Rôle de l'émission stimulée dans la fluorescence

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Submitted on 1 Jan 1968

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Rôle de l’émission stimulée dans la fluorescence

G. Monod-Herzen, L. Langouet, G. Thomin

To cite this version:

G. Monod-Herzen, L. Langouet, G. Thomin. Rôle de l’émission stimulée dans la fluorescence. Journal

de Physique, 1968, 29 (5-6), pp.471-476. �10.1051/jphys:01968002905-6047100�. �jpa-00206673�

ROLE DE

L’ÉMISSION STIMULÉE

DANS LA

FLUORESCENCE

Par G.

MONOD-HERZEN,

^{L. LANGOUET et G.}

THOMIN,

Laboratoire de Luminescence, Faculté des Sciences de Rennes.

(Reçu

^le 12 décembre

1967.)

Résumé. 2014 L’existence ^d’une émission stimulée modifie

profondément

^les

équations

différentielles de la luminescence, ^{non seulement dans le cas} des cavités résonnantes, ^mais

d’une

façon générale.

^{On cherche ici à établir les nouvelles}

équations

^{relatives aux} fluorescences

simples

^{et aux} résonances.

Abstract. ²⁰¹⁴ Stimulated

light

^can

play

^an

important part

ⁱⁿ luminescence, ^not

only

ⁱⁿ

the resonant cavities of masers and lasers, ^but

generally.

^We try ^{to establish here new diffe-}

rential

equations

^for

simple

fluorescence and for resonance.

Depuis

la d6couverte des masers et lasers

(1954

et

1960),

les emissions stimul6es

(ou induites)

^{ont 6t6}

6tudi6es surtout pour determiner le comportement ^de la matiere contenue dans leur cavite r6sonnante. On

a ainsi 6tabli les bilans de leurs

6changes d’énergie

et ceux de 1’evolution dans le

temps

^des

populations 6lectroniques

^des diff6rents niveaux des ions 6metteurs.

L’effet laser

dependant

de la difference de densite de

ces

populations plus

que de ces densites

elles-m6mes,

on a fait entrer directement cette

quantite

^{dans les}

bilans

num6riques

^{de ces}

reactions,

^ce

qui

^{a conduit}

aux

equations

de Statz-de Mars

[1]

pour les lasers ^a

quatre

niveaux. Elles ont

ete,

par la

suite, adaptees

par Birnbaum aux lasers a trois

niveaux,

^ce

qui

^a

permis, grace

^a

quelques simplifications,

^{de les rame-}

ner a une forme lin6aire. Leur

integration

^devenait

alors

possible

^sans

1’emploi d’ordinateurs,

^{et l’on a} pu ainsi

justifier th6oriquement

1’existence d’oscillations amorties du nombre des

photons presents [2].

Dans sa

these, Cohen-Tannoudji [3]

^{a 6tudi6 le}

cycle

^de pompage

optique

^{dans un}

champ

^{de radio-}

fr6quences

^{en vue} d’6tablir les lois du transfert de coherence et des effets de modulation et de les verifier

expérimentalement,

dans le cadre des travaux fonda-

mentaux de

J.

^Brossel

[4].

On peut s’int6resser aux emissions stimul6es d’un

autre

point

^{de vue.}

En

mentionnant _pour la

premiere

fois leur existence

[5]

^en

1916,

^{Einstein a} montre que

chaque

luminescence

comprend

n6cessairement une

certaine

proportion

de lumiere

stimul6e,

^{de sorte} que, meme

quand

^cette

proportion

^est

pratiquement n6gli- geable,

^{on ne} peut pas la consid6rer

th6oriquement

comme nulle. En

consequence,

^les

equations

^du

cycle

de luminescence le

plus general,

^{etablies sans en tenir}

compte, ^sont n6cessairement

incompletes,

^{meme si leur}

emploi pratique

^est

amplement justifi6

^par

l’expé-

rience. C’est ce

point

^{de vue, a la fois}

general

^et

élémentaire, qui

^{a ete}

adopte

^{dans cet article}

[6].

I. Doimdes du

probl6me.

^{- Soit un ensemble} de

syst6mes (atomes, molecules,

^centres

luminogenes...)

6clair6s uniformément par ^une lumiere monochro-

matique

d’intensit6 constante I et de

frequence

^conve-

nable _pour

pouvoir

^{les amener dans un 6tat excite}

unique. L’expérience

^montre que l’intensit6 de la luminescence survenant lors du retour de ces

syst6mes

a 1’etat fondamental est

proportionnelle

^a celle de la lumiere excitatrice

[7], [8], [9],

^tant que celle-ci n’est pas tres

intense,

^ce

qui

^{revient a} dire que le nombre des

photons atteignant

^les

systemes

est nettement

inferieur au nombre total des

syst6mes

accessibles.

Dans ce

qui suit,

^nous supposerons ^6tre

toujours

^dans

ce cas. Bien que les

syst6mes

effectivement irradi6s ne

soient _pas,

individuellement,

^{les memes} d’un instant a

1’autre,

si leur nombre ^est assez

grand,

^on

peut

consid6rer sa valeur moyenne ^{N comme} constante :

c’est ce que ^nous

appellerons

le nombre total des

systèmes

irradies.

A l’instant

initial,

^nous supposerons les ^N

syst6mes

dans leur 6tat fondamental. A l’instant t, ^une par- tie n* d’entre eux sera

pass6e

^a 1’etat excite alors _que les n autres

syst6mes

^{seront rest6s} ou revenus a leur 6tat

initial,

^et

l’on

aura :

La

variation,

par unite de temps, ^{du nombre} n* des

systemes

^a 1’etat excite ^est

due,

^d’une

part,

^a

1’aug-

mentation de ce

nombre,

^{a la suite de}

l’absorption

de

1’energie

^des

photons

^incidents par les

syst6mes

^a

1’etat

fondamental,

^d’autre

part,

^{a sa diminution}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01968002905-6047100

472

provenant ^des

désactivations, spontan6es

^{ou non, sous}

forme d’6mission de lumiere ou sous toute autre

forme,

^ce que ^nous 6crivons :

l’indice 1

correspondant

^a 1’excitation et l’indice 2 à la désactivation.

II. Mdthode de calcul. ^- Pour soumettre aux

calculs les reactions de

luminescence,

^on

_peut,

^{ou bien}

écrire les bilans

energetiques

^{de ces reactions - en}

appliquant

^le

principe

de conservation de

1’energie

^-

ou bien on

peut

6valuer 1’evolution du nombre des

particules

mat6rielles se trouvant dans tel ou tel 6tat

- en

appliquant

^le

principe

de l’invariance du nombre total des

particules.

^{Ce sont ces bilans}

numiriques

que

nous allons utiliser : leur

emploi permet

^{de ne} pas

pr6ciser

^dans

chaque

^{cas la}

frequence

^{ou la nature}

des

energies

^{mises en}

jeu.

^{Avec cette}

m6thode,

^les

intensités

lumineuses, qui

^sont par definition des

puis-

sances, c’est-a-dire des debits

d’6nergie :

s’6criront en fonction du nombre n’ de

photons

^de

frequence hv :

et comme le nombre n’

importera ^seul,

^on pourra

supprimer

le facteur

hv,

^a condition de tenir

compte s6par6ment

des transitions non rayonnantes ^{de cer-} tains

systemes,

^ce

qui

^a

1’avantage

^{de bien mettre en}

evidence la relation de ces transitions avec la

regle

de Stokes.

Nous consid6rerons dans ce

qui

^{suit deux intensites}

lumineuses reelles l’intensit6 I de la lumiere incidente

et l’intensit6

Iem

de la lumiere

emise;

^et deux intensités fictives : l’intensit6 I’ de la lumiere excitatrice et

l’intensit6 I" de la lumiere

stimulante,

^{dont la nature}

varie suivant que la fluorescence consid6r6e ^{est ou non}

une resonance.

III.

Excitation

par

absorption.

^{- Tous les}

systemes

a 1’etat fondamental

qui

^{absorbent un}

photon

passent a 1’etat

excit6,

^{mais ce n’est}

qu’une partie

^des

syst6mes

irradi6s

qui

^{absorbe : ce}

phénomène

^est

spontan6

^et,

dans ces

conditions,

^la

probabilite d’absorption

par unite de

temps,

pour 1’ensemble des n

syst6mes

^a

1’etat

fondamental,

^est

proportionnelle

^a l’intensit6 I’

de la lumiere

excitatrice,

^ce que ^nous 6crirons :

La lumiere excitatrice I’ ne doit _{pas 6tre} confondue dans tous les cas avec la luniière incidente

I,

^{car il}

est

possible

que ^la lumiere

6mise,

d’intensité

le,n, joue

un role dans 1’excitation. Nous traiterons ici les deux

cas extremes :

celui

d’une fluorescence pure, ^c’est-à-

dire telle _que le

spectre

d’emission et le spectre ^d’exci- tation ne se chevauchent _pas, et celui d’une resonance ou le chevauchement est total.

IV. Désactivation et dmission. ^- Le retour d’un

systeme

^{excite a} 1’etat fondamental

peut

^{se faire de} trois mani6res différentes :

1) Spontan6ment

^avec emission de

lumiere;

2) Spontan6ment

^sans emission de

lumi6re,

^la

d6sactivation se faisant soit _par transfert

d’6nergie

^a

des

systèmes ^voisins,

^{soit en raison de la nature meme}

du

cycle

de luminescence

qui exige

^une emission de chaleur conformément a la

regle

^de

Stokes;

3)

Sous 1’action stimulante de la lumiere

6mise,

avec emission de lumiere.

Les

probabilités,

par unite de

temps,

des transfor- mations

spontan6es,

^{sont des} constantes si le milieu ext6rieur et l’irradiation ne varient _pas. Nous

appel-

lerons

Bl

^la

premiere

^et

B2

^{la seconde.}

Quant

^{a la}

troisieme

probabilité,

^{elle est}

proportionnelle

^{a l’inten-}

site de la lumiere 6mise seule dans le cas d’une fluo-

rescence pure ^et a la somme de cette intensite et de celle de la lumiere

incidente,

^{dans le cas} d’une reso-

nance.

Appelons

^{I" une seconde intensite fictive} ayant, suivant le cas

6tudi6,

^{l’une ou} 1’autre des valeurs

qui

viennent d’ être

pr6cis6es,

^{nous 6crirons :}

et :

mais : donc :

Telle est la forme

g6n6rale symbolique

^de

1’6quation

de la loi d’évolution de la

population n*

^{du niveau}

excite. Cette

equation

^ne peut pas

s’int6grer

^sans que l’on

precise auparavant

^{la nature de la}

quantite I",

ce

qui

^{nous amene a traiter}

s6par6ment

^{les deux cas}

pr6vus.

V. Fluorescence pure. -1.

EQUATION

D’EVOLUTION.

- Le

spectre

d’émission ne chevauchant pas le spectre d’excitation et les

systemes

^6tant

supposes

^{ne recevoir}

aucune

energie

ext6rieure autre que la lumiere inci-

dente,

^la

regle

de Stokes

exige qu’ils perdent

^une

partie

^{de leur}

energie

d’excitation sous forme non

rayonnante :

^nous supposerons, ^ce

qui

^{est le cas le}

plus frequent, qu’il s’agit

d’une emission de chaleur.

Donc,

le coefficient

B2

^{de notre relation}

g6n6rale (1)

ne

peut

^{6tre ni nul ni}

n6gligeable.

La lumiere excitatrice I’ est ici la seule lumiere incidente d’intensit6

I; quant a

l’intensit6 fictive

I",

elle est l’intensit6

Iem

de la lumiere

6mise,

^{somme de}

1’emission

spontan6e

^et de 1’emission

stimul6e,

^ce que nous ecrirons :

d’oii :

En

portant

^ces valeurs de I’ ^et de I" dans la relation

g6n6rale,

^{on obtient} pour

1’6quation

d’evolution des

syst6mes

^{excites :}

2. DÉCLIN. ^- Si 1’on

interrompt

1’excitation

(I

⁼

0),

on a, pour définir le

d6clin, 1’6quation :

L’int6gration

^{de cette}

expression

^{donne :}

La duree de vie a 1’etat excite est

th6oriquement

d6finie comme :

et en introduisant cette

quantite

^dans

1’expression precedente :

on met en evidence l’influence du terme

B2 Cn.

^En

effet :

- Si ce terme est

petit

^devant

1/’T,

^{on retrouve la}

loi de variation de n* en fonction du

temps

pour ^une fluorescence sans

stimulation,

^ce

qui peut s’interpreter

par des faibles valeurs de

B2,

^{C ou}

n* ;

- Si ce terme est

grand

^devant

1/’T,

^{ou tout au}

moins

important

par

rapport

^a

1/r,

^{on a} la loi citee

plus

^haut.

En utilisant la relation :

on obtient une

expression

^de

Iem

^en fonction du temps :

cette

expression

^se reduisant a :

si on n’a pas de stimulation

(C

⁼

0).

On voit ainsi que ^{les mesures} conduisent a la determination d’une

pseudo-p6riode

de vier’ telle que l’intensit6

Iem

^dimi-

nue dans le

rapport 1/e

^{dans un}

laps

^de

temps ’T’,

^{soit :}

si

I0 em

^est l’intensit6 6mise a l’instant t ⁼ 0. - On

peut

^{obtenir un ordre de}

grandeur

^de

r’/T

^en

supposant

qu’a

^l’instant

T’, Iem

^{est assez}

petit

pour que L’on

puisse

faire des

développements

^{limites et ne}

consid6rer _que les termes du

premier degr6.

^On

obtient :

3.

RTAT

DE REGIME. ^- L’emission a 1’etat de

regime,

pour

lequel

^on a, par

definition, dn*/dt

^{= 0 est}

donn6e _par une des solutions de

1’6quation

^{du second}

degr6 :

qui

^{se r6duit au}

premier degr6

si 1’emission stimul6e

est

negligeable.

^Les solutions de cette

equation

^{sont :}

avec :

Mais

lorsque

l’intensit6 I de la lumiere incidente est

nulle,

le nombre n* de

systemes

^a l’état excite doit être

nul,

^{d’où :}

Cette

expression

^ne

peut

s’annuler que si l’on choisit le

signe

moins devant le radical. La seule racine de

1’6quation

du deuxieme

degr6 qui

^{convienne est donc :}

Cette

expression g6n6rale

^{de n* en} fonction de I

peut

6tre

simplifi6e :

1)

Si l’intensiti I est

faible,

^on peut

négliger

^les

termes en 12 dans

1’expression

^{de A.}

L’expression

^{de n* * se}

simplifie

^{alors et devient :}

En introduisant cette

expression

^{de n*} dans celle de

Iem,

^{on obtient :}

2)

Si l’intensité I est très

forte, A

^se

simplifie :

474

L’expression

^{de n* devient :}

et on obtient :

On peut

representer

^1’allure

sch6matique

^des

courbes

I,,. =f(I) ( fig. 1).

FIG. 1. ^- Variation de

Iem

^en fonction de I dans le cas d’une fluorescence.

VI. Resonance. ^- 1.

EQ,UATION

D’EVOLUTION, ^- En ce cas, la lumiere 6mise ayant ^{la meme}

frequence

que la lumiere excitatrice peut, ^comme

celle-ci,

^6tre

absorb6e _par les

syst6mes

^{a 1’6tat} fondamental et

contribuer a les 6lever a l’état

excite,

^ce

qui

^nous

conduit _{a poser :}

On a donc _pour

l’absorption :

avec :

d’ou :

et :

donc :

A

1’emission,

les facteurs

spontan6s

^{ne seront} pas

modifies,

^{mais le terme}

repr6sentant

1’emission induite

sera, lui

aussi, proportionnel

^{a la somme de}

^{I +} Iem;

on aura donc :

ou :

Ces valeurs de

L’absorption

^et de 1’emission

port6es

dans la relation

g6n6rale

lui donnent la forme :

D’ou l’on

tirera,

^{comme dans le cas}

precedent,

^pour

la loi de d6clin :

2. DÉCLIN. ^- Des l’arr6t de 1’excitation

(1= 0), 1’6quation

d’evolution se modifie :

On

peut

y

s6parer

les variables et obtenir :

qui, apres integration,

^{donne une relation}

^{entre n*}

^et

Ie

temps t

^{du déclin :}

si

n*o

^est le nombre de

syst6mes

^{excites au moment de}

l’arrêt de 1’excitation

(t

⁼

0).

^D’autre

part,

^l’intro- duction de

1’expression :

permet

de calculer

Iem

^en fonction du temps de d6clin :

Cette formule est

trop complexe

pour

pouvoir

^6tre

utilis6e telle

quelle

^{et il est} difficile de la

simplifier.

Si C ⁼

0,

^{on retrouve une} loi de d6clin

exponentielle :

mais des que C diffère de

zero,

^{cette loi est d6form6e}

et seule une

etude graphique

peut

permettre

^d’en

constater les deformations.

3.

RTAT

DE REGIME. ^- Cet 6tat est caractérisé _par la constance de l’intensit6

6mise,

^donc par celle de la

population

du niveau excite :

La valeur

correspondante

^{de n* s’obtient en}

6galant

a zero le second membre de

1’6quation

differentielle de

1’6volution,

^ce

qui

^{s’6crit :}

les deux racines de cette

equation

^{sont :}

avec :

Le fait que n* doit 6tre

nul lorsque

^{I est nulle}

permet

d’éliminer une des deux racines :

cette

égalité

^est satisfaite _pour le seul

signe positif

devant le radical. Donc la seule racine

qui

^convienne

est :

mais

1’expression

^{de n* en} fonction de I peut ^6tre

simplifi6e :

1)

^{Si I est}

petite,

^on peut

6crire,

^en

n6gligeant

^le

terme en J2 devant les trois autres :

L’expression

^{de n*} devient alors :

et :

qui

^{se resume a :}

si I est très faible.

2)

^Si I est très

grand,

^on peut

simplifier A qui

^devient

alors :

d’oii :

L’expression

^{de n* se} transforme en se

simplifiant :

d’oii :

On peut ^{tracer la courbe}

repr6sentant

les variations de

Iem

^en fonction de l’intensit6 incidente I

( fig. 2).

FIG. 2. ^- Variation de

jem

^{en fonction de I}

dans le cas d’une resonance.

4.

REMARQUE. CAS B2

^{= 0. - Dans le cas de la}

résonance, l’ énergie perdue

^sous forme de chaleur ^est faible ^et

peut

^{souvent 6tre}

negligee.

Les calculs

g6n6-

raux que ^{nous venons} de faire se

simplifient

^si

B2

^{= 0.}

-

Equation

d’evolution :

-

Population

^de 1’6tat excit6 :

a)

^{Si I}

est faible :

476

b)

^{Si I est}

grand :

comme

pr6c6demment.

- Loi de d6clin de la

population

^de 1’etat excité :

VII. Conclusion. ^- Les

equations

de la lumines-

cence ne sont

plus

^lin6aires

quand

^{on tient} compte de 1’emission

stimul6e, qui

^ne peut ^6tre

negligee quand

les

frequences

^{6mises sont assez} faibles. L’allure des fonctions ainsi d6termin6es

peut jouer

^{un role}

impor-

tant

quand

^la lumiere excitatrice est modul6e _pour la transmission de

signaux

de faible duree et de

frequence

moyenne ^assez 6lev6e.

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[6] Qui généralise

^{les résultats}

déjà exposés

pour ^{le cas}

particulier

d’un rendement constant dans les C. R., 1965, 261, ^1661.

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[9] ^{LEWIS et} KASHA,

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