est la même que celle décrite sur la figure 4. Les résultats théoriques et expérimentaux sont en bon accord. Ils donnent approximativement les mêmes dimensions du champ acoustique dans les deux directions : 5.7 mm le long de Fy" et 1.4 mm le long de Fx", on peut de plus remarquer le même effet d e défocalisation (élargissement du faisceau et importants lobes secondaires). Le phénomène de défocalisation peut s'expliquer par la théorie de l'acoustique géométrique (aberration géométrique des systèmes non centrés), et il est possible de corriger partiellement cette aberration pour une incidence donnée par une lentille de rayon de courbure variable en azimut (par exemple lentille torique).
Une forte dissymétrie du faisceau, variable avec la profondeur, peut être observée sur la figure 7 sur laquelle sont tracées des projections planes (courbes d e niveau) du champ transmis dans des plans parallèles à l'interface pour différentes profondeurs.
Fig.4. Schéma de la configuration géométrique de la transmission fluide-solide, interface plane.
COLLOQUE DE PHYSIQUE
Fig. 5. Module du potentiel vecteur d'ondes transversales transmises à travers une interface eau-aluminium pour différentes incidences de part et d'autre de l'incidence critique des ondes longitudinales (faisceau gaussien de q5 12mm, fréquence 1 MHz, OA= 100mm, profondeur 30mm).
Fig. 6. Comparaison entre le calcul et l'expérience pour un faisceau focalisé transmis à travers une interface plane eau- aluminium sous une incidence de 20° (ondes transversales, diamètre 25.4 mm, distance focale 90 mm, fréquence 5 MHz, OA=42mm, AF=9mm). (a) résultats du calcul, (b) coupe suivant Fy", (c) coupe suivant Fx", (-) calcul, (---) expérience.
Fig. 7.Courbes d e niveau du champ calculé de la figure 5 à différentes profondeurs.
Fig. 8. Champ acoustique aprés la traversée d'une interface cylindrique de diamètre 100 mm (faisceau gaussien de
@12.8mm, fréquence 2MHz, incidence 20°, OA=6Omm, AF=30mm), (a) configuration géométrique, (b) résultats du calcul.
transmission fluide-solide, interface courbe
Comme exemple de calcul pour une interface courbe, nous avons choisi un cylindre en aluminium de 100mm de diamètre immergé dans l'eau. La configuration géométrique, représentée suro la figure Sa, comprend un faisceau gaussien de 12.8 mm de diamètre, d'axe acoustique OA faisant un angle de 20 avec la normale au plan tangent au cylindre. La fréquence est de 2 MHz, les distances OA et AF valent respectivement 60mm e t 30 mm, le plan d'observation est perpendiculaire à "l'axe géométrique" du faisceau dans l'aluminium (axe déduit de l'axe acoustique dans l'eau à partir des lois géométriques de la réfraction).
Les résultats du calcul sont présentés sur la figure 8b en fonction de la distance u par rapport à l'axe géométrique. On observe un décalage de prés de 3 mm de l'axe du faisceau par rapport au loi de l'acoustique géométrique et une forte dissymétrie du faisceau.
COLLOQUE DE PHYSIQUE
Réflexion sur u n milieu multicouche
Nous avons développé par ailleurs un modèle numérique de propagation dans des milieux multicouches immergés [8 à 101 qui nous permet d'accéder, entre autres, aux coefficients de réflexion et de transmission des ondes planes dans le milieu d'immersion. Ce modèle a été utilisé pour étudier les modes de Lamb dans de tels milieux pouvant représenter des assemblages collés. La configuration principale à laquelle nous nous sommes intéressés correspond à l'assemblage d e deux plaques d'aluminium d e 1.6 mm et 0.6 mm d'épaisseurs respectives au moyen d'une résine époxyde de 0.15 mm d'épaisseur en moyenne. Cette configuration correspond à un cas pratique industriel qui nous a été soumis par l'Aérospatiale.
Dans de telles configurations, il est bien connu que le coefficient de réflexion passe par des minimums en fonction de la fréquence ou de l'incidence, lesquels correspondent à la génération d'ondes de Lamb généralisées dans le multicouche.
Si un faisceau acoustique est réfléchi sous une telle incidence et à une telle fréquence, on observe des effets similaires à ceux précédemment décrits pour les ondes d e Rayleigh, c'est-à-dire un dédoublement du faisceau et des lobes secondaires. La variation du champ acoustique d'un transducteur peut donc donner des renseignements sur le multicouche, par exemple des indications sur l'adhérence d'un collage.
Sur la figure 9 est représenté le champ réfléchi sur le multicouche précédemment décrit pour une incidence de 26.7O et une fréquence d e 2 MHz ce qui correspond à un mode de Lamb, ainsi que pour une incidence de 24' plus éloignée de ce mode. On observe de manière évidente les oscillations présentes dans le champ acoustique à l'incidence e t 1a fréquence correspondant au mode de Lamb, oscillations qui s'estompe pour une incidence différente. Sur la figure 9a est représenté, pour comparaison, le même faisceau après propagation dans l'eau sur une distance identique à celle sur laquelle s'est propagée le faisceau réfléchi.
V. CONCLUSIONS
Nous avons mis au point un modèle numérique permettant de déterminer dans un plan quelconque le champ acoustique correspondant à une onde monochromatique connue dans un plan d e référence. Ce modèle est basée sur une décomposition en ondes planes, il permet la prise en compte de plusieurs milieux fluides ou solides isotropes séparés par des interfaces planes ou courbes ainsi que des milieux multicouches. Il a été exploité sur un certain nombre de cas et a permis d e mettre en évidence un certain nombre de phénoménes dont certains sont déjà connus (dédoublement du faisceau réfléchi sur un solide à l'incidence de Rayleigh ou sur une plaque aux incidence des modes de Lamb) et d'autres ne l'étaient pas (dédoublement du faisceau transmis dans un solide à l'incidence correspondant à l'angle critique des ondes longitudinales).
Les résultats de calcul ont été comparés à des résultats tant expérimentaux que théoriques, ils sont toujours en excellente concordance avec ceux-ci.
Fig.9. Champ réfléchi sur un multicouche (faisceau gaussien de 9 12mm, fréquence 2 M H z , OA=AF=lSOmm), (a) champ incident à 300mm de distance du plan d e référence, (b) incidence de 26.1~ correspondant à un mode de Lamb, (c) incidence de 24O.
Les principaux résultats présentés concernent l'évaluation non destructive de matériaux par ultrasons, domaine dans lequel ce modèle peut rendre un grand nombre de service, en particulier par la prise en compte correcte et aisée de la vraie forme des faisceaux d e traasducteurs dans des situations complexes. Un grand nombre d'autres applications est cependant envisageable, citons le domaine du rayonnement de machines ou de l'acoustique sous-marine. Il est en effet possible, par exemple, de faire de la même manière, de la "rétropropagation" c'est-à-dire de remonter aux sources d'un rayonnement.
Les améliorations à ce modèle sur lesquelles nous travaillons actuellement, concernent l'extension à des milieux anisotropes (prise en compte plus précise de matériaux composites ou de certains alliages et métaux) et la généralisation à des ondes à large bande de fréquence.
Remerciements :
Un certain nombre des résultats présentés dans cette communication a été obtenu dans le cadre des thèses de B. El Kihel, A. Souissi et Y. Benelmostafa et dans le cadre de travaux ayant bénéficié d'un support partiel de la D.R.E.T.
REPERENCES:
[ l ] GOODMAN J.W., "Introduction à l'optique de Fourier e t à l'holographie," (Masson, 1972)
[2] BREAZEALE M.A., ADLER L., SCOTT G.W., "Interaction of ultrasonic waves incident at the Rayleigh angle ont0 a liquid-solid interface," J. Appl. Phys. 72 (2), pp 585-590, aug 1982
[3] BERTON1 H.L., HSUE C.W., TAMIR T., "Non-specular reflection of convergent beams from liquid-solid interface," Rev. Trait. Sign. 2 (l), sept 1985
[4] SOUISSI A., DE BELLEVAL J.F., GATIGNOL Ph., "Ultrasonic field of a transducer behind a plane fluid-solid interface," Rev. Prog. Quant. NDE ed by Thomson D.O. and Chimenti D.E., (Plenum Press, NY, 1989) Vol 8, pp 857-863
[5] SOUISSI A., "Développements d e méthodes numériques e t expérimentales pour l'étude du champ acoustique de transducteurs ultrasonores en présence d'une interface fluide-solide," Thèse de Doctorat, Université de Compiègne, dec 1987
[6] E L KIHEL B., DE BELLEVAL J.F., GATIGNOL Ph., "Vibration characteristics of the front face of an ultrasonic transducer deduced from his acoustical radiation," Rev. Prog. Quant. NDE, ed by Thomson D.O. and Chimenti D.E., (Plenum Press, NY, 1988), Vol 7 , pp 603-608
[7] HOSTEN B., DESCHAMPS M., "Etude de la transmission ultrasonore en faisceau borné d'une lame à faces parallèles immergée à l'aide du spectre angulaire," C.R. Acad. Sc. Paris, t 199, série I I no 15,1984
[SI BENELMOSTAFA Y., D E BELLEVAL J.F., MERCIER N., MOLINERO I., "Modélisation numérique de la propagation des ultrasons dans un milieu multicouche. Application aux collages," l e r Cong. Franc. Acoust., Lyon, fév 1990, Suppl. J. Phys. C2-1990, fasc 2, (les éditions de physique)
[9] BENELMOSTAFA Y., Thèse de Doctorat, Université de Compiègne, juin 1990
(101 LEOMY F., DE BILLY M., QUENTIN G., BENELMOSTAFA Y., DE BELLEVALJT., MERCIER N., MOLINERO I., LECURU D., "Dispersion curves analysis for bonded elastic plates a t low Fd," Rev. Prog.
Quant. NDE, ed by Thompson D.O. and Chimenti D.E., (Plenum Press, NY, 1990), Vol 9
