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Submitted on 1 Jan 1990
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INFLUENCE DE L’INHARMONICITÉ SUR LA VIBRATION DE LA CORDE FROTTÉE : OBSERVATION À PARTIR DE L’ARCHET
NUMÉRIQUE
R. Causse, G. Weinreich
To cite this version:
R. Causse, G. Weinreich. INFLUENCE DE L’INHARMONICITÉ SUR LA VIBRATION DE
LA CORDE FROTTÉE : OBSERVATION À PARTIR DE L’ARCHET NUMÉRIQUE. Journal de
Physique Colloques, 1990, 51 (C2), pp.C2-861-C2-864. �10.1051/jphyscol:19902200�. �jpa-00230517�
COLLOQUE DE PHYSIQUE
Colloque C2, supplément au n02, Tome 51, Février 1990 ler Congrès Français d'Acoustique 1990
INFLUENCE DE L'INHARMONICIT~ SUR LA VIBRATION DE LA CORDE FROTT~E:
OBSERVATION À PARTIR DE L'ARCHET
NUMERIQUE
Institut de Recherche et Coordination Acoustique Musique, 31, Rue Saint-Merri, F-75011 Paris, France
Randall Laboratory, University of Michigan, Ann Arbor, Michigan 48109, U.S.A.
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Q u e l l e r e l a t i o n e x i s t e - t - i l e n t r e l a f r é q u e n c e d e l a c o r d e f r o t t é e e t l e s f r é q u e n c e s n o r m a l e s d e l a c o r d e l i b r e ? Une t r é s f a i b l e i n h a r m o n i c i t é p e u t a v o i r d e s c o n s é q u e n c e s i m p o r t a n t e s s u r l e c o m p o r t e m e n t d e l a c o r d e , e n p a r t i c u l i e r s u r l a " p r e s s i o n " minimale d ' a r c h e t , l a j u s t e s s e e t l a s t a b i l i t é .A b s t r a c t
-
What i s t h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e f r e q u e n c y o f t h e bowed s t r i n g a n d t h e n o r m a l f r e q u e n c i e s o f t h e s t r i n g when i t is f r e e ? R e l a t i v e s m a l l i n h a r m o n i c i t i e s c a n h a v e c o n s e q u e n c e s on t h e b e h a v i o r o f t h e s t r i n g , i n p a r t i c u l a r o n t h e m i n i m a l bow p r e s s u r e , t h e t u n i n g a n d t h e s t a b i l i t y .Apporter une contribution expérimentale à la compréhension de l'intéraction entre l'archet et la corde a été le point de départ du développement des archets électroniques, à la fois analogiques et numèriques, dont le comportement est dans bien des cas, similaire à celui d'un archet réel [ I l [ 2 ] .
Une corde usuelle de violon est, bien entendu, presque exactement harmonique, et l'on dit généralement que la corde frottée vibre à s a fréquence "naturelle". Cependant 1
'
inharmonicité, liée à la raideur mais aussi au couplage entre la corde et le corps de l'instrument, peut avoir des conséquences entre autre sur deux qualités de l'instrument: la "jouabilité" et la justesse, en engendrant des instabilités (sauts de "régimes1') ou en imposant des pressions d'archet inhabituelles et en introduisant un écart de fréquence entre la note pincée et la note frottée.L'étude de l'inharmonicité émane de notre description du fonctionnement de la corde frottée, conceptuellement diffèrente de celles existants jusqu'ici [ 3 ] . En effet si l'on imagine la corde comme parfaitement flexible et sans la moindre perte (linéaire, sans dissipation, sans dispersion et terminée par des
supports fixes) alors le mouvement de Helmholtz, caractérisant la corde frottée, pour lequel la vitesse au niveau de l'archet alterne entre deux valeurs fixes, est une solution possible de l'équation de la corde libre. Dans ce cas, la force exercée par l'archet est absolument constante dans le temps, donnant naissance au "coin"
fixe superposé au "coin" mobile définissant le mouvement.
Supposons maintenant qu'une faible quantité de dissipation soit introduite; le mouvement sera alors modifié de telle sorte qu'il puisse permettre à l'archet d'injecter l'énergie nécessaire perdue par cycle. Par conséquent la force de l'archet ne sera plus constante
(1) Supporté en partie par le Centre National de la Recherche Scientifique
( 2 1 Supporté en partie par la National Science Foundation
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:19902200
COLLOQUE DE PHYSIQUE
e t p r é s e n t e r a une composante a l t e r n a t i v e q u i a u r a l a p é r i . o d i c i t é du mouvement e t d o n t l ' a m p l i t u d e s e r a de l ' o r d r e d e l a q u a n t i t é d e d i s s i p a t i o n e x i s t a n t e . D'un a u t r e c ô t é , l a r é p o n s e de l a c o r d e à une f o r c e donnée, s i c e t t e f o r c e s e p r o d u i t e x a c t e m e n t à l a f r é q u e n c e d e r é s o n a n c e d e l a c o r d e , est i n v e r s e m e n t p r o p o r t i o n n e l l e à l a q u a n t i t é d e d i s s i p a t i o n .
A l o r s l a v i t e s s e a j o u t é e , l i é e à l a composante a l t e r n a t i v e d e l a f o r c e , s e r a independante de la dissipation, é t a n t é g a l e a u p r o d u i t d ' u n e f o r c e p r o p o r t i o n n e l l e à l a d i s s i p a t i o n e t d ' u n e r é p o n s e i n v e r s e m e n t p r o p o r t i o n n e l l e à c e t t e d e r n i è r e .
V o i c i l e paradoxe a u q u e l nous a b o u t i s s o n s à p a r t i r d e n o t r e modèle.
Sa r é s o l u t i o n e s t l i é e à l ' i n h a r m o n i c i t é d e l a c o r d e q u i e n g e n d r e une d é v i a t i o n e n t r e l a f r é q u e n c e d e l a c o r d e f r o t t é e ( a p p e l é e f r é q u e n c e d e Helmholtz, f H ) e t l e s f r é q u e n c e s " n a t u r e l l e s " , f i , d e l a c o r d e ; une f a i b l e d é v i a t i o n pouvant c o n d u i r e à une m o d i f i c a t i o n a p p r é c i a b l e de c e t t e r é p o n s e .
Q u e l e s t l e t a u x d ' i n h a r m o n i c i t é d e l a c o r d e , e n f i l d e l a i t o n , montée s u r n o t r e d i s p o s i t i f e x p é r i m e n t a l [l] [ 2 1 e t s u r q u e l l e f r é q u e n c e va s e s y n c h r o n i s e r l a c o r d e f r o t t é e e n f o n c t i o n de c e t t e i n h a r m o n i c i t é ?
P o u r l e v i s u a l i s e r a p r é s mesure, nous a v o n s r e p o r t é s u r l a f i g u r e s u i v a n t e l a p o s i t i o n r e p r é s e n t é e p a r u n e f l è c h e s u r l ' a x e d e s f r é q u e n c e s , d e s six p r e m i è r e s f r é q u e n c e s " n a t u r e l l e s " d i v i s é e s par l e u r numéro d ' o r d r e a i n s i que c e l l e d e l a f r é q u e n c e d ' H e l m h o l t z ; s i t o u t e s l e s f r é q u e n c e s s o n t en p a r f a i t e r e l a t i o n harmonique, e l l e s s e chevauchent s u r l a même p o s i t i o n .
f~
On remarque que l ' i n h a r m o n i c i t é e s t i c i t r é s f a i b l e ( l ' é c a r t r e l a t i f l e p l u s g r a n d e n t r e l e f o n d a m e n t a l e t l e s a u t r e s f r é q u e n c e s
" n a t u r e l l e s " , A f / f , e s t é g a l à 0 , 3 5 . 1 0 - ~ ) c e q u i n ' e s t p a s s u r p r e n a n t é t a n t d o n n é s l e t y p e d e c o r d e montée è t l e s t e r m i n a i s o n s d e n o t r e b a n c de mesure. B i e n q u e l a f r é q u e n c e d e l a c o r d e f r o t t é e s e s o i t s y n c h r o n i s é e s u r une f r é q u e n c e t r é s p r o c h e du f o n d a m e n t a l ( i n t e r v a l l e 1 = 0 , 0 9 c e n t s ) , l a r é p o n s e de l a c o r d e e s t c e p e n d a n t d é j a m o d i f i é e de m a n i è r e a p p r é c i a b l e e t l e paradoxe e s t r é s o l u .
Pour a l l e r p l u s l o i n dans l ' a n a l y s e de l ' i n f l u e n c e d e l ' i n h a r m o n i c i t é s u r l e comportement d e l a c o r d e f r o t t é e nous a v o n s a j o u t é s u r l a c o r d e , d e m a n i è r e p a r f a i t e m e n t c o n t r ô l é e , d e s p e t i t e s m a s s e s , l o c a l i s é e s e n d i f f é r e n t e s p o s i t i o n s . P u i s a p r é s a j u s t e m e n t d e s p a r a m è t r e s d e l ' a r c h e t numèrique ( " p r e s s i o n " e t v i t e s s e ) j u s q u ' à l ' o b t e n t i o n du mouvement d e H e l m h o l t z , n o u s a v o n s m e s u r é a v e c p r é c i s i o n l e s d é v i a t i o n s d e f r é q u e n c e e n t r e l a c o r d e l i b r e e t l a c o r d e f r o t t é e .
A i n s i p o u r t r o i s masses l o c a l i s é e s a u t i e r s , au q u a r t e t au h u i t i è m e d e l a c o r d e , nous o b t e n o n s une i n h a r m o n i c i t é a p p r o c h a n t c e l l e d ' u n e c o r d e , c e t t e f o i s u s u e l l e , montée s u r un i n s t r u m e n t r é e l [ 4 1 . La c o m p a r a i s o n e n t r e n o s mesures e t c e l l e s de l a r é f è r e n c e p r é c é d e n t e e s t r e p o r t é e d a n s l e t a b l e a u s u i v a n t :
S i l ' o n t r a c e , p o u r l a c o r d e a i n s i c h a r g é e , l e même t y p e d e r e p r é s e n t a t i o n g r a p h i q u e q u e p o u r l a c o r d e non c h a r g é e o n o b t i e n t c e t t e f o i s l a d i s t r i b u t i o n d e f r é q u e n c e s u i v a n t e :
f~
P a r r a p p o r t à l a c o r d e non c h a r g é e , f l e t f , s o n t b e a u c o u p p l u s é l o i g n é e s ( I n t e r v a l l e 1 = 3 , 7 c e n t s ) . C e t i n t e r v a l l e t r o p f a i b l e p a r r a p p o r t a u s e u i l d e d i s c r i m a t i o n d e l ' o r e i l l e , q u i p o u r l a f r é q u e n c e c o n s i d é r é e e s t d e l ' o r d r e d e 1 0 c e n t s , n ' e s t c e p e n d a n t p a s d i s c e r n é a u d i t i v e m e n t . P o u r d ' a u t r e s r é p a r t i t i o n s d e m a s s e s n o u s a v o n s m e s u r é d e s i n t e r v a l l e s s u p é r i e u r s à c e s e u i l . Dans c e s c a s , s i l a c o r d e e s t a c c o r d é e à p a r t i r d e l a f r é q u e n c e d u p r e m i e r mode p i n c é , l e s c o n s é q u e n c e s s u r l a j u s t e s s e s o n t i m p o r t a n t e s .
Q u e l l e r e l a t i o n e x i s t e - t - i l e n t r e f H e t t o u s l e s fi ? S i p o u r l a c o r d e c h a r g é e p r é c é d e n t e , l a v a l e u r d e f H n ' e s t p a s t r é s é l o i g n é e d e l a moyenne a r i t h m è t i q u e d e s s i x p r e m i è r e s f i ( I n t e r v a l l e 1 = 0,4 c e n t s ) . Que se p a s s e - t - i l l o r s q u e l ' o n f a i t i n t e r v e n i r l e s f r é q u e n c e s d e s modes " n a t u r e l s " s u i v a n t s : f 7 , fg,
. . . ,
f10 ? Comme l a d i f f i c u l t é d e l a m e s u r e e x p é r i m e n t a l e d e s f r é q u e n c e s " n a t u r e l l e s " c r o î t a v e c l ' o r d r e d u mode, n o u s a v o n s p r é f é r é r e p o r t e r s u r l e g r a p h i q u e l e u r v a l e u r t h é o r i q u e , e n u t i l i s a n t l a f o r m u l e s u i v a n t e :ou n e s t l e numéro du mode, m i e t x i r e p r è s e n t e n t l a m a s s e a j o u t é e e t s a p o s i t i o n , M l a m a s s e t o t a l e d e l a c o r d e e t L s a l o n g u e u r . Nous o b t e n o n s a i n s i l a d i s t r i b u t i o n s u i v a n t e :
COLLOQUE DE PHYSIQUE
Si la correspondance théorie-expérience n'est pas parfaite, en particulier pour f5, cela vient du fait que cette formule ne prend pas en compte les effets de la raideur et des terminaisons. Cependant cette correspondance est suffisante pour voir que cette fois fH ne correspond plus à la moyenne arithmètique (1 = 1,4 cents)
.
Tou jourspour la corde chargée nous avons observé que la "pression" d'archet minimale pour l'obtention du mouvement de Helmholtz était trois fois plus importante que pour la corde non chargée. De plus, avant d'atteindre le règime d'Helmholtz, nous avons remarqué que la corde
"sautait" vers d'autres règimes stables (mode 3 ou mode 5) lorsque la
"pression" d'archet augmentait progressivement.
4 - RESULTATS ET PLAN POUR LE FUTUR Nous présenterons des résultats sur:
-
le type de relation (moyenne) existant entre la fréquence d'Helmholtz fH et les fréquences "naturelles" fi de la corde impliquées dans la vibration.-
la pondération qu'il est nécessaire d'introduire sur cette moyenne lorsque la "pression" d'archet varie, pour une inharmonicité donnée.Pour cela nous serons amenés à améliorer la compensation de l'effet d'échauffement de la corde par le courant sur la fréquence de jeu [ 2 ] , afin d'atteindre des plages de "pression" assez grandes et explorer des phénomènes comme le "flattening effect" [ 5 ] .
- l'effet de l'inharmonicité sur la stabilité (temps d'établissement du règime stable).
- le parallèlisme existant entre le comportement de la corde frottée et celui des instruments à vent. Nous vérifierons si certains phénomènes, observés par A.H.Benade et ses étudiants [ 4 ] , comme par exemple l'élévation de hauteur sur un crescendo pour un tuyau dont les modes supérieurs sont trop hauts par rapport aux modes graves, peuvent s'appliquer également ici.
En complèment, nous espérons pouvoir présenter des résultats sur l'influence des conditions initiales sur les différents états stables obtenus, autres que le mouvement de Helmholtz.
REFERENCES
[l] Weinreich, G. and Caussé, R., 12th International Conyress on Acoustics, Toronto, vol. IlLT (1986), K3-7.
[ 2 ] Caussé, R. and Weinreich, G., 13th International Congress on
Acoustics, Belgrade, vol. 3 (1989), 83.
[3] Weinreich, G. and Caussé, R., Elementary stability consideration for bowed-string motion, à paraître dans J.Acous.Soc.Am.
[4] Benade, A.H., Fundamentals of Musical Acoustics, Oxford University Press (1976)
.
[5] McIntyre, M.E. and Woodhouse, J., Acustica 43 (1979), 93.
