Approche incrémentale des preuves automatiques de terminaison

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terminaison

Xavier Urbain

To cite this version:

Xavier Urbain. Approche incrémentale des preuves automatiques de terminaison. Logique en

infor-matique [cs.LO]. Université Paris 11, 2001. Français. �NNT : 2001PA112227�. �tel-02061902�

N d'ordre:6610

UNIVERSITÉPARIS-SUD UFRSCIENTIFIQUED'ORSAY

THÈSE

Présentéepar

XAVIERURBAIN

Pourobtenirlegradede

DOCTEUR ENSCIENCESDEL'UNIVERSITÉPARISXI

Spé ialité:INFORMATIQUE

Sujet:

APPROCHEINCRÉMENTALEDESPREUVESAUTOMATIQUESDETERMINAISON

Soutenuele1ero tobre2001devantla ommissiond'examen omposéede

M.THOMASARTS

M.BERNHARDGRAMLICH rapporteur M.JEAN-PIERREJOUANNAUD

M.CLAUDEMARCHÉ

Jevoudraisenpremierlieuremer iermondire teurdethèse,ClaudeMar hé.Enplusdesesqualités s ientiquesin ontestées,j'aimeraisexprimeri i ombienj'aiappré iésadisponibilité,sagénérositéet un ertainétatd'espritrare etpré ieux

1 .

Mon dire teur de thèse of iel, Jean-Pierre Jouannaud, m'a laissé une grande liberté dans mes travaux. J'aimerais le remer ier de la onan e qu'il m'a ainsi a ordée; j'espère m'en être montré digne.

BernhardGramli h&Mi haëlRusinowit honta e ptéd'êtrerapporteursdemathèse.Qu'ilsse soientintéressésàmontravailestparti ulièrementimportantpourmoi.Mer iàeux.

Je suis très heureux d'avoir pu ompter T homas Arts parmi les membres du jury. J'aimerais le remer ier des é hang es intéressants que nous avons eus et pour les importants exemples qu'il m'a fournis.

Mer iennàMarie-ChristineRoussetdem'avoirfaitl'honneurdeprésiderlejury.

Jefus,pendant estrois années,entourépar l'équipeDÉMONS duL.R.I.Étudier auseinde ette équipeestunevéritable han e.Je n'oublieraipasl'ambian equiyrègne,lesgâteaux etses membres quej'appré ie.Mer i.

Mer iàmesformidablesamis,jeleurdoisplusquedusoutien.LesinestimablesmembresduCORN dansledésordre:LaurentBlo B Vau her( houetteslettrines!),PhilippePa hyRenault,Frédéri Hantrais,GuillaumeHanrot( houettefonte!),DavidGross-AmblardetGégéAmblard-Gross,Sylvain  S. Pogodalla.Mer ià Maman,en ore àDavid,àGuillaumeetàJean-ChristopheFilliâtre de(mais pas quede)leur parti ipationà la rele ture dudo ument.Mer i à Pierre, Julien,Evelyne, Benjamin, Ste phan,Philippe,et .Jenepeuxpastousvous iteri i.

Jetiensàremer ier toutparti ulièrementmamèrequiatoutfaitpourquej'ensoisi iunjour. Mer iennàHélène,de equin'estpasé ritaussi.

I Intr odu tion 9

II Relations,ré ritur e 15

II.1 Ordres . . . 15

II.2 Relationssurlestermes . . . 16

II.2.1 Signaturesettermes . . . 16

II.2.2 Ordressurlestermes . . . 18

II.2.3 Ré riture determes . . . 21

II.2.4 Cara téristiques dessystèmesderé riture . . . 22

II.2.5 Stratégiesderédu tion. . . 24

III Terminaison 27 III.1 Problèmedel'arrêtetindé idabilité . . . 27

III.1.1 Ré riture etma hinesdeTuring. . . 27

III.2 Preuvedeterminaison . . . 28

III.3 Méthodes lassiques . . . 29

III.3.1 Terminaisonàl'aided'ordresdesimpli ation . . . 29

III.4 Critèresdespairesdedépendan e . . . 30

III.4.1 Pairesdedépendan e . . . 30

III.4.2 Critèresdeterminaison . . . 32

III.4.3 Graphesdedépendan e . . . 34

III.5 Desordrespourlaterminaison . . . 37

III.5.1 Méthodessyntaxiques . . . 37

III.5.2 Méthodessémantiques . . . 38

III.6 Méthodestransformationnelles . . . 42

III.7 Transformationdes ontraintesd'ordre . . . 42

STRUCTUREHIÉRARCHIQUEDESSYSTÈMESDERÉCRITURE I Unionsdesystèmes 49 I.1 Unionsetmodularité . . . 49

I.2 Unionsetterminaison . . . 50

I.2.3 Constru teurspartagésetunionsdesystèmes omposables . . . 53

I.2.4 Unionshiérar hiques . . . 54

I.2.5 Appro hemodulaireparpairesdedépendan e . . . 55

I.2.6 PropriétésdelaterminaisonC E . . . 59

II Modulesderé ritur e 63 II.1 Modulesetextensions . . . 63

II.2 Dé ompositionenmodules . . . 64

III Terminaisonetmodules 67 III.1 Ordres-extensibles . . . 67

III.1.1 DesordrespourC E . . . 67

III.1.2 Constru tiondesordres-extensibles . . . 67

III.2 Pairesdedépendan edemodules . . . 69

IV Pr euvesin rémentales 71 IV.1 Unmodulepourunsystème . . . 71

IV.2 Deuxmodulesindépendantspourunsystème . . . 77

IV.3 Exemple omplet . . . 79

IV.4 Modulesetgraphes . . . 83

TERMINAISONDESSYSTÈMESASSOCIATIFSET COMMUTATIFS I Intr odu tion 89 II Ré ritur eave symbolesasso iatifset ommutatifs 91 II.1 Ré ritureAC . . . 92

II.2 Terminaisondelaré ritureAC . . . 95

II.2.1 Compatibilitéetinter prétationspolynomiales . . . 96

II.2.2 Compatibilitéetordressurles hemins . . . 97

II.2.3 UnRPO ompatibleACsanssystèmedenormalisation . . . 101

III Critèr esdeterminaisonetpair esdedépendan e 103 III.1 Unpremier ritèreàl'aidedepairesdedépendan e . . . 103

III.2 Critèresave symbolesmarqués . . . 109

III.2.1 Symbolesmarquésettermesmarqués. . . 109

III.2.2 Conditionsdedépendan e . . . 111

III.2.3 Critèresdeterminaisonsave marques . . . 113

III.2.4 Cal uldespairesmarquées . . . 114

IV Appr o hemodulair edelaterminaisonAC 121 IV.1 ModulesAC . . . 121

IMPLANTATION

I Intr odu tion 129

II Unoutildepr euves:CiME2 131

II.1 Présentationgénérale . . . 131

II.2 LaterminaisondansCiME2 . . . 132

II.2.1 Prin ipesgénéraux . . . 132

II.2.2 Comparaisonsdepolynmes . . . 133

II.2.3 Re her hedepreuve . . . 134

III Modules 137 III.1 Problématique . . . 137

III.2 Extensiondulangag eetimplantation . . . 138

III.2.1 Stru turesdedonnéesdulangag e . . . 138

III.2.2 Choixd'implantation . . . 139

III.3 Exempled'exé ution . . . 140

IV Critèr esAC 151 IV.1 Problématique . . . 151

IV.2 Implantation . . . 151

Introdu tion

L

a pla e extraordinairement importante qu'a prise l'informatique aujourd'hui a entraîné une produ tionintensivedeprogrammes.Onlestrouveprésentsdansnotrevieàtouslesniveaux, dans les ordinateurs personnels bien sûr mais aussi des as enseurs aux artes de rédit en passantparlesavionsetles entralesnu léaires.Orparmi esprogrammesquinousentourent, beau oupsonterronés etlesplusrépandusnesontpasépargnés.Unetellesituationestdéjà inquiétante,ilvaudraitmieuxéviterqu'ellenedevienne atastrophique.

L'idéalseraitd'avoirlesmoyensdegarantir,pour haqueprogramme,qu'ileststable,qu'ilrespe te bienlesspé i ationsdontilestissu,que elles- isont ohérenteset orre tes,et .

Une ertaine dis ipline de programmation donne déjà quelques résultats. Une en apsulation ri-goureuseetunsou idedé oupag ed'un odeimportantendifférentsmodulespermettentparexemple de séparer les problèmes d'implantation et de larier les relations entre les différentes stru tures opérationnelles.Cen'est e pendantpassufsant.

Sionremarquequelesprogrammes(etlesordinateurs)a omplissentdesopérationssymboliques, lespropriétésdésiréesdeviennentenfaitdes ara téristiquesmathématiquesde es al uls.Onaimerait don entoute rigueur pouvoir se er à leur omportement et leursrésultats omme à des preuves. L'appli ationdeméthodesformellesà lapreuve depropriétésdeprogrammeest onséquemmenten pleinessor.

Parmitoutes espropriétés, 'estlaterminaisonquivanousintéresser.

Unepr opriété:laterminaison

La terminaison, 'est-à-dire la propriété ara téristique d'un programme dont toute exé ution s'arrête aubout d'untemps ni,mérite sonstatut de propriétéfondamentaledansla mesure oùelle onditionnel'existen e même du al ul déni parunprogramme :sans terminaison, pasderésultat, entout aspasdansuntempsni.

Elle intervient dans de nombreux domaines, on la trouve indispensable dans la dénition de ertains modèles de al uls, elle règle les os illations de stabilisation des pro essus de ontrles, sa preuvedonneaussiquelquesindi ationssurla omplexitéd'algorithmes.Elleresteennunpréliminaire in ontournableàlapreuved'autrespropriétés.

Sa élébritéeninformatiquevientausside equ'elleest,souslenomdeproblèmedel'arrêt,l'exemple paradigmatiqueduproblèmeindé idable.Iln'existeeneffetau unalgorithme apablededirelorsqu'on l'applique sur un ode de programme si toutes ses exé utions sont nies ou pas. Pour l'idée de la preuve enquelqueslignes : siun telalgorithme existait, il est fa ile de voir qu'onpourraité rire un programmeprenantun odeenargument,déterminantsi e oden'aquedesexé utionsnieset,dans

e as,entrantdansunebou leinnie,oualors,dansle as ontraire,stoppantsonexé ution.Orsion luipassaitsonpropre ode, eprogrammes'arrêterait sietseulements'ilnes'arrêtaitpas, equipour lemoinsestabsurde.

L'appli ationdeméthodesformellesné essiteensuitequ'ons'intéresseàunformalisme parti ulier.

Unf ormalisme:laré ritur e

Unprogrammemanipulantdesexpressionssymboliques,onpourraitpenserdé rire esopérations à l'aide du raisonnement équationnel lassique dont le prin ipe est le rempla ement au sein des expressions de termes par des termes égaux. Si sa puissan e et sa lisibilité en font le mode de raisonnement le plus répandu, le raisonnement équationnel fait en revan he énormément appel à l'intuition:oùrempla er?etparquoirempla er?sontdeuxquestionsdif ilesàrésoudre.Ilest don peuadaptéàlamodélisationdeprogrammes.

Permettreunedé isionautomatiquedu heminàsuivreestl'undesbutsdelaré riture.Leprin ipe estsimple:orienterleséquationsenne onsidérantleségalitésvalablesque dansunseulsens .Le résultat, lui,est redoutablement puissant.On disposeà présent d'unmodèlede al ul lisible(en fait aussilisiblequele aséquationnel)etàlasémantique laire(à omparerave le- al ul),programmable etsimpleàprogrammer.Ilenexistedesimplantationstrèsef a es ommelesystèmeCiMEauL.R.I., ÉLANdéveloppéauL.O.R.I.A.ouen orelelangag eMAUDEduS.R.I.

Àtitred'exemple omparonsl'additiond'entiersdeChur hen- al ul:

x:y:p:q:((xp)((yp)q))

Àl'additiond'entiersdePeànodénieparunsystèmederé riture: 

x+0 ! x

x+s(y) ! s(x+y)

Où0estune onstanteetsl'opération su esseur.

Parailleurs,laré ritureétantenrelationétroiteave lalogiqueéquationnelle,elleestnonseulement unoutilde al ulmaisaussi unoutilde preuve dans ettelogique.Àtitred'exemple,sur lastru ture degroupedéniepar:

x:e = x; x:x

1

= e; (x:y):z = x:(y:z);

Laré riturepermetdeprouverautomatiquementdespropriétés ommee:x=x,e 1 =e,(x 1 ) 1 = x,et .

Lessystèmesderé riturejouantainsiunrleimportantdansl'implantationetl'analysedes spé i- ationsdetypesabstraits algébriques( onsistan e,preuvedepropriétés,exé utabilité), 'estdans e adrequenousétudieronslaterminaisondesprogrammes.

Nous onsa rerons le pro hain hapitre à la dénition formelle des objets lefs, fondamentaux pourlasuitedenotreétude:lesrelations,lesalgèbresdetermeset,enparti ulier,lesrelationsd'ordre etde ré rituresur lestermes. Nouspasseronsalorsenrevue ertaines deleurs ara téristiques avant

Cette propriété est indé idable (se tion III.1) : les méthodes de preuves existantes sont don in omplètes.Laplupartdesméthodesutilisées ourammentonttoutefoisen ommununl ondu teur etnousverronsalorsqu'ordresetré rituresontintimementliésdanslapreuvedeterminaison.

Cetteliaison estexploitéede différentesfaçons.Aprèsune présentationdesappro hes lassiques destinées à montrer la terminaison, nous détaillerons la méthode dite des paires de dépendan e [3,4℄. Elle autorisela dénitiondansla se tionIII.4 de ritèrespuissants,affaiblissantenla rendantmoins ex lusivelarelationentreordresetré riture.

Prouverlaterminaisond'unsystèmerevientpourtoutes esappro hesàsavoirluiasso ierunordre onvenable.Nousexposeronsen on lusionde es prolégomèneslesprin ipales te hniquesdonton disposepourtenterd'exhiber etordreadéquat.

Nous aborderons alors la première partie de e mémoire, onsa rée à l'étude de la stru ture hiérar hiquedessystèmesderé riture.

Modularité

Silamodularitéestdevenuein ontournableenprogrammation, 'estque haqueprogrammedevrait enfaitêtredéveloppédefaçonmodulaireetin rémentale.Leseffortsen esenssontper e ptiblesdans denombreusesformesdelangag es,destemplates deC++ausystèmedemodulesd'O amlenpassantpar l'en apsulationdeslangag esàobjets.Ilssontaussisensiblesau ÷urdeslangag esdeplushautniveau omme euxdesassistantsdepreuves[14℄.

Unetelledis iplineportesesfruitstantauniveaudelapropretédu odequedela lartédes spé i- ationsetpermetd'adjoindreàlasémantiqued'unalgorithmeuneméthodologiededéveloppement. Lesentiers,parexemple,sontenpratiquedénisunefoispourtoute,ilsuftalorsdepré iserpour haque nouvelle fon tion (sur les entiers) qu'elle travaille sur eux. Prenons l'addition sur les entiers enbinaire:lastru turedesentiersest pré isée(disonsdansunmoduleMes_entiers), onintroduit ensuitele al uld'additionproprementdit.Sionveutintroduireunefon tionfplus omplexeutilisant lesentiersetl'addition,ilsuftderendreévidenteladépendan edef vis-à-visdel'ensembleentiers+ addition.EnC++onutilisealorsunedire tivedepré ompilation#in lude,danslelangag eO aml,on peutpré iseropen Mes_entiers

1 .

L'avantag ed'undé oupag ehiérar hiqueesten oreplussensibledèsqu'ons'intéresseauxpreuves depropriétés.Unepreuvedeterminaison,enparti ulier,esttoujoursdif ileàfaire.Elleestd'autant plusdéli ate à effe tuer (et à automatiser) que leprogramme est gros.A umuler des informations surdes briques debase etlesassemblerpour obtenirdel'informationsur unsous-ensembleplus importantpermetalorsd'adopterpourlapreuveunestratégieDi videandConquer.

On imagine mal aujourd'hui avoir à redénir et re oder une stru ture d'entiers, par exemple, à haquefoisqu'onintroduitunenouvelleopérationlesmanipulant.Quivoudraitprouverànouveaules propriétésd'unestru tureà haqueajoutd'unepartiede odedontonsait qu'ellen'yinterviendrapas? Lavaguedelarévolutionmodulaireadéferlésurtoutel'informatique.Toute?Non[35℄.Sionpeut afrmerquelaprogrammationmonolithiqueavé u,l'appro hein rémentalen'apasbouleverséle regardportésurlessystèmesderé ritureeten oremoins,malgrédenombreuxtravaux,lapratiquedes preuvesdeterminaison.

Nous tenterons pour ommen er( hapitreI) d'analyserl'é he relatif desméthodesexistantes à manipulerdefaçonsatisfaisantedesunionsdesystèmes.

1

L'extrême dif ulté qu'il y a à garantir qu'une union possède le même omportement que ses onstituantsvis-à-visdelaterminaisonaeneffettropsouventété ontournéeenposantdesrestri tions fortessurlesrelationsentreles omposants,ennetraitantpas equidanslaterminaisonmême pose problème.

Cette propriété n'est en effet même pas modulaire pour les systèmes qui ne partag ent pas de symboles.

Exemple1.

Considérons etensembledesystèmesdûàToyama[83℄.

R :  f(0;1;x) ! f(x;x;x) :  G(x;y) ! x G(x;y) ! y

LesdeuxsystèmesRetterminent.Sionétudiemaintenantleurunion 8 < : G(x;y) ! x G(x;y) ! y f(0;1;x) ! f(x;x;x);

Ilexisteunerédu tioninniedutermef(G(0;1);G(0;1);G(0;1)):

f(G(0;1);G(0;1);G(0;1)) ! f(0;G(0;1);G(0;1)) ! f(0;1;G(0;1))

! f(G(0;1);G(0;1);G(0;1))!:::

Nous verrons dans la suite que l'existen e d'une telle rédu tion dans et exemple est due à la proje tioneffe tuée parlesystème.

Laplupartdesappro hesonttentédeluttermalgrétout ontrelanon-modularitédelaterminaison etlesrésultatssurlesunionsplus omplexesdesystèmesontétéobtenusen ontraignantlourdement lesrelationsentre onstituants,é artantde efaitlaplupartdesextensionsnaturelleset ommunesen programmation.

Nousadopteronsladémar heinverseetpréféreronspermettredesunionspeu ontraintes(qu'on appellera hiérar hiques), maispar ontre limiter la terminaison à une notion plus ontrlable dans les ompositionsde systèmes sans être trop restri tive, la terminaison C

E

. Cette notion de terminaison a en parti ulier la propriété de supporter l'ajout de règles de proje tion; l'exemple 1 ne pose alors pasde problème: lesystème R neterminepasC

E

,on ne her herapasà prouverautomatiquement sa terminaison. Un tel système possède une forme qu'on peut qualier de  pathologique , nous estimonseneffetqu'enpratique,selimiteràlaterminaison C

E

n'estpasunerestri tion.Certainesdes ara téristiquesfondamentalesdelaterminaisonC

E

serontexposéesauparagrapheI.2.6.

Stru tur ehiérar hique

Danstoutelalittérature 'est l'unionensemblistedesrèglesquidénitunsystèmeet elle- in'est pasadaptéeàl'expressiondelahiérar hieintrinsèquedessystèmes:

 Ellene onservepasd'informationdeséquentialitéde onstru tionetseprêtedon malàune démar hein rémentale.

Elle ontribueainsiàéloignerlaré rituredesréalitésdelaprogrammation.

Andefournirun adredestinéàl'étudedelastru turedessystèmesderé riturenousintroduirons au hapitre IIla notionde modulesderé riture.Nousverronsque,grâ eà es modules,lastru turedes systèmes de ré riture prend une forme hiérar hique naturelle. Les unions lassiques sont aisément re présentées par des extensions de modules, eux- i dénissent ainsi un adre général sus e ptible d'êtreutilisédanslapreuvedeterminaison.

Nous onstruirons alors au hapitre III des paires de dépendan e relati ves, 'est-à-dire des paires de dépendan e de modules qui permettront de dénir dans le hapitre IV des ritères de terminaison puissants etautomatisables, enparti ulier les théorèmes 18et19.Ces dernierspourrontêtremis en ÷uvreàl'aided'ordres-extensibles,desordresquipermettentuneexpressionde laterminaisonC

E . La se tion IV.3 détaillera ensuite un exemple omplet de preuve de terminaison faisant appel à es nouvelleste hniques.Lesoptimisationspargraphesdedépendan esonttoutàfaitadaptablesau adre del'analyseparmodules,nous on lurons ettepartiesur etteaméliorationdes ritères.

Fortsde esrésultatsgénéraux,nouspasseronsàl'étudedelaré rituremodulolathéorie équation-nelledé rivantl'asso iativitéetla ommutativité.

Asso iativitéet ommutativité

Il est très ourant d'avoirà manipuler desopérationnaturellement asso iatives et ommutatives. Imaginonsuninstantqu'on hoisisse ommerèglesd'additiondesentiersdePeàno:



0+x ! x

x+s(y) ! s(x+y):

Letermes(0)+0n'estpasrédu tiblepar esrègles!Ilest lairquesuruntelexempleondésireavoir uneaddition ommutativeetl'équationx+y = y+xdevraitêtreajoutée.Remarquons qu'elledoit effe tivementêtreajoutée arellen'estpasune onsé quen elogiquede0+x =xets(x)+y =s(x+y) (ilexistedesmodèlesde eséquationsoù+n'estpas ommutatif).

Il est malheureusement impossible d'exprimer dire tement la ommutativité omme règle de ré rituresansperdred'importantespropriétés:x+y !y+xneterminepas.L'appro he lassique onsisteà onsidérer ommeéquivalentsdestermesobtenusl'unàpartirdel'autrepar ommutativité etàappliquerlaré rituresurles lassesd'équivalen e.Onparlederé rituremodulo ommutativité.

Qu'en est-il de l'asso iativité? Uneopération asso iative, ommeleproduit dansles groupes vu pré édemment, setraite par une règle(x:y):z ! x:(y:z)quitermine,maispour une opérationà la foisasso iativeet ommutative etterègleneterminepasmodulo ommutativité:

(a+b)+ !a+(b+ ) ( +b)+a ! +(b+a)(a+b)+ ; et .

Onpeutappliquerlesrègles de ettefaçonindéniment,lesystèmenetermineplus.

Les opérationsasso iatives- ommutativessont don usuellementtraitées par laré riture modulo asso iativitéet ommutativité(AC).

l'additiondesentiersdePeàno,ilsuftd'uneétapederé riture 2

pourobtenirlerésultatdu al ulde

0+ 1000 z }| { sss:::s(0)

Alorsqu'ilenfaut1001ave lesystèmedonnépag e10etlaré riturenonAC.

Nousdénironsdon enpremierlieulesrelationsderé rituremoduloAC;notreattentionseratout parti ulièrementportéesurlaré ritureétendueACsurtermesaplatis. Nousverronsensuiteàquelpoint lapreuvedeterminaisonest ompliquéeparl'introdu tiondeséquationsAC.Ellesrequièrenteneffet delapartdel'ordreimpliquédanslapreuveune ompatibilitévis-à-visdes lassesd'équivalen e.Nous présenterons ertainesdessolutionstrouvéespoursatisfaire esnouvelles ontraintes:lespolynmes AC, pour l'appro hesémantique, et, pour les ordres syntaxiques, des systèmes de normalisation ou en orel'ordreAC-RPO.

Deuxnouvellesappro hesave pairesdedépendan eserontalorsproposées.Silaméthodeoriginale de Arts & Giesl peut être afnée par l'introdu tion de nouveauxsymboles (enfait des opies ave marques)pourdistinguerlesinstan esdepaires,lespairesétenduesAC déniesdansunpremiertemps (se tionIII.1)ne omporterontpasdesymbolesmarqués.Uneintrodu tiondire tedesmarquesaboutit enfaitàuné he sion her heàafnerainsiles ritèresdeterminaison.

Nousprendronsalorslere ulné essaireparrapportàlarelation(forte)liantpairesdedépendan e et stru ture des termes an de dénir des onditions plus générales et abstraites qui feront d'un ensembledepairesmarquéeslesvériantunvéritableensembledepaires dedépendan emarquées,utilisable pourlapreuvedeterminaison.Cesontles onditionsdedépendan e(dénition85)delase tionIII.2.

Ladénitiondesensemblesdepairesdevenueintentionnelle,ilnousfaudradévelopperdesmoyens d'exhiberdesensemblesidoines.NousdonneronsenfaitdansleparagrapheIII.2.4deuxméthodesde al uldetelsensembles.NousauronsalorstotalementétenduàlaterminaisonmoduloAClapuissan e despairesdedépendan e,leursouplessed'utilisationmaisaussileuradéquationàl'automatisation.

La généralitédu adred'étudedéni parlesmodulesesttelle qu'elleautorisesonappli ationà la ré ritureAC.Le hapitreIV on lura ettedeuxièmepartie, onsa réeàlaré ritureAC,enl'unissant àlapremièrepouraboutirauxpairesdedépendan erelati ves AC.

Unoutildepr euve

Tous es résultats, toutes es méthodes ontété développés ave le sou i onstant d'obtenir des ritèresautomatisables.Ilétaitdon normald'enfaireproterunoutildepreuvedeterminaison.C'est àlaprésentationdel'implantationréaliséequeseradédiéelatroisièmepartie.

Nousnouslivreronsau oursdu hapitreIIàunedes riptiondusystèmeCiME2ave uneattention parti ulièreauxtraitementdesproblèmesdeterminaison.Lestroisièmeetquatrième hapitresseront alors onsa résàl'extensiondusystèmepar,respe tivement,l'appro hemodulaireetlaré ritureAC. Pour esdeux as nousexposeronslaproblématique d'une telleextension puisjustieronsles hoix faits,tantdu tédesspé i ationsquedel'implantation.Nousterminerons ettedernièrepartiepar quelquesexemplesd'exé ution.

2

Lorsd'unerédu tionautomatique,àl'aided'unoutilderé riture ommeCiME2ouÉLAN,uneétapederé ritureAC estplus oûteuseentempsqu'uneétapederé riture lassique, e pendant eprixpeutêtrelarg ement ompenséparun

Relations, ré riture

Nous allons dénir les notionsfondamentales quinous serviront dans toutela suite. Nous pré- iserons dans un premier temps des onsidérations sur les relations binaires générales avant de nous on entrersurlesrelationsd'ordre,puis,aprèsavoirdénilestermessurunesignature(se tionII.2),sur larelationderé riture.Nousdé rironsalorsau oursduparagrapheII.2.4 ertainesdes ara téristiques re her hées surdetellesrelationsave unintérêttoutparti ulierpourlaterminaison.

Une relation binairesur unensemble E est unensemblede ouplesd'élémentsde E.On dit de deuxélémentsformantun ouplequ'ilssontenrelation.

Dénition1.UnerelationbinaireRsurunensembleEestunepartiedeEE.Leséléments(s;t) de etterelationsontengénéralnotéssRt.

On utilise la notationÆ pour la omposition des relations : pour deux relations R et S sur un ensembleE,RÆS désignelarelationf(s;t)j ilexistes

0 2EtelquesRs 0 ets 0 Stg.

Enn,pourdeux relationsR etS surunensemble E,onnoteR S ladifféren e ensembliste Rn(R\S).

Dénition2.UnerelationbinaireRsurEest:

 SymétriquesipourtoussettdeE,sRtentraînetRs;

 AntisymétriquesipourtoussettdeE,(sRtettRs)entraînes =t;

 Réexi vesipourtoutélémentsdeE,sRs;  Antiréexi vesipourtoutsdeE,onn'apassRs;

 Transiti vesipourtouss,tetudeE,(sRtettRu)entraînesRu.

Nousnousintéresseronsdanslasuiteàlanitudeéventuelledesséquen esd'élémentsenrelation etenparti ulierauxrelationsnoethériennes.

Dénition 3.  Une relation sur un ensemble E est noethérienne s'il n'existe pas de haîne innie d'élémentsde Eenrelation.

II.1 Ordr es

Dénition4.SoitRunerelationbinairesurunensembleE.Rdénit  Unerelationd'équi valen esielleestsymétrique,réexiveettransitive;

 Unpréordresielleestréexiveettransitive;

 Unordresielleestréexive,transitiveetantisymétrique;

 Unordrestri tsielleestantiréexive,transitiveetantisymétrique.

Dansunerelationdonnéeparunpréordreondistinguelapar tiestri teasso iée> ommeladifféren e  où=f(s;t) j(t;s)2g;lepréordrepeutêtredésigné ommepar tielargedelarelation.

Dénition5.Unpréordreestditbienfondé sisapartiestri teasso iéedénitunerelation noethé-rienne.

Lesordresbienfondésvérient ettepropriétéfondamentale:

Pr oposition1.

Touterelationin lusedansunordrebienfondéestbienfondée.

II.2 Relations sur les termes

II.2.1 Signatur es ettermes

Dénition6.UnesignatureF estunensembledesymbolesmunid'uneappli ationAR F

: F !N. Onappellearité dusymbolef 2F l'entierAR

F (f).

OndistingueparmilessymbolesdeF euxd'ariténullequ'ondésigne omme onstantes.

Ondé riraunesignatureparl'ensembledesessymbolesa ompagnéséventuellementdeleurarité sielleestné essaire.La signatureF donnéepar ff ; ag etAR

F

: f 7! 1,a 7! 0serapar exemple notéeff :1; a:0gouen oreff :1; a: onstante g.

Dénition7.SoientF unesignatureetX unensembledénombrabledesymbolesdisjointdeF. L'algèbredestermessurF etX,notéeT(F;X)estlepluspetitensembletelque:

1. X T(F;X)etonditdeXqu'ilestl'ensembledesvariables;

2. Sit 1 ;::: ;t n 2T(F;X) n

etsif 2F ave AR(f)=nalorsf(t 1

;::: ;t n

)2T(F;X).

Un élémentde T(F;X)est un terme. Sit est un terme,on note Var(t) l'ensemble desvariables qu'il ontient.Untermesansvariableestdit los.

Les termespeuventêtrere présentés de façonnaturelle sousformed'arbres.Ondésignealorsles symbolesles onstituantave despositions.

Dénition8.Unepositiondansuntermeestunmotsurl'alphabetN f0g.Lemotvide(représ entant une positionà la ra ine) est noté .La on aténation de p etq est notée p:q oupq.Pos(t)désigne l'ensembledespositionsdutermet.

Lesymboledetêteestlenomdefon tion(oudevariable)positionnéàlara ine.Ondésignepar(t) lesymboledetêtedutermet,voirgureII.1.

Ondénitlesous-termedesàlapositionp(notésj p )par:  sj  =s,  f(t ;:::;t )j =tj .

Unsous-termeàlapositionpestditpropresip6=. Lerempla ement despartàlapositionp(notés[t℄

p

)estdénipar:  s[t℄  =t,  f(t 1 ;:::;t n )[t℄ ip =f(t 1 ;:::;t i [t℄ p ;:::;t n ).

Letermet=f(f(a;x);g(h(x;b;y)))estre présentésousformed'arbreàlagureII.1.Onpeut ylireenparti ulierque(t)=f etquelesous-termedetàlaposition21esth(x;b;y).

f f g a x h x b y  1 2 11 12 21 211 212 213

FIG.II.1. Termeetpositionsdansletermere présentésousformed'arbre.

Dénition9.Un ontexteC estunterme ontenantuneouplusieurs o urren esd'une onstante spé iale2 62F appeléetrou

1 .

Dans le asoù C[:::℄est un ontexteave n o urren esde 2 (à des positionséventuellement pré isées)etoùt 1 ;::: ;t n sontntermes,C[t 1 ;::: ;t n

℄désignelerempla ementdeso urren esde2 parlest

i

auxpositionspré iséesle asé héantet,sinon,respe tivementdansl'ordrelexi ographique surlespositions.

Dénition10.Étant donnéeune algèbre determesT(F;X),unesubstitution estune appli ation  del'ensembleX desvariablesverslestermes.Onappellerafx 2X j (x)6= xglesuppor t de la substitution.

Nousdé rironséventuellementunesubstitutionàl'aidedesonsupport:fx7!t 1

; y 7!t 2

g,par exemple,désigneradesupportfx; ygtelleque(x)=t

1

et(y)=t 2

.

L'appli ationd'unesubstitutionestusuellementé riteennotationpostxéeetasso iativeàgau he, xdésignant(x).

Une substitution peut fa ilement être étendue omme endomor phisme de T(F;X) en posant simplement: f(t 1 ;::: ;t n ) =f(t 1 ;::: ;t n ):

Onditalorsd'untermet qu'ilestuneinstan edet.

Unesubstitutionestdite losesil'imag edesonsupportne ontientquedestermes los.

Onre présenteparfoislestermessouslaformedetriangles(dontlesommetsupérieur orrespond àlapositiondusymboledetête)etlesinstan iations ommedesajoutsàlabasedutriangle.

Dénition11.Onditqu'untermesltreuntermets'ilexisteunesubstitutiontelleques =t. 1

Onditquedeuxtermessettsontuniabless'ilexisteunesubstitution(alorsappeléeuni ateur) telleques =t.

Leltrag eetl'uni ationsontdé idables;deuxtermesuniablespossèdentenoutreununi ateur leplusgénéral(mgu),uniqueàrenommag edesvariablesprès.

Exemple2.

Pourdénirl'additionsurlesentiersnaturelsé ritsenbase2,onpeututiliserlasignatureF bin =f#:0 N ; 0: 1 N ; 1:1 N ; +:2 N

goùlessymboles0et1sontpostxesetoù+estinxe. #dénoteenfait0

N

,(x)0dénote2x,(x)1,2x+1et+,l'addition.

L'entier 5 sera ainsi re présenté par (((#)1)0)1 et l'addition de 5 et de 3 par le terme t = (((#)1)0)1+(((#)1)1).Enpar ti ulier(t)=+. Enposantt 2 =tj 2 =(((#)1)1),onpeuté riret =C[t 2 ℄ 2 oùC=(((#)1)0)1+2. Tout e iestexprimégraphiquementpar:

Arbretdétaillé + 1 0 1 1 1 # #

Arbretpeudétaillé

+

ContexteCpeudétaillé

+

2

II.2.2 Ordr essur lestermes

La notiond' ordering pairs a été introduite par Kusakari, Nakamura etToyamaen1999. Elle permetunedistin tion lairedespropriétésrequises pourunordredevantàtermeservirauxpreuves de terminaison. Pluttque la tradu tion littérale  paires d'ordres  nousutiliserons dans la suite la désignation unpeu abusive d'ordres sur lestermes,pluspro hede l'intuition de larelation proprement dite.

Dénition12.Unordresurlestermes(aussi onnu ommeorderingpair[54℄)estunepairederelations surlestermes(;)telleque:

1. estunpréordre;

2. estunordrestri t;

3. ÆetÆ.

Onditd'unordresurlestermes(;)qu'ilest:

 (Faiblement)monotonesis timpliqueC[s℄C[t℄pourtout ontexteC;

 Stri tementmonotone s'ilestmonotoneetquestimpliqueC[s℄C[t℄pourtout ontexteC.

Ilestimportantderemarqueri iquel'intuitionde la omparaisonstri tededeuxtermesvis-à-vis d'unpréordre ne orrespond pasdans le asgénéral à l'ordrestri t asso ié >.Cettepartiestri te n'esteneffetpasstableparinstan iationdestermes.L'exemplesuivantdûàEnnoOhlebus hillustre etteparti ularité.

Exemple3.

Considérons la signature F = ff : unaire ; a : onstanteg et le système R (F) réduit à une seule règle f(x)!f(a).NouspouvonsdénirlepréordresurT(F;X)par=!

? R

.Pour etterelationf(x)f(a) et f(a)  f(x),don par dénition de la par tie stri te, f(x) > f(a). Pour tant, en appliquantla substitution  =fx7!ag,nousobtenonsf(x) =f(a)f(a)=f(x),perdantainsile ara tèrestri tdel'orientation.

And'obtenirunerelationstablesousl'appli ationdesubstitutions,ondénitlanotiondepartie stri testable.

Dénition13.Soitunpréordresur T(F;X)departiestri te>.Lapartiestri testable de estdéniepar:s tsietseulementsis >t pourtoutesubstitution losesurn'importequelle extensiondeF.

Deux lasses d'ordres sur les termes nous intéresseront tout parti ulièrement du fait de leurs propriétés ara téristiques.

Dénition14.Unordresurlestermes(;)estunordrede

 Rédu tion s'ilest bien fondé, monotone etstable; on dira d'un telordre qu'ilest de rédu tion stri tes'ileststri tementmonotone,derédu tionfaibles'ilest(faiblement)monotone;

 Simpli ations'ileststable,stri tementmonotoneetpossèdelapropriétédesous-terme:C[t℄t.

Dans toutela suite,lorsquenousaurons à omparer des élémentsd'une algèbre T(F;X),nous onsidéreronsdesordressurlestermes(ausensdeladénition12)quenousdésigneronsparleurpremier élémentetdontlese ondélément,noté>,seralapartiestri testablede.

Extensionsd'ordr essurlestermes

Denouveauxordressurlestermespeuventêtreobtenuspar ompositionlexi ographiquededeux ordres( 1 ;> 1 )et( 2 ;> 2 ).

Dénition15.  On dénitla ompositionlexi ographique (( 1 ;> 1 );( 2 ;> 2 )) lex = (;>)de deux ordressurlestermes(

1 ;> 1 )et( 2 ;> 2 )delamanièresuivante:  s>tsis> 1 tousis 1 tets > 2 t;  stsis> 1 tousis  1 tets 2 t.

Lapaire(;>)ainsidénieestbienunordresurlestermes.

Pr oposition2. Si(

1 ;>

1

)eststri tementmonotoneetsi( 2

;> 2

)estfaiblementmonotone,alorsla omposition (( 1 ;> 1 );( 2 ;> 2

Si( 1 ;> 1 )et( 2 ;> 2

)sonttousdeux stri tementmonotones,alors(( 1 ;> 1 );( 2 ;> 2 )) lex est stri tementmonotone.

PREUVE. Pour la première impli ation et pour le as de deux termes s et t tels que s  t où (;>)=(( 1 ;> 1 );( 2 ;> 2 )) lex

.SoitCun ontexteàuntrou.

 Soits > 1

t,parstri temonotoniede( 1 ;> 1 ):C[s℄> 1 C[t℄etdon C[s℄C[t℄;  Soits 1 t ets> 2 t,parmonotoniede( 1 ;> 1 )et( 2 ;> 2 ):C[s℄ 1 C[t℄,C[s℄ 2 C[t℄et don C[s℄C[t℄;  Soits 1 tets 2 t,par monotoniede( 1 ;> 1 )et( 2 ;> 2 ):C[s℄ 1 C[t℄,C[s℄ 2 C[t℄et don C[s℄C[t℄. 2

Il est enn possible d'étendre une relation d'ordre sur les termes à une relation d'ordre sur les multiensemblesdetermes.

Dénition16.Soit(;>)unordresurlestermes.Ondénitindu tivementl'extensionlexi ographique de(;>)surlessuitesdetermes ommesuit:

[e 1 ;::: ;e n ℄ > lex [℄ sin> N 0; [e 1 ;::: ;e n ℄ > lex [e 0 1 ;::: ;e 0 m ℄ sie 1 >e 0 1 ; [e 1 ;e 2 ;::: ;e n ℄ > lex [e 0 1 ;e 0 2 ;::: ;e 0 m ℄ sie 1 =e 0 1 et[e 2 ;::: ;e n ℄> lex [e 0 2 ;::: ;e 0 m ℄; [e 1 ;::: ;e n ℄  lex [℄ sin N 0; [e 1 ;e 2 ;::: ;e n ℄  lex [e 0 1 ;e 0 2 ;::: ;e 0 m ℄ sie 1 >e 0 1 ; [e 1 ;e 2 ;::: ;e n ℄  lex [e 0 1 ;e 0 2 ;::: ;e 0 m ℄ sie 1 e 0 1 et[e 2 ;:::;e n ℄ lex [e 0 2 ;:::;e 0 m ℄:

Dénition17.Unmultiensembleestuneappli ationM E

d'unensembleEversN tellequefe2E j M

E

(e)6=0gestni.OnappelleM E

(e)lamultipli itédeedansM.

Les multiensembles sont souvent notés en extension entre a olades, haque e apparaissant en M

E

(e)o urren es.Enl'absen ed'ambiguïtéonpourraomettrelapré isiondel'ensembleE. Onditqu'unélémenteappartientàunmultiensembleM( equ'onnotealorse2M)siM(e)1. Soient M et N deux multiensembles; M est in lus dans N (notation M  N) si pour tout e, M(e)N(e).

EnnM 0

=M nN estdéniparM 0

(e)=Max(0;M(e) N(e)).

Dénition18.SoientM etN deuxmultiensemblesde termes.L'extensionmultiensembled'unordre surlestermes(;>)estun ouple(

mul ;>

mul

)déniindu tivementpar:

 M  mul M;  SiM  mul N etsiee 0 alorsM [feg mul N[fe 0 g;  SiM  mul N etsie>e 1 ;:::; e>e k

pourk 0alorsM [feg > mul N[fe 1 ;:::; e k g;  SiM > N etsiee 0 alorsM [feg> N [fe 0 g.

II.2.3 Ré ritur edetermes

Dénition19.  Une relation de ré riture est une relation ! sur les termes,monotone et stable par instan iation.Onnote!

+

sa lturetransitiveet! ?

sa ltureréexive/transitive.

Puisqu'ilestimpossibledere présenterenextensionunerelationderé ritureéventuellementinnie, on se ramèneà un re présentant anonique de ette relation :le système de ré riture, souvent abrégéen TRS(del'anglaisTermRewritingSystem).

Dénition20.SoitT(F;X)unealgèbredetermes.Unerèglederé rituresurFestun ouplel !r determesdeT(F;X)telqueln'estpasunevariableettelqueVar(r)Var(l).Unsystèmederé riture R (F)estun ensembleRde règles surF.Siau une onfusionn'estpossible quantàla signature de référen e, on notera abusivement R pour R (F). Le système R dénit la relation de ré riture !

R ommesuit:

s! R

ts'ilexisteunerèglel !r2R ,unepositionpetunesubstitution tellesque

sj p

=l et t=s[r℄ p

:

On ditalors quesj p

estun radi al etque sse réduiten tpar larègle l ! rà la positionp, equiest noté: s p; ! l !r t:

Sidetellespré isionsnesontpasné essaires,onpeutomettrelasubstitution,lapositionouen ore rempla erladésignationdelarègleutiliséepar elledusystème:

s p !

R t

Permettantainsila onfusionvolontaireave ladésignationdelarelation.

Unerèglenes'appliqueainsiqu'àunsous-termeltréparsonmembregau he.

Remarque1.La re présentation d'unerelationde ré riturepar unsystème nepermetpas,dansle asgénéral,dedé iderdel'appartenan ed'un oupledetermesdonnéàlarelation

2 .

Suivantla terminologieutiliséeparT homasArts&Jürg enGiesl[3,4℄nousdistinguerons dansla signatured'unsystèmelessymbolesdénisdessymboles onstr u teurs.

Dénition21.SoitRunsystèmederé rituresurunesignatureF.OndénitlapartitionF =D[C telleque:

 f 2Dsietseulements'ilexisteunerèglel!r 2Rtelleque(l)=f;

 C =F nD.

LesélémentsdeDsontlessymbolesdénis,lesélémentsdeClessymboles onstr u teurs.

Exemple4.

Surla signature de l'exemple2 (enomettant leparenthésage parasso iati vité à gau he de 1 et0) nouspouvons 2

proposer un système R +

de al ul de l'addition, enintroduisant unerègle de simpli ation #0 ! # puis elles de l'addition. R + 8 > > > > > > > > < > > > > > > > > : #0 ! # (1) x+ # ! x (2) #+ x ! x (3) x0+y0 ! (x+ y)0 (4) x0+y1 ! (x+ y)1 (5) x1+y0 ! (x+ y)1 (6) x1+y1 ! ((x+y)+#1)0 (7) R +

admetdeuxsymbolesdénis0et+,les onstr u teurssontdon #et1.

Leterme#101+# 11peutdonnerlieuàlarédu tionsui vante(lesymboledetêteduradi alest er léde gris,nous pré isonslenumérodelarègleappliquée):

#101 + #11  ! (7) ((#10 + #1)+#1)0 11 ! (5) ((#1 + #)1+# 1)0 111 ! (2) ((#1)1 + # 1)0 1 ! (7) (((#1 + #)+ #1)0)0 111 ! (2) ((#1 + #1)0)0 11 ! (7) ((((# + # )+#1)0)0)0 1111 ! (3) (((# + #1)0)0)0 111 ! (3) ((((#)1)0)0)0:

Leterme#1000nepeutêtreréduitetre présentebien8=5+3.

II.2.4 Cara téristiques dessystèmesderé ritur e

Une rédu tion onsistant essentiellement en des rempla ements d'expressions syntaxiques par d'autres,les aratéristiquessyntaxiquesdessystèmesdonnenttoutnaturellement ertainesinformations quant aux diverses propriétés  dire tement syntaxiques maisaussi sémantiques  qu'ils peuvent avoir.

Dénition22.Unsystèmeestditàbran hementnisitoutradi aln'estltréqueparunnombreni demembresgau hesderègles.

Dénition23.Onditd'untermequ'ilestlinéairesi ha unedesesvariablesn'apparaîtqu'uneseule fois.

Unerègleestlinéaireàgau he sisonmembregau heestlinéaire.Symétriquementunerègleestdite linéaireàdroitesisonmembredroitestlinéaire.Enn,unerèglelinéaireestunerègleàlafoislinéaireà gau heetàdroite.

La non-préservation du nombre d'o urren es des variables peut-être due, entre autres, à une ara téristiqueproje ti ve oudupliquantedusystème.

Dénition24.Unerègledontunevariableapparaîtstri tementplussouventdanslemembredroit quedanslemembregau heestunerègledupliquante.

Dénition25.Siunmembredroitderègleestréduitàunevariable,onditde etterèglequ'elleest proje ti ve.

Si en outre le membre gau he peut être réduit en plusieurs variables distin tes (par différentes règles)onditdusystème onstituéde es règlesqu'ileffe tueuneproje tionnondéterministe (proje tion ND).Untelsystèmeestproje tif ND.

Exemple5.

Considéronslesystème onstituéde inqrègles: 8 > > > > < > > > > : f(x;y;z) ! g(y;y) (1) f(x;y;y) ! g(x;y) (2) g(x;y) ! y (3) h(x) ! x (4) f(x;y;z) ! h(x): (5)

Larègle(1)estlinéaireàgau hesansêtrelinéaireàdroite;(2)estquantàellelinéaireàdroitemaispasàgau he; Lesrègles (3),(4)et(5)sontlinéaires arlinéairesàgau he etàdroite.

Onpeutremarquerque(1)est dupliquanteetque(3)et (4)sont proje tives. Letermef(x;y;z)estrédu tibleàlafois

 Enxenappliquant (5)puis (4);

 Enyàl'aided'unerédu tionpar (1)sui vied'unpasde(3). Cesystèmeadon un ompor tement proje tif ND.

Unsystèmedénitun al ul;unrésultatde e al ulestuntermesurlequel e al ulnesepoursuit pas.

Dénition26.UntermequinepeutêtreréduitparunsystèmeRestenformenormale(pourR ).On dirad'untermequ'ilestnormalisable(parR )s'iladmetuneformenormalepourR 'est-à-dires'ilexiste unerédu tion quiaboutitàune formenormale.Ceterme seraditfor tement normalisable (parR )sitoute rédu tionmèneàuneformenormale.

Un système R est normalisant si tout terme est normalisable. Il est for tement normalisant (on dit aussi qu'iltermine)lorsquela relation !

R

estnoethérienne, 'est-à-dire quetout terme est fortement normalisable.

Exemple6.

SurlasignatureF =ff :1;a:0g,lesystème

R: 

f(x)!a f(x)!f(x)

Donneàtouttermeuneformenormale:a.Ilnetermine e pendantpaspuisquef(x)peutêtreréduitindéniment. Lesystèmerestreintàlaseulerèglef(x)!aestlui,enre van he,for tementnormalisant.

L'appli ationnon-déterministe desrègles nelaisseriensupposersur l'uni itédurésultatéventuel nisur elledu al ulmenantàunrésultat.Lapropriétéde onuen ed'unerelationpeutalorstertoute importan eaux hoixfaitslorsdu al ulengarantissant que ha und'euxpeutêtre ompensépar la

Dénition27. Soientl 1 ! r 1 etl 2 ! r 2

deux règles d'unsystème R telles que l 1

estuniable ave unsous-terme(nonréduitàune variable)de l

2

(maispas àla ra inesil 1 ! r 1 =l 2 ! r 2 ). La pairedetermes(C[r 1 ℄;r 2

)oùestununi ateurleplusgénéraltelquel 2

=C[u℄etu =l 1

est appeléeunepaire ritiquedeR .

Onditd'unsystèmequiadmetdespaires ritiquesqu'ilestoverlapping.

Lespaires ritiquessontenfaitdéniesmodulorenommag edesvariables.Autrementdit,avantde super poserdesrègles,onrenommeleursvariablespourenobtenirdesensemblesdisjoints.

Dénition28.SipourunsystèmeR ,t 1

s!t 2

impliquel'existen ed'uns 0 telquet 1 ! ? s 0 et t 2 ! ? s 0

,onditqueRestlo alement onuent.Ilest onuentenunpassit 1 !s 0 ett 2 !s 0 .Unsystème estenn onuent sisa ltureréexive/transitiveestlo alement onuente.

La onuen eenunpasestdé idable;elleimpliquela onuen elo alepourlessystèmesfortement normalisants.

La onuen eestunepropriétéindé idableengénéral;elleesttoutefoisentraînéeparla onuen e lo aledansle asdessystèmesfortementnormalisants

3 .

Si unsystème P est fortement normalisant ettel quetout terme t a une unique formenormale pourP,nousdésignerons elle- ipart#

P .

Dénition29.Unsystèmeor thogonal estunsystèmelinéaireàgau hesanspaire ritique.

Un système est faiblementor thogonal s'iln'admet que des paires ritiques triviales, 'est-à-dire que pourtoutepaire ritique(s;t),sestidentiqueàt.

L'intérêtportéauxsystèmesorthogonauxestdûaufaitremarquablequ'ilssonttous onuents[76℄ etqu'onpeut onnaître ertainesdeleurspropriétésenétudiantseulementlarelation qu'ilsinduisent ensuivantunestratégied'appli ationparti ulière( f.théorème1,pag e25).

II.2.5 Stratégiesde rédu tion

On peut restreindre la relation de ré riture en affaiblissant le non-déterminisme, 'est-à-dire en favorisant voire en imposant la ou les règles à utiliser parmi toutes elles qui sont appli ables à un terme.Ondénitalorsunestratégiederédu tion.

Dans le as de la ré riture normalisée, par exemple, la rédu tion par un ensemble de règles R d'un terme n'est autorisée que si elui- i est en forme normale pour un (autre) ensemble de règles P.Nous nousintéresserons plus parti ulièrement à une stratégie pro hede l'évaluation delangag es fon tionnels:lastratégieinnermost.

Dénition30.Lastratégiederédu tiontelleques p

!tseulementsitoutsous-termepropredesj p estenformenormaleestappeléestratégieinnermost.

Cette stratégie pose la normalisation des arguments (l'anglais  innermost  peut en fait être traduitlittéralement par leplusinterne) ommepréalableobligatoireàl'évaluationd'unefon tion et orrespond don en e sens à l'évaluation stri te de langag es omme OCAML [67℄ ou SML [64℄ en oppositionàl'évaluationparesseuseàlaHASKELL[41℄.

En restreignant le hoix des radi aux utilisables, le hoix de ette stratégie peut a order aux systèmes on ernésdespropriétésqu'ilsn'auraientpasdansle asgénéral.Pour ertainssystèmes,ilest possibled'obtenirgrâ eàelledesrésulatsqu'onpeutétendreà essystèmes onsidéréssansstratégie.

Onaenparti ulierpourlessystèmesorthogonauxlerésultatsuivantd'O'Donnell[68℄:

T héorème1.(O'Donnell77)

Un systèmeorthogonalestfortement normalisant sietseulements'ilest fortement normalisant pourlastratégiederédu tioninnermost.

Exemple7. Considéronslesystème : R :  f(g(x)) ! f(g(x)) g(x) ! a:

Puisqu'iladmetenpar ti ulierunepaire ritique(f(g(x));a),Rn'estpasor thogonal.

S'il autorise dans le as standard la rédu tion innie f(g(x)) ! f(g(x)) ! :::, un telsystème termine toutefoissurtouttermepourlastratégieinnermost.Celle- ivaeneff etfairedisparaîtretouslessymbolesgné essairesau radi alf(g(x))etàl'intérieurde elui- i.

Terminaison

III.1 Pr oblème de l'arrêt et indé idabilité

Laterminaison,garantiedel'existen ed'unrésultatdu al ulsurtouttermeetdon enparti ulierde latotalitédesfon tionsdéniespardessystèmesderé riture,préalablein ontournableàlare her he d'autrepropriétés,n'admethélaspasd'algorithmededé ision.Leproblèmedel'arrêtdesma hinesde Turings'yréduiteneffet.

III.1.1 Ré ritur eet ma hinesde Turing

Nousallonsvoir omment odern'importequellema hinedeTuringsousformed'unsystèmede règles.Dershowitzaproposéà esujetun odag eendeuxrèglesseulement[21℄,nombreen oreréduit parDau het:ilestenfaitpossibledeselimiteràuneseulerèglelinéaireàgau he[15℄.

Nousdonnonsi iunetradu tionsimple,inspiréedestravauxdeHuet&Lankford[44℄enquelques règlesderé rituredemots

1

,un hoixnaturelpuisquelesma hinesdeTuringtravaillentsurdesrubans. Considérons une ma hine de Turing (Q;q

0

;A = f0;1g;b;Æ)où Q est l'ensemble des états, q 0 l'étatinitial,0et1lesdeux lettresdel'alphabetdetravailA,ble ara tèrede blan etÆlafon tionde transitiondeQAversQAfJ;Igquiàunétatetàun ara tèreluasso ieunnouvelétat,un ara tèreé ritetundépla ementversladroiteIoulagau heJsurlerubanbornéàgau he.

And'exprimer les ongurationssu essivesd'unema hinedeTuring dansleformalismede la ré rituresurlesmots,nous onsidéronslesmotssurlasignatureF =Q[A[fbg.

Dansunmotq i

 ,q i

re présentel'étata tueldelama hineetle ara tèresurlequelpointelatête. Lestransitionspeuventdon être odéesdelamanièresuivante:

q i !q j si Æ(q i ; )=(q j ;;I); 0q i !q j 0 1q i !q j 1  si Æ(q i ; )=(q j ;;J):

Il reste à ajouter les as dégénérés, 'est-à-dire faisant intervenir le ara tère blan , pour obtenir la simulationdésirée.

Onobtientainsiune orrespondan eentreles ongurationssu essivesdelama hineetlesmots obtenusparrédu tionàl'aidedusystème.

1

Pr oblèmedel'arrêt. S'ilexistaitunmoyendedé iderde laterminaisond'unsystème deré riture, onauraitunalgorithmede dé isionde l'arrêtd'une ma hinedeTuringsimplementen omposantla tradu tiondesma hinesverslessystèmesetlapro édurededé isionsuri eux.Puisqu'onluiramène ainsi leproblème de l'arrêt des ma hines de Turing, leproblème de la terminaison des systèmes de ré ritureestindé idable.

A essibilité. Le problème de l'a essibilité onsiste enla question suivante : étant donnés deux termessett,existe-t-iluneséquen ederédu tionsqui,àpartirdes,aboutitàt?Ilserésumeenfaitau problèmedel'arrêt:ilsuftderéduiretoute ongurationd'unema hinearrêtéeàunmotbienpré is, unnouvelétat ara téristiqueq

s

parexemple,enajoutant etétatàQetlesrèglesdesimpli ation:

q s 0!q s ; q s 1!q s ; 0q s !q s ; 1q s !q s ;

Ainsique,pourtoutq2Qet2f0;1glesrèglesde rédu tion:

q !q s

 siÆ(q; )n'estpasdéni; bq !bq

s

 siÆ(q; )=(q 0

;;J):

L'a essibilitéd'une ongurationquel onqueàbq s

bestalorsuneexpressiondel'arrêt.

III.2 Pr euve de terminaison

La terminaison se révélant être une propriété indé idable, on s'intéresse au développement de méthodes orre tesmaisfor émentin omplètespermettantdeprouverlanormalisationfortedansla plupartdes asdesystèmesren ontrésdanslapratique.

D'unemanièregénéraleonmontrelaterminaisond'unprogrammeenprouvantqu'au oursd'une exé ution,unvariantde elui- idé roîtstri tement vis-à-visd'unordrebienfondé. Depar lanature del'ordre, evariantnepeutdé roîtreindéniment,l'exé utionnes'éternisedon pas:leprogramme s'arrêtesurunrésultat.

Exemple8.

Pourleprogrammedé ritparlaseulerègle:f(f(x))!x,ilsuftdeprendrepourvariantlenombredesymboles f dutermeàréduireà haquepas.

Dans un formalisme de programme quel onque, la re her he de e variant peut re poser très lourdementsurl'expérien eetl'intuitiondequi her heàmontrerlaterminaison.En equi on erne les systèmes de ré riture, la preuve peut toutefois être on e ptuellementsimpliée par le fait quele système R dé ritlui-même une relation entre lestermes. Si etterelation !

R

peutêtreplongéedans unerelationd'ordrebienfondée,lapropriété1entraînealorsque!

R

estbienfondée. Onpeutremarquerenparti ulierqu'unsystèmeR ,s'iltermine,dé ritunerelation!

R

bienfondée pardénition: 'estl'ordrederé riture.Cetordreestàrappro herduvariantasso iéauprogrammequi peut,puisqueleprogrammetermineparhypothèse,êtreladifféren eentrelenombredepasmaximal possiblesurl'exé ution onsidéréeetlenombredepasdéjàeffe tués.

Dansle adrede etteappro heplusgénérale,lare her heneportedon plussurunemesurede omplexité quidé roît aufuretà mesuredes appli ationsde R maisdire tement sur unordre bien fondé ontenant! .

Exemple9.

En re prenant dans e ontexte l'exemple8, on peutmontrerquele système ff(f(x)) ! xgtermine dans la mesureoù,en onsidérantlenombrede f dans leterme a ve l'ordrenaturelsurles entiers,pourtouteinstan iation, f(f(x)) estsupérieuràx.

Savoirsiun oupledetermesfaitpartiede! ? R

demeuretoutefoisindé idable( f.remarque1).On peut e pendantrestreindrel'ensembledesordres andidatsà euxqui,étantbienfondés, ontiennent déjàlesrègles de Retsont enoutrestables parinstan iation etmonotones:les ordresde rédu tion (déf.14).

T héorème2.

UnsystèmeRterminesietseulements'ilexisteunordrederédu tiontelque! R

.

PREUVE. Immédiat puisqu'en parti ulier pour un système R fortement normalisant, l'ordre de

ré ritureestunordrederédu tion. 2

Un ordre apte à prouver la terminaison d'unsystème de ré riture doitdon se plier à ertaines ontraintes.Lare her hed'unepreuvedeterminaisonrevientalorsdanslaplupartdes asàdéterminer es ontraintesd'ordreetàlesrésoudre.

Lagénérationde es ontraintess'esthistoriquementd'abordlimitéeàl'orientationstri tedesrègles dusystème étudié.On her haitalorsàtrouver dire tementunordre onvenable pourlethéorème2 àl'aidede equenousdésigneronsdanslasuite ommelesMéthodes lassiques.

Uneanalyseplusnedelastru turedestermesnonfortementnormalisablesparunsystème Ra donnélejouren1997aux ritèresdeterminaisonàl'aidedepairesdedépendan e.Les ontraintesrequises, pourplusnombreusesqu'ellespuissentêtre,deviennentmoinsdra oniennes:ilsuftd'orienterlargement lesrègles deR ,ladé roissan estri ten'étantné essairequesurlesditespairesdedépendan e.

III.3 Méthodes lassiques

III.3.1 Terminaisonà l'aided'ordr es desimpli ation

L'importan e des travaux onsa rés aux ordres de simpli ation, qu'ils on ernent la dénition de nouveaux ordres ou l'étude de leurs propriétés, vient en parti ulier du fait que parmi les ordres sus e ptiblesd'êtreutilisésdanslespreuvesdeterminaisonilsétaientjusqu'àpeulesseulsqu'onpouvait déterminerautomatiquement.

T héorème3.(Dershowitz82)[20℄

Surunesignaturenie,toutordredesimpli ationestbienfondé.

Enparti uliers'ilexisteunordredesimpli ation>telquepourtouterèglel ! rd'unsystème Ronaitl >ralorsRtermine.

Dénition31.L'ordreditdeplongement estdénipar: t=f(t 1 ;:::;t n )g(t 0 1 ;t 0 1 ::: ;t 0 m )=t 0 si

1. Ilexistei,1imtelquett 0 i ,oubien 2. f =g etpourtoutj,1j n,t j t 0 .

Remarque2.Leplong ement,bienfondéparlethéorèmedeKruskal,estunordredesimpli ation ettoutordredesimpli ationle ontient.

Deuxtermessontenfaitenrelationparl'ordredeplong ements'ilestpossibled'obtenirl'unàpartir del'autresimplementàl'aidede proje tions.Onpeutdon onsidérerles systèmesquipréservent la terminaisonquandonautoriselepassag eausous-terme.

Dénition32.Onditd'unsystèmeRqu'ilterminesimplement si

R [ fjAR(f)1 ff(x 1 ;::: ;x n )!x i

j1ingestfortementnormalisant.

Cettedénitionestbienéquivalenteàunepreuvedeterminaisonparlethéorème2etàl'aided'un ordredesimpli ation:

Lemme1.(Kurihara&Ohu hi)[51℄

Un système sur une signature nie termine simplement si et seulement s'il existe un ordre de simpli ation>telquepourtouterèglel!r2Ronaitl >r.

III.4 Critèr es des pair es de dépendan e

La démar hequi onsiste àdestinerlesordres quenousvenons devoiràl'appli ation dire tedu théorème2est troprestri tive. Arts&Giesl proposenten1997une analyse plusne de lastru ture destermesnonfortementnormalisablesquipermetdedégag erdenouvelles ontraintesd'ordres,plus nombreusesmaisplussouples[2℄.

Ils onstatenteneffetqu'àpartirdetouttermedonnantlieuàunerédu tioninnieonpeutobtenir unedérivationd'uneforme bienparti ulière.Prouverqu'iln'existepasde dérivationdelasorte,quel quesoitleterme onsidéré,suftalorsenmontrantparlàquetouslestermesnedonnentlieuqu'à desrédu tionsniesàmettreenéviden elaterminaisondusystème.

Remarquonsquegrâ eàlaplusgrandesouplessede es ontraintes,onpeutdavantag eenespérer unerésolutionautomatique.

III.4.1 Pair es dedépendan e

Prin ipede base. Unargumentde minimalité suftpourmontrerquesiun termet donnelieu à unerédu tioninnie,alorsiladmetunsous-termenonfortementnormalisablef(u

1 ;::: ;u n )telque touslesu i

sontpourtantfortementnormalisables.

Onobtientainsil'existen ed'unerédu tionparti ulière omme elledelagureIII.1.

Pourgarantir la terminaison il reste à prouver qu'une telle dérivation nepeut seproduire.Cette dérivationre posantessentiellementsurl'existen edesous-termespouvantdé len herunerédu tion, 'est ettepropriétéquenousallons her herà ontenirdansdenouvelles ontraintes.

Dénition33. Considérons unsystème de ré riture R (F).Une paire hl;si telle qu'ilexiste une règlel ! r 2 Roùs estunsous-termeder dontlesymbolede tête(s) estdéniestune paire de

?

?

:::

FIG.III.1. Stru turedelarédu tionparti ulière.

L'uniondespairesdedépendan edetouteslesrèglesdeRformel'ensembledespairesdedépendan e deR ,notéDP(R ).

Il est enfait possible d'afner ettedénition en distinguantles symboles de tête des membres de paires. Cette différen iation est justiée en parti ulier ar la position marquée délimite le terme minimalnon fortement normalisant dans la rédu tion parti ulière, gure III.1. Nous utilisons i iet sauf mention ontraire es paires  marquées  et pré iserons le as é héant leurs avantag es et les dif ultéste hniquespouvantenrésulter

2 .

Dénition34.SoitR (F)unsystèmederé riture.Pour haquesymbolef 2F dénidansR on onsidèresa opiemarquée

b f telleque b f 62F. Onnote: b F R =F [ [ f2F fdénidansR f b fg;

Lamentiondusystèmederé riturederéféren eétantomiseenl'absen ed'ambiguïté. SiuntermesdeT(F;X)aentêteunsymboledéni,sbre présenteletermedeT(

b

F;X)obtenu enremplaçant(s)parsa opiemarquée.Nousappelleronsmarquage etteopération.

Dénition 35.  Pour un système de ré riture R (F), une paire h b

l;bsi telle qu'il existe une règle l ! r 2 R où s est un sous-terme de r dont le symbole de tête (s) est déni est une paire de dépendan emarquéede l!r.

Puisquenousne onsidéronsdanslasuitequasimentquedespairesmarquées,nouslesdésignerons abusivementsouslenomdepairesdedépendan erespe tantainsilanomen laturedeArts&Giesl.

Dénition36.Une haînede dépendan e d'unsystème R est uneséquen e ::: ;hs j

;t j

i;::: munie d'unesubstitutiontellequepourdeuxpaireshs

i ;t i i;hs i+1 ;t i+1 i onsé utivesquel onques: t i  6= ! R ? s i+1 : 2

Les paires de dépendan e sont dénies modulo renommag e des variables. Nous onsidérerons toujoursque,dansune haînededépendan e,lesvariablessontdistin tesd'unepaireàl'autre.

Les haînesdedépendan epermettentenparti ulierdedé rirelarédu tiondeformeparti ulière qui nous intéresse. En effet, dans une telle dérivation les pas de DP relient le terme minimal non fortement normalisant à un sous-terme de son réduit en tête, lui-même minimal et non fortement normalisant, ommeillustréparlagureIII.2.

? R DP(R ) ? R DP(R ) ? R

FIG.III.2. Rédu tionave pairesdedépendan e.

Les haînesdedépendan equenousren ontreronsdanslasuiteserontditesminimalesdansle sensoùelles orrespondronttoujoursàlarédu tionparti ulièreduprin ipedebase(gureIII.1).

Dénition37.Une haînededépendan eestminimalesilessous-termespropresdetouteinstan e d'unmembregau hedepairesontfortementnormalisables.

Puisqu'elleest apablededé rire larédu tionminimaleparti ulièredontle ara tère niouinni est eluidelarelation!

R

,nousallonsdésormaisnousintéresseràlanouvellerelation

! R [  ! DP(R) :

III.4.2 Critèr es de terminaison

Ainsi passés desdérivations aux haînes,il nousreste à trouver unordre bienfondé danslequel plong er notre haîne de dépendan e minimale. Les ontraintes sur les pas de ré riture (et don les règles)sont onsidérablementallégées :sirèglesetpaires doiventen ore dé roître,ilsuftdésormais queseuleladé roissan edespasdeDPsoitstri te,laterminaisonétant alorsassuréeparle ara tère nidesrédu tionsentreinstan esdepaires.

Lespairesdedépendan epermettentdedénirun ritèredeterminaison, 'est-à-direune ondition àlafoisné essaireetsufsantepourgarantirqu'unsystèmeestfortementnormalisant.

T héorème4.Complétude.

SiunsystèmeRestfortementnormalisant,alorsiln'existeau une haînededépendan einnie.

PREUVE. Onpeuteneffetdire tementtraduireenrédu tioninnietout haîneinnie:

:::h bs i ; b t i i; h bs i+1 ; b t i+1 i;::: muniede :::C[s i ℄ p p ! R C[t i ℄ p ! R ? C 0 [s i+1 ℄ q q ! R C 0 [t i+1 ℄ q ! R ? :::

T héorème5.Corr e tion.

SoitRunsystèmederé riture.S'iln'existeau une haînededépendan edeRinnie,alorsRest fortementnormalisant.

PREUVE. Nous ommençonspardonnerformellementla lefduprin ipede basesouslaforme d'unlemme. And'allég er lesnotations nousutiliserons les ara tères gras:f(u)re présentera ainsi defaçon ondenséeletermef(u

1

;::: ;u n

)etunepropriétéénon éesurus'appliqueraenfaitàtous lesu

i

,1in.

Lemme2.

Siuntermesestnonfortementnormalisable,alorsonpeuté rires ommeC[f(u)℄oùf(u)est nonfortementnormalisablemaisuestfortementnormalisable.

PREUVE. Parminimalité. 2

Pr euveduthéorèmede orr e tion

Supposonsqu'ilexisteunesuiteinniederédu tionsàpartird'untermet,nousallons onstruire àpartirde elle- iune haînededépendan einnie.

D'après lelemme2,t ontientunsous-terme nonfortement normalisablef 1 (u 1 )telqueu 1 est fortementnormalisable.Onnepeutdon réduireindénimentu

1 .Ilexisteainsiv 1 telque f 1 (u 1 ) 6= ! ? f 1 (v 1 ) Etf 1 (v 1

)estrédu tibleàlara ine.

Il y a don une substitution  telle que f 1 (v 1 ) = f 1 (w 1

) ave une règle f 1 (w 1 ) ! r 2 R . Nousavonsf 1 (w 1

) ! rave ,par lelemme,r ontenant unsous-terme f 2

(u 2

)nonfortement normalisable.

Or pour toutevariable x apparaissantdans (w 1

), x est fortement normalisable, e quisignie que f

2

nepeut apparaître par  et don r = C[f 2 (u 2 )℄ tel que f 2 (u 2 ) = f 2 (u 2 ) non fortement normalisableave u 2 fortementnormalisable. Nouspouvonsainsié rirelapaireh

b f 1 (w 1 ); b f 2 (u 2 )ietlamunirdelasubstitution. Dénissonsmaintenantla onstru tionindu tivedespairesdedépendan e.

Supposonsquenousdisposionsd'uneséquen e::::h b f n 1 (w n 1 ); b f n (u n

)i;.Nousavonsainsi la rédu tion f n 1 (w n 1 ) ! C[f n (u n )℄ ave f n (u n ) = f n (u n ) où f n (u n

) est non fortement normalisablemaisave u

n

fortementnormalisable.Don f n (u n )! 6=? f n (v n )etilfautréduireà. Nous savons qu'ilexiste  tellequef

n (w n ) = f n (v n )etf n (w n )! g 2 R .Maisf n (w n ) se ré riteng quiestsour ed'unerédu tioninnie;enappliquantlelemme2,g s'é ritC

0

[h(u)℄.Or pourtoutxvariablede(w

n

),x estfortementnormalisabledon g =C[h(u )℄. Enposanth=f

n+1

etu =u n+1

nousobtenonsainsiunenouvellepairededépendan e. Ilresteàvérierque

:::h b f n 1 (w n 1 ); b f n (u n )i;h b f n (w n ); b f n+1 (u n+1 )i

Cethéorèmede orre tionadmetun orollairedénissantdenouvelles ontraintesd'ordre.

Cor ollair e51.

SoitRunsystèmederé riture,s'ilexisteunordrederédu tionfaible(ausensdeladénition14) surlestermes(;)telque:

1. l rpourtouterèglel!r 2Ret 2. stpourtoutepairehs;ti 2DP(R ), AlorsRestfortementnormalisant.

PREUVE. On a en effet ! R

. S'il existait une haîne de dépendan e innie, on aurait par dénitionunesubstitutiontelleque

t i  6= ! R ? s i+1 

Pourtoutietdon unesuiteinnie

s i  t i  s i+1  t i+1  :::

Cequiserait en ontradi tionave l'hypothèse:bienfondé. 2

III.4.3 Graphes dedépendan e

La ondition de stri te dé roissan e sur toutes les paires de dépendan e est parfois en ore trop forte.Eneffet, ertainespairesnepeuventapparaîtrequ'unnombrenidefoisdansune haîneinnie. Les déte ter, 'est se donner les moyens d'affaiblir les ontraintes sur l'ordre et ainsi permettre un traitementplusef a e.

Exemple10.

Considéronslesystème réduitàlaseulerèglef(f(x)) !f(s(f(x))). Sesdeuxpairesdedépendan esont:

h b f(f(x)); b f(x) i; (III.1) h b f(f(y)); b f(s(f(y)))i: (III.2)

Onnetrouveratoutefoisjamaisplusieurso urren esdelase ondepairedans une haînepuisquequ'iln'existeau une substitutiontelleque

b

f(s(f(y))! ?

b

f(f(x)).Iln'estdon pasné essaired'enré lameruneorientation.

An de déte ter, pour prouver la terminaison d'un système R , les paires ru iales de DP(R ), on onstruit un graphe dont les n÷uds sont des paires et tel que les paires quipeuvent apparaître onsé utivement dans une haîne soientreliées. Toute haîne innie orrespond don à un hemin inni dans legraphequi est ni silesystème lui-même l'est etqui par onséquent doitdans e as ontenirdes y les.

Danslasuitede ettese tion,lessystèmes onsidéréssonttousnis.

Dénition38.SoitRunsystèmederé riture.Onappellegraphededépendan edeRlegrapheGdont lesn÷udssontlespairesdedépendan edeRettelque(hs;ti; hs

0 ;t

0

i)2G sietseulements'ilexiste unesubstitutionvériant

6= ?

Prouver la terminaison du système,revient enfait à vérier la dé roissan e despaires qui inter-viennentdansles y les pourvuqu'aumoinsl'uned'ellesdé roissestri tement.

Exemple11.(Arts&Giesl97)

Considéronsunsystèmededi visiondesentiersdePeàno: 8 > > < > > : x 0 ! x s(x) s(y) ! x y 0s(y) ! 0 s(x)s(y) ! s((x y)s(y)):

Iln'existepasd'ordre desimpli ationpour esystème 3

.Onextraittroispairesdedépendan e:

hs(x) b s(y);x b yi; (III.1) hs(x) b s(y);(x y) b

s(y)i; (III.2)

hs(x) b

s(y);x b

yi; (III.3)

Qu'onpeutagen eren:

(1) (3) (2)

Puisque(3)n'estpassurun y ledugraphe,sonorientationn'estpasà onsidérer.

Lerafnement desgraphes préserve la orre tion des ritèrespar pairesde dépendan e.Il suft enfaitdelimiterl'analyseaux y lesélémentairesdugraphe onsidéré.

T héorème6.Critèr ede orr e tionave graphes.

SoientRunsystèmederé riturenietGsongraphededépendan e.S'ilexisteunpréordrede rédu tionfaibletelque:

1. l rpourtouterèglel!r 2R ,

2. stpourtout y leélémentaireC deGetpourtoutepairehs;ti 2C,

3. Pourtout y leélémentaireC deGilexisteunepairehs;ti2C tellequest,

AlorsRestfortementnormalisant.

PREUVE. Ungraphededépendan eestni arlespairessontennombreni.Le heminasso iéà une haîneinniepassedon unnombreinnidefoisparun y leélémentaire.Les y lesélémentaires sont de longueur nie don à haque fois une dé roissan e stri te est effe tuée, e qui ontreditle ara tèrebienfondédel'ordre.On on lutparlethéorème5. 2

Il n'est pas possible de déterminer automatiquementlegraphede dépendan e :l'existen e de  telle ques !

?

t pours ettdonnés est indé idableengénéral. On introduitdon unenotion de 3

graphededépendan eappro hédontonsaitqu'il ontientlegraphededépendan e.Lethéorèmede orre tionave graphesrestebiensûrvalablesur egrapheappro hé.

Appr oximationdugraphe

Plusieursméthodesd'approximationdesgraphesdedépendan eontétéproposées. L'approxima-tionoriginaledeArts&Gieslre posesurl'uniabilitédesmembres gau hesave une transformation syntaxiquedesmembresdroitsetadmetuneaméliorationparnarrowing[4℄.ToyamaetKusakari[53,55℄ utilisentdes on e ptsderédu tion!et.Middeldor p[61℄quantàluimetenjeudesautomatesd'arbre. Nousdé rivonsi ilaméthodede Arts&Gieslsouventsufsammentpuissanteetpeu oûteuse.

Onveutdéterminerunensembled'ar squi ontientlegraphededépendan e.Lesseulssymboles dera inestablesparrédu tionsontles onstru teurs:le ritèredeséle tionretenuquantauxpairesà onsidérerest lapossibleuni ationdes membresdontles sous-termesayantdes symbolesdénisà lara ineontétérempla éspardesvariablesdistin tesquellesquesoientleso urren es.

Dénition39.SoitR (F)unsystèmederé riture.Pourtouttermet,

 CAP(t) désigne leterme obtenu enremplaçant par des variables les sous-termes de t dontle symboleàlara ineestdénidansR;

 REN(t)estletermeobtenuenremplaçantlesvariablesdetpardenouvellesvariablesdistin tes (pourtouteso urren es).

Letermetest onne tableàuntermet 0

siREN(CAP(t))ett 0

sontuniables.

Paruni ationsyntaxiquesur lestermesmodiésparRENetCAPondéterminedesar sentreles pairesdedépendan edusystème.Legrapheobtenu ontientbienlegraphede dépendan e.

Pr oposition3.

SoitR (F)unsystèmederé riture.S'ilexisteunesubstitutiontelleque

t 6= ! R ? t 0 ;

Alorstest onne tableàt 0

.

PREUVE. Parindu tion sur lastru turede t, supposonsque t se ré rive enun terme t 00

parle systèmeR .

 Sit estune variable ousisonsymbolede têteest déni alorsREN(CAP(t))est une variableet don uniableàt

00 .

 Si t a pour symbole de tête un onstru teur ,on peutalors poser t = (::: ;t i

;:::). Ainsi REN(CAP(t))s'é rit (::: ;REN(CAP(t

i

));:::).Commeuntermedontlara ineestun onstru -teurnepeutseréduirequ'enun(autre)termedontlara ineestlemême onstru teur,t

00 s'é rit (::: ;t 00 i ;:::) ave les t i  se ré rivanten t 0 0 i

. Par hypothèse et par distin tion des variables aprèsappli ationdeREN,REN (CAP(t))estuniableàt

0 0 . Onalerésultatpourt ! ? t 0 0

,don enparti ulierpourt ! ?

t 0

,ilvientainsiqueREN (CAP(t))est uniableàt

0

etnalement, ommeilne ontientquedenouvellesvariables,àt 0

. 2

s(x)get =fx7!f(u;u); v 7!s(y)gonpeutavoirlarédu tion

s =f(f(u;u);s(y)) 6=

! R

?

f(s(u);s(y))=t:

Enn,puisqueplusieursrèglespeuvents'appliqueràunmêmeterme,ilestimportantderenommer ha unedeso urren esdesvariablespournepasobtenirde on lusionserronées.

Exemple12.

ConsidéronslesystèmedeToyama[83℄: 8 < : G(0;1) ! 0 G(0;1) ! 1 f(0;1;x) ! f(x;x;x):

Cesystèmeneterminepas:

f(G(0;1);G(0;1);G(0;1))!f(0;G(0;1);G(0;1))

!f(0;1;G(0;1))!f(G(0;1);G(0;1);G(0;1))!:::

Onn'extraitde etensemblederèglesqu'uneseulepairededépendan e:h b

f(0;1;x); b

f(x;x;x)ietsionnerenommait pastoutesleso urren es,onnetrouveraitpasd'arêteetdon pasde y lesurlegraphe.Onpourraitalors on lureàtor t quelesystèmetermine.

III.5 Des ordr es pour la terminaison

Lesordresutilisésdanslapratiquepourprouverlaterminaisondessystèmesderé riturepeuvent êtredistinguésendeux atégories :les ordressyntaxiques,oùnerentre en onsidérationque laforme destermesà omparer,etlesordressémantiques,pourlesquelsondénituneinter prétationdestermes dansundomaineDmunid'unordre

D .

III.5.1 Méthodessyntaxiques

Leprin ipefondamental desméthodessyntaxiquesest la omparaison destermesneprenanten onsidérationqueleurstru ture,éventuellementenseréférantàunordresurl'alphabet.

Ondénithabituellementdans e adredesordressurles hemins, onstruitsàpartird'unepré éden e, 'est-à-direàpartird'unordrearbitrairesurlessymbolesd'unesignature.

Introduits indépendamment par Na hum Dershowitz [19,24℄ et DavidPlaisted [73℄, es ordres re posentsurl'idéequ'untermesestpluspetitqu'untermets'ilest onstruitàpartirdesous-termes inférieurs(pour l'ordre)aux sous-termesde tdansunestru turede symbolesdefon tionsinférieurs ( ettefoispourlapré éden e)à euxdet.

Si la omparaison dessous-termesest une extension multiensemble dans le as des arti les pré- édents,elle peutaussiêtremenéelexi ographiquement ommedansleLPOdeKamin&Levy [47℄. Cesdeux appro hes sonttoutefoissubsuméesparunedénitionplusgénéraleproposéeen1982par

Dénition40. SoitF unesignature.Onappellepré éden eunpréordresurF.

Unefon tiondestatutadmissiblepourunepré éden eestuneappli ationSdeF versfmul; lexg tellequef 'gentraîneS(f)=S(g)etsienoutreS(f)=S(g)=lex,alorsf etgontmêmearité.

Dénition41.SoientF unesignatureetX unensembledénombrabledevariables,soientune pré éden eetSunefon tiondestatutadmissiblepour.

L'ordre ré ursif sur les hemins (RPO) est la relation  RPO

sur T(F;X) dénie par s  RPO t siet seulementsi:  s=x2Xett =xou  s=f(s 1 ;::: ;s n )ave f 2F et  s i  RPO tpouruni,1inou  t =g(t 1 ;:::;t m )ave g 2F et Æ f getpourtoutj,1j m,s RPO t j ou Æ f 'get
S(f)=muletfs 1 ;::: ;s n g( RPO ) mul ft 1 ;:::;t m gou
S(f)=lexdon n=met(s 1 ;::: ;s n )( RPO ) lex (t 1 ;::: ;t m

)ave pourtoutj, 1j m,s RPO t j ets RPO tsis RPO tett6 RPO s.

RPOpeutêtreutilisépourmontrerlaterminaisondesystèmesderé riture.

Pr oposition4.(Dershowitz82)[20,21℄

RPOestunordredesimpli ationsurT(F;X).

Exemple13.

Laterminaisondusystèmedé ri vantlafon tiond'A kermann 8

<

:

A(0;x) ! s(x) A(s(x);0) ! A(x;s(0))

A(s(n);s(m)) ! A(n;A(s(n);m));

EstprouvéeparleRPOa ve lapré éden eA>soùS(A)=lex.Pourladernièrerègle,parexemple,s(n)estplus grandquen parsous-termeetilresteàvérierqueA(s(n);s(m))estplusgrandqueA(s(n);m), equiestvrai ars(m)estsupérieuràmparlapropriétédesous-termedel'ordre.

III.5.2 Méthodessémantiques

Lesméthodessémantiquesre posentsuruneinter prétationdestermesdansundomainemunid'un ordrebienfondé.

Dénition42.SoientT(F;X)unealgèbredetermesetDundomainemunid'unordre D

.On dénit une interprétation homomorphique ' par l'asso iation à haque f 2 F d'arité n d'une fon tion [[f℄℄

' :D

n

!Détendueàtouslestermespar:

'(x) = x;